ANNEAUX COLORES DES PLAQLES EPAISSES
70/i. Newtoîk, Optic», liv. II, part. IV.
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VH, 696.
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8."»!. SroKbs. On the Co^Ml|^ of ihick Plal<*s. Cmidn', Trttit'^, l\, 1/17. —
PhlL }hg., ( '1 ) . Il . 'i 1 9. — /««/.. \\ . 9:5.
DIFPKACTION. 355
grales et les séries P et Q de Cauchy. Les équations auxquelles nous sommes arrivés en suivant la méthode de Cauchy sont donc rigoureusement vérifiées pour toutes les valeurs de V lorsqu'on y remplace P par H et Q par G.
Il résulte de là qu'à l'intérieur de l'ombre géométrique les valeurs de V qui correspondent aux maxima et aux minima doivent vérifier l'équation
et que l'intensité est représentée pour tous les points situés à l'intérieur de l'ombre par
L'équation
n'a pas de solution , puisque tous les éléments de l'intégrale G sont positifs; les intégrales G et H décroissent d'ailleurs rapidement et d'une manière continue lorsqu'on fait croître V, et par suite la variable u dont dépendent ces intégrales, et il en est de même de l'expression G^+ H^ à laquelle l'intensité est proportionnelle. Ainsi se trouve rigoureusement démontrés le décroissement continu de la lumière et l'absence de franges à l'intérieur de l'ombre géométrique.
A l'extérieur de l'ombre géométrique les positions des maxima et des minima sont données rigoureusement par l'équation
(i) sin^V2+eos^V2=G,
quelle que soit la valeur de V.
L'intégrale G décroît très-rapidement quand V croît à partir de zéro; donc, pour les valeurs de V qui ne sont pas très-petites, l'équation (i) peut s'écrire approximativement
(a). sin - V^ + cos - V^ = 0.
En substituant dans le second membre de l'équation (i) les valeurs approchées de V obtenues à l'aide de l'équation (2), on aura
356 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
des valeurs plus exactes: mais les valeurs tirées de l'équation (â) sont déjà beaucoup plus approchées qu'on ne serait porté h le croire. Si, par exemple, nous considérons le premier maximum, nous aurons, d'après l'équation (â), pour la diflerenc^ S des distances du point éclairé au pôle et au bord de l'écran ,
en substituant cette valeur dans l'équation (i) on en déduira la valeur plus approchée
*î = ^X~ o,oo/i6X.
L'erreur commise en adoptant la première valeur de S est donc trop petite j)our pouvoir être reconnue môme par les procédés de mesure les plus délicats.
Pour le premier minimum, la valeur de S tirée de l'équation (2) est
et celle qu'on obtient au moyen de l'équation (1)
<î = i X + o,ooi6X.
On peut remarquer que la valeur donnée par l'équation (9) et correspondant au maximum est approchée par excès, tandis que celle qui correspond au minimum est approchée par défaut. Il est facile de voir que cette remarque s'applique aux maxima et aux minima d'un ordre quelconque. Il suHit pour cela de se rappeler que
l'intégrale G , qui est égale à - lorsque V est nul , décroît d'une
manière continue en restant positive quand on fait croître V à partir
de zéro, tandis que la quantité sin - V^+cos - V*^ prend alors des
valeurs alternativement positives et négatives, d'où il résulte que cette dernière quantité devient égale à G avant de s'annuler et après s'être annulée et que, par suite, les racines de l'équation (t) sont alternativement |)lus grandes et plus petites que celles de l'é-
DIFFHACTIOiN. 357
quation (a). Donc, si la valeur de V donnée par Téquation (9) et (lui correspond au premier maximum est approchée par excès, il en est de même de toutes les valeurs tirées de cette équation et correspondant aux autres maxima; par la même raison, toutes les valeurs données par l'équation (9) et correspondant aux minima sont approchées par défaut.
En remplaçant P par H et Q par G dans la valeur que nous avons obtenue en suivant la méthode de Cauchy pour l'intensité lumineuse en dehors de l'ombre géométrique, nous aurons une expression qui convient à tous les points situés en dehors de cette ombre, quelle que soit leur distance à la limite de l'ombre. Cette expression est
-9G(sin^V'^ + cos^V2)],
d'où, en remarquant que l'on a
sin - V*-^ + cos - V2= i/ 2 sin - (Y' + -) .
et
Sin- \-- cos- V-= — V a cos- V-4--b 2 2 ^ 2 \ ' 2/
■-,-^['^ + G'^ + H-^-^V'-^Hcosf(VH-i)
En remplaçant 9 par 9 sin-^- fV*^+-J +cos'-^- fV*-+-j Lilvient
+ [H-v^co.I(V'+!)]'j-
Cette dernière expression fait connaître la valeur de l'intensité pour un point quelconque situé en dehors de l'ombre géométrique; elle se simplifie notablement pour les points où l'intensité est maximum
358 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
ou minimum: dans ce cas en effet on a très-approximativement
sm- >^4-cos- V-^ = 0,
ou
.mî(V' + S = o
et l'expression de Tinlcnsité devient
i'=;iJTF,j«'+[H-v^c<»î(v=+;)]>
Celte valeur de l'intensité peut se simplifier encore; car, d'une part, les tables dressées par M. Gilbert montrent que l'intégrale G est toujours beaucoup plus petite que l'intégrale H, et, de l'autre, pour les points oii l'intensité est maximum ou minimum,
cos - fV^ + -) diffère très-peu de— i ou de + t; Tinteijsité en ces points est donc sensiblement représentée par
le signe + s'appliquant aux maxima et le signe — aux minima.
La différence d'intensité entre un maximum et un minimum consécutifs est d'après cela —. tt *J\/^i3 (H1 + H2), Hj étant la valeur de
H qui correspond au maximum, Ho celle qui correspond au minimum. Les quantités H| et Hg décroissant rapidement à mesure qu'on s'éloigne de la limite de l'ombre géométrique , il en est de même de la différence d'éclat entre une frange brillante et la frange obscure suivante.
Quant à la loi du décroissement de l'intensité à l'intérieur de l'ombre géométrique, elle est beaucoup plus difficile à mettre en évidence au moyen de la méthode de M. Gilbert que par celle de Cauchv.
