Calcul de rintenslté par la métliode de Fresnël
Désignons par a le rayon OA de l'onde, par b la distance AB de l'écran sur lequel on suppose le phénomène projeté à l'écran diffringent (fig. 69). Prenons dans l'intérieur de l'ombre géométrique un point M : le pôle de ce point se trouve en G, et la distance MG varie avec la position du point M ; mais , si l'on n'observe les phénomènes que dans le voisinage de la limite de l'ombre, seule région où l'intensité varie d'une manière sensible, on peut admettre que la distance MG est égale à AB, c'est-à-dire à b. L'intensité lumineuse au point M, d'après les formules établies précédemment (82), a donc pour expression
en appelant S l'arc AG qui sépare le pôle du point M du bord de l'écran. Si nous posons
TT g nia-\-b)s* a abX
cette expression devient
"=Mi^i[(jr-'''*)'+(jr''»i-*)']-
La limite inférieure V des intégrales est liée à l'arc S par la relation
3&& LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Avant d'entrer dans la discussion des valeurs que prennent les intégrales lorsqu'on fait varier V, il est utile d'exprimer en fonction de V la distance BM du point M à la limite de l'ombre géométrique, distance que nous représenterons par x. L'arc AG étant assez petit pour pouvoir être confondu avec sa tangente, on a
l'oii
a-hbç^ J{a
b)bX
aa
La valeur ainsi trouvée pour x va nous conduire à une conséquence générale fort importante. Si l'on considère le phénomène à des distances différentes du corps diffringent, c est-à-dire si l'on donne à b différentes valeurs , les valeurs de x qui correspondent à un même maximum ou à un même minimum sont données évidemment par la même valeur de V, car le facteur— r^ — ,~ , qui entre ^ 2(a-«-6) *
dans l'expression de l'intensité , n'influe pas sur les positions qu'occupent les maxima et les minima pour une valeur déterminée deb. Les positions occupées par un même maximum ou par un même minimum à des distances variables du corps diffringent sont donc telles que Ton ait toujours
V conservant une valeur constante. 11 résulte de là que ces positions forment une courbe dont l'équation est, en prenant pour axe des y la droite AB et pour axe des x la perpendiculaire à cette droite menée par le point A,
ou
•jflo?-^ - VUy^ - aVUy = 0.
Cette équation représente une hyperbole ayant pour sommets les points 0 et A. Donc» lorsqu'on s'éloigne de l'écran diffringent, le»
DIFFRACTION. 345
franges se déplacent suivant des branches d'hyperbole ayant pour sommets le point lumineux et le point où le plan mené par le point lumineux perpendiculairement au bord de l'écran rencontre ce bord.
La valeur obtenue pour x montre de plus que les franges vont en s'élargissant à mesure qu on les observe à une distance plus grande de l'écran diffringent, et aussi à mesure qu'on rapproche la source lumineuse de cet écran.
Supposons actuellement que b conserve une valeur constante : l'intensité lumineuse au point M situé dans Tombre géométrique est alors représentée par
p=.^[(r-î,<*).+(rsi„î^*)'].
En posant
V ^ cos - v^dv = Cv,
sin- v^àv = Sv,
et en remarquant que l'on a
cos - v^dv = sin - v^dv = - Jo 3 Jo 2 a
cette expression devient
abX
'"=7i^a{i~<^0'+(;-sOT
On est ainsi conduit à discuter rex|)ression
(i-cy+a-s.)'.
qui est une fonction de V. Si l'on cherche, comme l'a fait Fresnel, les valeurs de cette fonction pour des valeurs de la variable V croissant par dixièmes, en employant pour le calcul des intégrales (iy et Sy la méthode que nous avons indiquée précédemment (83), on trouve que ces valeurs vont en décroissant d'une manière rapide et
316 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
deviennent sensiblement nulles dès qu'on donne â V une valeur un peu grande. Mais il n'est pas démontré par là d'une manière rigoureuse qu'il n'y ait à l'intérieur de l'ombre géométrique ni maximum ni minimum, et, à ce point de vue, la théorie élémentaire est plus complète que la théorie mathématique telle que l'a donnée Fresnel. Pour un point situé en dehors de l'ombre géométrique, l'intensité est représentée par
ab\ r/ r^
abX
L'expression que l'on a à discuter est donc dans ce cas
Les calculs eilectués par Fresnel montrent que cette expression, lorsque V croit d'une manière continue , passe par une suite de valeurs alternativement croissantes et décroissantes, et présente par conséquent une série de maxima et de minima. Les tables dressées par Fresnel donnent les valeurs de cette expression pour des valeurs de V croissant par dixièmes ; il est donc toujours possible de trouver deux nombres différant d'un dixième et entre lesquels est comprise la valeur de V qui correspond à un maximum ou à un minimum d'un rang déterminé. Soient t et t+ 0,1 ces deux nombres, et représentons par t + ( la valeur de V qui correspond au maximum ou au nn'nimum; pour déterminer cette valeur de V, il suffira de chercher la valeur de t qui rend maximum ou minimum l'expression
(i + (:. + j;''"''cos%^</.)^+(l+S,4-j;''"sinf««rf.)'.
Les valeurs des intégrales C, et S, se trouvent dans les tables; en intégrant de ik i+i par la méthode d'approximation la plus simple, méthode que nous avons indiquée en parlant de la construction des tables et qui n'est applicable que pour de petites valeurs de (, l'ex-
DIFFRACTION. Jà7
pression précédente devient
l + Q + ^[8in^(.^+.ù)-sin^?]}^
En égalant à zéro la dérivée de cette expression par rapport à ^ on a une équation qui détermine la valeur cherchée de t; cett« équation est
!i + Ci + ij.[sinf(,^+a{()-sinf.^]jcosf(,^+3Ù)
d'oii
(i + C,-i.sin%^)cosf(,^+3/<)
+ (î+S; + i-.cos^»^^)sinf{,^^+,.-0 = o, et enfin
hti: :Sin- l-
tang-(i^+3/() = --
- + o • H — : cos - r
On peut donc calculer les valeurs de V qui donnent les maxiina et les inininia et en déduire dans chaque cas particulier, c'est-àdire lorsque les quantités a, & et X sont données, les valeurs correspondantes de X. On a ainsi les éléments d'une comparaison entre la théorie et l'expérience ; mais ici se présente une difficulté : pour effectuer cette comparaison, il fautmesurer les distances des franges h la limite de l'ombre géométrique ; or, cette limite n'est pas une ligne physiquement déterminée. Fresnel a réussi à tourner cette difficulté: il employait deux écrans à bords rectilignes et parallèles, assez éloignés l'un de l'autre pour que les systèmes de franges produits par ces deux écrans ne pussent pas s'influencer réciproquement. Pour s'assurer que celte dernière condition était remplie, il
U8 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
se servait d'abord d'un seul écran et faisait coïncider le trait du micromètre avec le milieu d'une frange; il constatait ensuite qu'en ajoutant le second écran cette coïncidence n'était pas détruite. Les deux écrans, se trouvant à la même distance de la source lumineuse, donnaient naissance à deux systèmes de franges dans lesquels les maxima et les minima de même rang étaient à la même distance de la limite de l'ombre géométrique de chaque écran. Donc, en mesurant la distance de deux franges occupant le même rang dans les deux systèmes et en retranchant cette distance de celle des limites des ombres des deux écrans, on avait le double de la distance d'une de ces franges à la limite correspondante; la distance entre les limites des deux ombres se déduisait facilement de la distance entre les bords des deux écrans, longueur qu'on mesurait avec beaucoup de soin au commencement de l'expérience.
Les formules que nous avons établies plus haut permettent d'ailleurs de calculer non-seulement les valeurs de V ou de x qui correspondent aux maxima et aux minima de l'intensité, mais encore les valeurs de ces maxima et de ces minima eux-mêmes ; on trouve ainsi que la différence entre un maximum et un minimum consécutifs décroît très-rapidement lorsqu'on s'éloigne de l'ombre géométrique, ce qui explique pourquoi les franges ne s'observent que dans une région peu étendue.
Une remarque assez simple, qui a échappé à Fresnel, permet de trouver la loi qui règle la position des franges d'un rang un peu élevé à l'extérieur de l'ombre géométrique. Les valeurs de V qui rendent l'intensité maximum ou minimum doivent annuler la dérivée par rapport à V de l'expression
ces valeurs vérifient donc l'équation
d'où
(; + Cv)cosîV^ + (i + Sv)sinJV^=o,
et enfin
DIFFRACTION. 349
Lorsque V a une valeur un peu considérable , les- intégrales Cy et Sv se rapprochent beaucoup de leur limite commune, qui est égale à -; l'examen des tables montre en particulier que ces intégrales se confondent sensiblement avec leur limite dès que la valeur de V est supérieure à 6. Dans ce cas, l'équation précédente se réduit à
tang|V2 = -i
et donne pour V deux séries de valeurs déterminées par les relations
et
il est facile de s'assurer que la première série correspond aux maxima et la seconde aux minima. On a d'ailleurs
TT yj 7r(a-hh)S*
2 ahX
d'où
2 ab '
comme la différence S des distances du point éclairé au pôle et au bord de l'écran est représentée par r— - » il vient
^^Y!A, d'où V2-=^.
En substituant cette valeur dans les relations qui déterminent les valeurs de V correspondant aux maxima et aux minima. on voit
850 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
c{ue, pour les points où l'intensité est maximum, on a
et, pour les points où l'intensité est minimum,
Ainsi, il y a maximum lorsque la différence des distances du point éclairé au pôle et au bord de l'écran est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation moins un huitième de la longueur d'ondulation , minimum lorsque cette différence est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation moins la même fraction de la longueur d'ondulation.
Cette loi, d'après laquelle les maxima et les minima réels sont un peu plus rapprochés de la limite de l'ombre géométrique que ceux qu'indique la théorie élémentaire, n'est vraie que pour les franges d'un rang élevé. Pour qu'elle soit applicable, il faut en effet que l'on ait
ou
Ce n'est donc qu'après la neuvième frange brillante que la loi pourra se vérifier, en supposant que des franges d'un rang aussi élevé soient encore visibles.
