Calcul de l'Inteiuilté par la métliade «e CmmfÊkj
La méthode de calcul de Gauchy, appliquée au cas dont nous nous occupons^ va nous conduire à des résultats plus précis que celle de Fresnel.
Pour un point situé dans l'intérieur de Tombre géométrique, l'intensité est représentée , comme nous l'avons vu , par
tes valeurs de V qui correspondent aux maxima et aux minima doi*
DIFFRACTION. 351
vent par conséquent vérifier l'équation
tang^V»:
Si V est un peu grand, si, par exemple, la valeur de cette va rîable est supérieure à 3 , les restes des séries de Cauchy sont négligeables, et Ton a
Cv = i+Psin^V2-0cos-V^ Sv=--Pros-V2-0sin-V^
Dans cette hypothèse, l'équation précédente devient
Psin-V2- Ocos-V»
•«"&iV^=--i
Pcos-V^ + Osin-V»' a 3
Or
tt'T ir'\' ' 7r*V
les termes de cette série vont en décroissant lorsque V est supérieur à 3 : la valeur de Q est donc dans ce cas comprise entre -7^1 et — irrâ — ^T-(r7 » ^^^ï^tités qui sont toutes deux positives, et l'équation
n'a pas de solution.
Il est démontré par là qu'il n'y a ni maximum ni minimum dans l'intérieur de l'ombre géométrique, dès qu'on s'écarte assez de la limite de cette ombre pour que V devienne plus grand que 3 ; mais pour faire voir que le décroissement de l'intensité s'opère également d'une manière continue pour les points qui correspondent à des valeurs de V inférieures à 3 , une discussion numérique est nécessaire,
352 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
de sorte qu'on retombe en partie dans i'imperTeclîon déjà signalée de la théorie de FresneL
Pour les points situés à l'intérieur de l'ombre géométrique, l'expression de l'intensité devient très-simple lorsque V a une valeur un peu considérable. On a en effet dans ce ras
l-2=.Ji*^ (p-i + Qî).
Si l'on néglige tous les termes dans lesquels V entre au dénominateur à une puissance supérieure Ji la seconde, cette dernière expression se réduit à
2(rn-6) n'V
V étant proportionnel à la distance du point éclairé à la limite de l'ombre géométrique (88), on voit que, pour les points situés à l'intérieur de cette ombre et suffisamment éloignés de sa limite, l'intensité varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance du point éclairé à la limite de l'ombre.
Pour les points situés en dehors de l'ombre géométrique, les valeurs de V qui correspondent aux maxima et aux minima sont données par l'équation
i+Cv i + Psin-V^-Qcos-V^
tang^V^=-;
-+Sv Pcos-V2 + 0sin-V2-i d'où
sin-V2 + cos-V« = 0.
Lorsque V a une valeur un peu considérable. Q est très-petit, car on a toujours
Téquation précédente devient donc, en négligeant les quantités de l'ordre de -rrà »
