SA AF SA AP

d'où

AP'^AP

La droite AP mesurant la distance minimum du point A à la surface R, cette surface est tangente à la sphère décrite du point A avec

AP comme rayon. La même démonstration convient d'ailleurs au

SA' A'F cas oîi la somme 1 — 7- est un maximum sur la surface 2 au

point A'. Le principe des ondes enveloppes s'applique donc à la construction de l'onde réfractée, et, par suite, cette onde dans les milieux isotropes est normale aux rayons réfractés.

61. Influence des dimensions de la suribee péfléehissnnie «n réfringente. — Les raisonnements par lesquels nous avons établi les lois de la réflexion et de la réfraction sont liés à la possibilité de diviser la surface réfléchissante ou réfringente en un grand nombre de zones élémentaires et ne sont applicables qu'autant

ViMRT, V. — Optiqae, F. i5

332 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Celte dernière expression , lorsqu'on passe du terme de rang n au terme de rang n + 1 , se trouve multipliée par -rra' quanlitë qui,

quelque grand que soit v, devient toujours plus petite que Tunitë lorsqu'on donne à n une valeur suiBsamment grande; le second membre de Tinégalité tend donc vers zéro, et à plus forte raison le reste R.

cos - v^ (Iv peut d'après cela être regardée comme

la somme de deux séries convergentes : en représentant ces deux séries par M et N, c'est-à-dire en posant

TTV TT U ^^ IT V

COS - v^dv par C et Tintégrale 1 sin-r^^^, p^^ g^ jj y\^j^i définitivement

I cos - y^(fo= C = M cos - ir* -f N sin - w^,

I sin - v^dv = wS = M sin ~ 1?^ — N cos - v^. Jo a a a

Les séries ^ et N sont convergentes quel que soit v; mais elles ne convergent rapidement que lorsque v a des valeurs peu considérables, et c'est dans ce cas seulement qu'elles peuvent être utilisées pour le calcul des intégrales.

Les deux relations

et

av

av

qu'on peut vérifier facilettvnt en remplaçant M et N par leurs valeurs.

DIPFRACTIl)\. 333

sont souvent employées dans la discussion des problèmes de diffraction.

85. Ifléthode de Cauehy. — Cauchy aindiqui.^, pour le développement en séries des intégrales de Fresnel, une méthode qui conduit à ce résultat singulier que les séries, divergentes pour toute valeur de la variable v, convergent cependant rapidement lors^ qu*on se borne à considérer leurs premiers termes dans le cas oi!i v a une valeur supérieure à l'unité et un peu grande ^'^ On arrive aux séries de Cauchy en intégrant par parties de la manière suivante :

cos - v^ dv= TTV cos -tf^ — =- — sm - r^ + sin -v^ — v I sin-r- — î=-- -ncos-r^l —31 cos-r-r-r» cos — |-ï = -3-5 sm - r^ + 5 I sin - v^ -r-s »

d'où, par des substitutions successives,

rTT „ j it ç, ( \ 1.3.5 , 1.3.5.7.9 \

2 2 \it*v^ n^v irv J

Le reste R est égal à

+ 1 . 3 . 5 . . . . ( Qw — I ) I ^'" ^ '^* ^

ou a

— 1 .3.5. . . . (qw— 1) I ^®^^''*^v^'

suivant que le rang n du terme auquel on s'arrête est pair ou impair. En remplaçant chacun des éléments des intégrales qui figurent dans

t») C.fl., XV, 53 '1,57.-5.

336 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

l'expression du reste par Tunité, on augmente la valeur de ces- intégrales : la valeur absolue du reste est donc toujours moindre que

la quantité