IFS
Cette quantité , lorsque v a une valeur notablement supérieure à l'unité, peut devenir très-petite pour des valeurs de n peu considérables; mais elle ne tend jamais vers zéro, car, quelque grand que
soit », le facteur ^^> > par lequel elle se trouve multipliée lorsqu'on
passe du terme de rang n au tenïie de rang n + 1 , finit toujours, pour des valeurs suffisamment grandes de n, par devenir supérieur à-i'unité. Les séries qui entrent dans l'expression des intégrales sont donc divergentes pour toutes les valeurs de v\ mais, lorsqu'on donne à v des valeurs supérieures à l'unité et un peu considérables, les restes de ces séries peuvent devenir négligeables. Ainsi les séries de Cauchy ne peuvent servir au calcul des intégrales que pour des valeurs assez grandes de v, tandis que les séries de Knochenhauer ne convergent rapidement qu'autant que v est petit. En posant
HT. 3..5 ~\ ZJT
il Aient
Jcos - V' dv = — P sin - %^ + Q cos - 1^^ + R. et de même
f^sin-r^(/r = Pcos-r2 + 0sin-i>«+R'.
Jv 2 2 ' ^ 2 •
En remarquant que l'on a
rcos-t;^cfo= I cos-v*(/t)— I cos-r2|/r== C,
rsin-r'(/r= | sin-i>^ffo— | sin -tJ*(/t'-= S.
BlfïRACTION. 335
on obtient définitivement les expressions suivantes : -
C= rcos!^»»<i» = l + P8in-t)î-Qco8-i^-R, S= fsin-ty»rf»=--Pcos-iy»-Qsin-»»-R'.
Jo 2 a a ^ a
On trouve d'ailleurs facilement les deqx «relations
j^ = iryF— 1.
av
86. Métliode de M. Mlliept. — Nous exposerpns enfin une troisième méthode de calcul due à M. Gilbert ^^); cette méthode, supérieure aux deux précédentes , présente avec elles des rapports que son auteur n'a pas aperçus; elle ramène le calcul des intégrales de Fresnel à celui des intégrales eulériennes qu'on désigne par la notation r.
Considérons d'abord l'intégrale C ou I cos -v^dv, et posons
l'où
et
du
dv
s/iitu
En substituant ces valeurs il vient
., 1 /^COSUj
K/ITtJo MU
(') Mém, couronnétde VAcad. de Bnixellet, XXXÎ, i.
336 LUMIÈfiE NON POLARISÉE.
On sait d'ailleurs que l'on a
£°e-''dt^'-^n.
d*oà l'on dëduit facilement, en posant
z^ = ux
et en regardant u comme une constante, et
L'expression dé C devient donc
, f=:L- r"s?^/ r^cZÉE
d'où, en intervertissant Tordre des intégrations,
(i = — ;= I -p 1 e costtirii.
L'intégration par rapport h u s'effectue facilement, car, en intégrant par parties , il vient
réî~"*cosii£/u=« sinu + x I é^^sinudn, Jo
f sinuflti==i— e costt — a: I e costiiTu,
Jo
d'où
r,i J a; «""(«cosu— sinu)
L'intégrale C prend pur suite la forme
1 r r^\/^dx C^e-^\Jxdx , . C^ e'^dx 1 C« — = I " — r -cosM I 5^1 hsmu I -= !•
iryaUo n-^^" Jo »-^-^ . Jo y/a(i-ha^")J
DIFFRACTION. 337
La première des intégrales contenues dans la parenthèse s'évalue facilement en posant
il vient alors
rV/.r d.r
y/îi Jo \r' — y/a 2 4-1 z' -4- ya r -4- 1 /
+ arc tang [y/a 2 — i ) + arc tang (v^ z+ 1 j !
En posant
G = — i— 1° ^ ^yjxdx Try/âJo \-\-3c^
v\/2Jo y/a: (1 -h a?*)
nons aurons définitivement
C= I cos-v^dv^ GcosM + Hsinu,
et, par un calcul tout à fait analogue,
S-= I sin-v^dv=^ Gsinti — Hcosm.
En comparant ces formules avec celles de Caucliy. on voit que,
lorsque les restes R et R' des séries de Cauchy sont négligeables,
on a
Verdst, V. — Optique, 1. a*i
338 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Les séries de Gauchy. peuvent donc servir à calculer les intégrales G et H de M. Gilbert toutes les fois que u a une valeur un peu considérable.
Lorsque la valeur de u est petite, les séries de Knochenhauer peuvent être employées pour le calcul des intégrales G et H. Les formules de M. Gilbert donnent en effet
G =-(cosM4-sintt) — Ccosw — Ssinii, H = - (cosw — sintt) + C sinu — S cosu,
et celles de Knochenhauer
C = Mcostt+NsinM, S = ~ Ncosu + Msinw; il vient par conséquent
G = - (cosu + sintt)— M, H = - (costt — sinM)+N.
Les intégrales G et H peuvent donc être calculées à Taide des séries M et N lorsque ces dernières sont suffisamment convergentes, c'est-à-dire pour de petites valeurs de la variable u.
Les intégrales G et H, qui peuvent être regardées comme des fonctions de u, possèdent une propriété très-importante et qu'il esl facile de mettre en évidence. Lorsque u est égal à zéro, on a
or, d'après des formules connues,
r^\/xdx TT r^ dx Tt
Jo ï -»- ^'^ \/2 J 0 \/x{\-h X*] y/a '
donc^ pour une valeur nulle de ti, on a
DIFFRACTION. 339
La quantité u est toujours positive; si on lui donne des valeurs croissantes à partir de zéro, la quantité e~°' décroît rapidement, et par suite il en est de même de chacun des éléments des intégrales G et H. Il résulte de là que ces intégrales décfoissent rapidement et d'une manière continue lorsqu'on donne à u des valeurs positives croissantes, et qu'elles tendent vers zéro lorsque u augmente indéfîniment. Cette propriété des intégrales G et H nous sera du plus grand secours dans la discussion des problèmes de diffraction et constitue la supériorité de la méthode de M. Gilbert sur celles de Knochenhauer et de Cauchy.
A. — PnKNOMlbrRS PRODUITH par m iCRAN OPAQUE IHDiPlRl D«DN CÙti BT TBBMIN^ DR LUUTRK
PAR UR RORD RRCTILIGIIB ÉGALEMENT INDÉFINI.
87. Deseripttoii des plténoméiics et ibéorle élémeiitolre. — Nous allons appliquer successivement les méthodes de calcul que nous venons de faire connaître à la discussion des principaux cas de diffraction. Supposons d'abord que l'écran diffringent soit indéfini d'un côté et terminé de l'autre par un bord rectiligne également indéfini. Soit 0 le point lumineux (fig. 69), et considérons une onde tangente au bord de l'écran; par le point 0 menons un plan perpendiculaire à ce bord : ce plan passera par le point de contact A et coupera Tonde suivant un grand cercle AX. D'après ce que nous avons vu plus haut (82), il sufHt de chercher la distribution de la lumière sur une droite BD, menée dans ce plan perpendiculairement au rayon OA qui passe par le point de contact, et, de plus, les apparences ne sont pas sensiblement changées lorsqu'on substitue au point lumineux une fente lumineuse parallèle au bord de l'écran.
En observant, dans les conditions que nous venons d'indiquer, le phénomène projeté sur un écran à une distance peu considérable du corps diffringent, ou en le regardant directement h l'aide d'une loupe, on constate les apparences suivantes :
i"" L'ombre ne commence pas sur la droite BD au point B, comme le veut la théorie géométrique : dans l'intérieur de l'ombre géométrique et jusqu'à une distance sensible du point B il y a de la lumière; cette lumière s'affaiblit rapidement et d'une manière continue
aQ
340 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
à mesure qu'on sVloigne du point B, sans présenter de maxima ni de minima.
9° A l'extérieur de Torabre géométrique, la lumière présente une série de maxima et de minima donnant lieu à des franges alternativement brillantes et obscures dans la lumière homogène, colorées dans la lumière blanche; les minima ne sont pas nuls et la différence entre un maximum et un minimum consécutifs décroît rapidement à mesure qu'on s'éloigne de la limite de l'ombre géométrique, de sorte qu'à une petite distance du point B l'éclairement devient sensiblement uniforme.
Nous allons en premier lieu faire connaître la théorie élémentaire à l'aide de laquelle Fresnel a pu rendre compte , sans aucune espèce de calcul, de l'ensemble des phénomènes. 11 suffit, comme nous l'avons expliqué (82), de considérer l'action de l'onde circulaire AX sur les différents points de BD. Le point B reçoit l'action de la demionde AX; la vitesse de vibration en ce point est donc la moitié de celle qu'y enverrait l'onde circulaire tout entière, et, par suite, l'intensité lumineuse en B est le quart de ce qu'elle serait si l'écran n'existait pas.
Prenons un point M sur la droite BD , dans l'intérieur de l'ombre géométrique ; la portion AX de l'onde circulaire qui peut agir sur ce point commence au point A, qui est d'autant plus éloigné du pôle du point M que ce point M est lui-même à une plus grande distance de B, c'est-à-dire situé plus avant dans l'ombre géométrique. Si nous divisons la portion efficace AX de l'onde en arcs élémentaires à partir du point A, la vitesse envoyée en M par cette portion de l'onde sera une fraction de la vitesse envoyée par le premier arc élémentaire qui commence au point A (52). Or, à mesure que le point M s'éloigne du point B, ce premier arr élémentaire est situé à une distance de plus en plus grande du pôle du point M, et par suite sa longueur décroît rapidement (52); de plus, la fraction par laquelle il faut multiplier la vitesse envoyée par ce premier arc élémentaire en M pour avoir la vitesse envoyée par la portion efficace de l'onde devient aussi de plus en plus petite , car le décroissement des arcs élémentaires s'opère de moins en moins rapidement à mesure qu'on s'éloigne du pôle, d'où il résulte que la fraction dont nous venons
DIFFRACTION. 341
de parier décroît en tendant vers une limite égale à ;• Pour ces deux raisons, l'intensité lumineuse au point M décroît rapidement et d'une manière continue lorsque ce point s'éloigne de la limite de l'ombre géométrique, et, à une petite distance de cette limite dans l'intérieur de l'ombre géométrique, l'intensité devient inappréciable.
Soit maintenant un point P situé sur la droite BD , à l'extérieur de l'ombre géométrique, et ayant pour pôle le point C; ce point P reçoit l'action de la demi-onde circulaire CX, plus celle de l'arc AC. La vitesse envoyée en P par la demi-onde CX peut être regardée comme constante quelle que soit la position du point P, en négligeant la variation qu'éprouve la distance CP du point P à son pôle lorsque ce point se déplace sur la droite BD; quant à la vitesse envoyée en P par l'arc CA, elle est variable et dépend du nombre d'arcs élémentaires contenus dans l'arc CA. Désignons par a, a, a',... les vitesses envoyées en P par les arcs élémentaires qui se succèdent à partir du pôle , et prenons pour unité la vitesse envoyée au même point par la demi-onde CX : nous aurons
et, comme les quantités a, a, a\ . . . vont en décroissant,
c'est-à-dire que la somme des termes de la série est supérieure ou inférieure à l'unité suivant qu'on conserve un nombre impair ou un nombre pair de termes. Ceci posé, prenons sur la droite BD, en dehors de l'ombre géométrique, une suite de points P, P', P''. ... tels que Ton ait
PA
