LUMIÈRE NON POLARISÉE
Taire est égale h ydx sera re[)résenlée par
/ysinsTr ( q;
/. .tsiii9\ j
car les différents points de cette bande sont tous à une distance égale l^rvA'"^ à J7 sin9 du plan mené par l'origine per|)endicnlaireinent à la direc-
. \ ^ tion sur laquelle se trouve le point P. La vitesse totale envoyée en
ce point par l'ouverture a donc pour expression
J' . /f .rsinôx j y sin 37r ( ^ k^ — 1 «^,
et l'intensité est égale en P à
/ C . .isinfl , y- / r .rsinfl , \'
! I ^ sin îiTT — > dx j + ( \ y cosa n -^- — ax 1
La direction de Taxe des x dans le plan de l'ouverture étant complètement arbitraire, on peut par cette méthode évaluer l'intensité lumineuse sur une direction quelconque.
L'expression que nous venons de trouver pour l'intensité va nous permettre de démontrer très-facilement plusieurs principes importants.
1** Les sinus des déviations qui correspondent à un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé sont proportionnels à la longueur d'ondulation; si, en effet, dans l'expression de l'intensité, on remplace X par X', pour que la valeur de cette intensité demeure la
Mnéme, il faut substituer à l'angle 6 un angle tf' tel que l'on ait
** ' sinO' X' .
^ ^^^" -= — g = T* Les figures de diffraction que l'on obtient avec des lu-
^ i " mières homogènes de différentes couleurs sont donc semblables, et J leurs dimensions homologues sont proportionnelles à la longueur
d'ondulation de la lumière employée.
a* Si l'on produit les phénomènes de diffraction avec deux ouvertures semblables, mais de dimensions différentes, les sinus des déviations (|ui correspondent à un maxiumm ou à un minimum d'un ordre déterminé sont en raison inverse des dimensions homologues des deux ouvertures. Soit en effet m le rapport des dimensions de la seconde ouverture aux dimensions homologues de la première;
blFFRACTlOiV 317
l'intensité envoyée par la seconde ouverture suivant une direction située dans le plan des zx et faisant un angle 6 avec Taxe des z aura pour expression
amxs\n6 1 V , f r mxs'mO , \*
mysm^TT — j- — dxj +.( Imycosaw — j- — axj ;
si, pour une certaine valeur de 6 que nous représenterons par &>, Finlcnsilé provenant de la première ouverture passe par un maximum ou par un minimum, l'intensité provenant de la seconde ouverture passera par un maximum ou par un minimum pour une valeur cj de 0 telle, que l'on ait sinw=msin(i)', d'où
sincj 1
SI n w m
Les figures de diffraction auxquelles donnent naissance deux ou^ vertures semblables sont donc semblables, et leur rapport de similitude est égal à l'inverse de celui des deux ouvertures.
3* Les intensités envoyées dans une même direction, située dans le plan des zx, par deux ouvertures telles que les ordonnées correspondant ù une même abscisse soient dans un rapport constant, ne diffèrent l'une de l'autre que par un facteur constant, et, par suite, les figures de diffraction produites dans le plan des zx par ces deux ouvertures sont les mêmes. Si en effet on remplace une ouverture par une autre dont les ordonnées soient égales à celles de la première multipliées par une quantité constante m, chacun des éléments des deux intégrales qui entrent dans l'expression de l'intensité envoyée suivant une direction située dans le plan des zx sera multipliée par m, et par conséquent l'intensité sera multipliée par m^.
/i° Les intensités envoyées dans une même direction, située dans le plan des zx, par deux ouvertures qui ne diffèrent l'une de l'autre qu'en ce que la seconde a été obtenue en déplaçant parallèlement à elles-mêmes les ordonnées de la première sans changer leur longueur, sont les mêmes, et par suite les figures de diffraction produites dans le plan des zx par ces deux ouvertures sont identiques. On voit en effet que, pour les deux ouvertures, les éléments des deux intégrales sont les mêmes.
318 LUMIÈRE NON POLAHISÉE.
On doit encore à M. Bridge le théorème suivant, qui simplifie considérablement l'élude d'un grand nombre de cas de diffraction :
L'intensité de la lumière envoyée en un point situé à une trèsgrande distance sur une direction quelconque, par une série d'ouvertures égales et semblablement placées, est égale au produit de l'intensité qu'envoie en ce point une seule de ces ouvertures par l'intensité qu'y enverrait un système de points lumineux disposés comme les points homologues de toutes les ouvertures.
Pour démontrer cette proposition, prenons sur l'une des ouvertures un élément d^cr et sur toutes les autres des éléments égaux au premier et occupant des positions homologues. La vitesse envoyée par ces éléments dans une certaine direction est évidemment proportionnelle à celle qu'enverrait dans la même direction un système de points lumineux disposés comme les points homologues des ouvertures. En désignant cette dernière vitesse par IVf et en choisissant convenablement l'origine à partir de laquelle on compte le temps, la vitesse envoyée par l'ensemble des éléments considérés peut être représentée par
la quantité M est évidemment constante, quelle que soit la position des éléments homologues sur les ouvertures. Prenons maintenant un second système d'éléments homologues tels que la diflTérence des dislances d'un élément de ce système el de l'élément du premier système situé sur la même ouverture h un point très-éloigné sur la direction considérée soit égale à S: la vitesse envoyée par ce second système aura pour expression
M sin QTT f j, — ' vr J rf-(7.
La vitesse totale envoyée par toutes les ouvertures sera donc égale a
M 1 sin îîTT f?p — TJ ff- or;
celte vitesse est le produit de deux facteurs dont le premier représente la vitesse (envoyée par une série de |)oints lumineux disposés
DIFFRACTION. 331
vent convenir au calcul des intégrales que pour des valeurs peu considérables de la limite supérieure. Ces séries s'obtiennent au moyen d une intégration par parties. Considérons en effet la première intégrale I cos-i^dv : en intégrant par parties, il vient
/tr^sin -tj2cfo = -ôsin-»2— . | tff^cos-tr^dv,
o 2 5 a 5 Jo a
/t>^sin-v^fifo = — sin-tr^ 1 v^cos-v^dt\ o a 7 a 7J0 a '
d oÙL, par des substitutions successives,
C0S-»2rft? = C0S-t?2 ÔT+ q e ^ ^—' ' " )
