I SmTT 7-v— r/«+ I SlIITT — rT-tt
Lj-oo (ib\ ^Jl-l (ihX J
En remplaçant les intégrales en s par celles en v et en posant
cette expression devient
' = — -. I cos -v^fli'-h I cos-t?-fly
a(a-h6) LvJ oo 3 JV, 2 /
a^a-hoj LVJ-oo a
+ ( I * sin-t)*^rftJ+ I sin-r^rfr) |«
Dans le cas où le point éclairé est situé en dehors de l'ombre géométrique, en comptant positivement les arcs situés du même côté du pôle que le corps opaque, les limites des deux intégrales en s seront
DIFFRACTION. 365
respectivement — oo et li — l, A + / et + oo ; on aura donc alors
M *sin-v^rfv+( sin-r^é/vj'
Pour déterminer dans l'un ou l'autre cas les valeurs de h qui rendent rintensité maximum ou minimum, on laissera de côté le facteur constant —, — -TT et on calculera à l'aide des tables dressées par
Fresnel les valeurs de la parenthèse qui suit ce facteur pour des valeurs équidistanles de A. On obtiendra ainsi deux valeurs de h entre lesquelles sera comprise celle qui correspond à un maximum ou à un minimum d'un rang déterminé; on calculera ensuite plus exactement cette dernière valeur de h à l'aide de la méthode d'interpolation que nous avons fait connaître plus haut (88).
9Â. Caleul de rintensité |iar la méthode de m. Gilbert.
— Nous allons appliquer maintenant aux phénomènes produits par un écran opaque étroit, à bords rectilignes et parallèles, la méthode de M. Gilbert. Nous poserons pour abréger
a(rt-i-ft)
Nous nous occuperons en premier lieu du cas où le point éclairé est situé dans l'ombre géométrique; on a alors, d'après les notations que nous venons d'indiquer,
et par suite
12= K! ( cos -v^dv+ I cos -v^dvr
H- I sm-v^tlv+ \ sm-v^avl {•
366 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
En remarquant que l'on a
■' I cos - v^r/i' — I cos — tr ar
et en posant
j cos-v^av = L
2 e-hf*
il vient
I cos -irav = b , •
J-oo '>^ 2 en-f»
Par des transformations analogues et en posant
I cos -v^dv = L 1
I sin -tr(lv=^r> ^ I s\n-v^dv-^b ^
on obtient l'expression
Pour trouver les valeurs de la variable fi qui rendent l'intensité maximum où minimum, il faut égaler à zéro la dérivée de cette expression prise [)ar rap[)ort à (ly ce ([ui donne
(.-C.^,-(:,J[co.s^(.-,)^-cosf(e+^f]
('-Se+,„--Vj[''''"?(^-f*)*-''''"?K'*)*]^°-
En posant
UIFFKACTION. 201
verger en son foyer principal F les rayons parallèles à AP «prou peut supposer émanés des différents poinl<« de rouverlure; la réfraction à travers la lentille, supposée aplanélique, n'introduisant aucune différence de marche entre les rayons qui concourent en sou ro\er (35), ces rayons emploient encore des temps égaux pour se propager du plan AD, qui leur est perpendiculaire, jusqu'au foyer F. Les différences de phase de ces rayons seront donc exactement au fojer F ce qu'elles seraient en P sans la présence de la lentille, et par suite l'intensité lumineuse aura en F la même valeur qu'en P, à un facteur constant près. Si maintenant on considère des rayons pa« rallèles à une direction AP' faisant un petit angle avec l'axe de la lentille, on voil que ces rayons iront très-sensihlement concourir en un point F' voisin du foyer principal; la réfraction à travers la lentille ne communique encore dans ce cas aux rayons aucune différence de marche appréciable, et par suite ces rayons emploient des temps égaux pour se propager du plan AD' qui leur est perpendiculaire jus(|u'au point F'. L'intensité au point F' sera donc proportionnelle à ce qu'elle serait, si la lentille n'existait pas, en un point P' situé à une distance extrêmement grande sur la direction AP'. Ainsi , si l'axe de la lentille est parallèle à AP, on observera les mêmes apparences dans le plan focal de la lentille autour du point F que sur un écran extrêmement éloigné autour du point P, et, en faisant varier la direction de l'axe de la lentille, on apercevra les phénumènes qui seraient venus se peindre dans les différentes régions de l'écran.
Le plus souvent on se sert, au lieu d'une simple lentille convergente , d'une lunette astronomique avec laquelle on vise l'ouverture diffringente et dont l'axe optique peut recevoir différentes directions: l'oculaire fait alors office de loupe, et, en adaptant un micromètre à la lunette, il est possible de prendre des mesures. La lunette est montée ordinairement sur un cercle gradué, ce qui permet d'évaluer l'inclinaison de son axe optique sur la direction des rayons incidente.
Lorsqu'on se propose uniquement d'examiner l'aspect des pbéno* mènes sans prendre de mesures, on peut supprimer la lentille convergente et placer simplement l'œil derrière l'ouverture diffringente ;
368 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
En substituant ces valeurs dans l'expression de l'intensité, il vient
(3) P=K i f(G, + G^)cos7re^+(H,-. H^) sin^e^tp
+ [(G^ — G^) sinnefx— (H„ + H^) cosve/ùtp
En remplaçant dans l'équation (1), qui détermine les maxime et les minima, les intégrales G et S par leurs valeurs en fonction des intégrales G et H, on a
(G^ cos a — H^ sin a + Go cos j8 — H « sin jS) (cos a — cos 0)
H-(G^sina + HjjCosa+Ggsin/3+HflCOSjS) (sina — sinj8)=o;
cette équation se simplifie singulièrement si l'on remarque que Ton a
(G^ cosa + GflCOSjS) (cosa — cosjS) + (G^ sina+G|3sinjS)(sina — sin^) ==^a-^p-^a COS (/3 - a) + G^cos (/3 - a) = (G«-G^)[i-cos(/3-a)] = 2(G^- G ^)sin^ 71 sfjL,
et
— (H^ sin a + H^ sin 0) (cos a— cos 0)-+ (H ^ cosa+ Ua cos/S) (sin a— sinjS) = — H^ sin (jS - a) — H«sin (/3 — a) = — 2 (H^ + H«) sinTre^xcosire^x.
L'équation qui donne les valeurs de fi correspondant aux maxima et aux minima prend ainsi la forme
(3) (G^ — Gg)sin^7re/ùt — (H^ + Hfl) sinw£f£C0S7re|ùt = o
et se divise en deux autres qui sont
(à) sinwÊ/ùt=-o
et
(5) (G^ G«)sin7r€ft — (H^ + H^) cosTrefx = o.
11 est facile de s'assurer que les racines de l'équation (4) cotres-
DIFFRACTION. 369
pondent toutes à des maxima. Soit en effet /uj une des racines : le premier membre de l'équation (3) étant toujours de même signe que la dérivée de l'intensité par rapport à ft, la racine fii correspondra à un maximum si ce premier membre est positif pour une valeur de fi un peu inférieure à /U], et négatif pour une valeur de (jl un peu supérieure à /ùt,. C'est ce qui arrive en réalité, car les racines de l'équation (4) doivent vérifier la relation
n étant un nombre entier, et, par suite, pour une valeur de fx voisine d'une de ces racines, le signe du premier membre de l'équation (3) est celui de son second terme, qui, puisque la quantité H^-hH«
est essentiellement positive , est lui-même positif ou négatif suivant que la valeur de (i est inférieure ou supérieure à celle de la racine. Si l'on se reporte à la définition des quantités e et fi^on voit qu6 les positions des maxima de lumière situés à l'intérieur de l'ombre géométrique et déterminés par l'équation (4) sont données par l'équation
aoA '
qui, en désignant par x la distance du point éclairé au milieu de l'ombre géométrique et en remarquant que l'on a
devient
'Xl 2
Ainsi la théorie exacte assigne aux maxima situés à l'intérieur de l'ombre géométrique les mêmes positions que la théorie élémentaire.
Nous avons maintenant à chercher les racines de l'équation (5), qui peut être mise sous la forme
tang^e^ = -jT^-3^-
VisRnRT, V. — Optique, I. rxk
2fiS LUMIÈKE NON POLAIUSEE.
qui donne rinlensité devient
•iiT T-: —
^ si» aTT Jj^ rfo; j ^ cosaTTjgrfy
a Vax rejiiarquunt que l'on a
I sin air jTTrf« = o, I sin aiTKvwjf^o,
COS ÎITT ttî "^ ^ "^ ^*"'*' RX'
COS ÎITT ^<- m -^ — siii n ïr^ »
(le zéro finit par atteindre la valeur (jui convient à un point situé à la limite «le l'ombre géométrique, (a devient égal h e, et Ton a
a^=o, ^-=97re-,
d'où
H« = fi- = - ;
les quantités Gi3et Ha sont alors négligeables vis-à-vis de G^ et de
H^, et, par suite, l'ordonnée de la seconde courbe est sensiblement
égale à l'unité. Cette ordonnée décroît donc depuis une valeur infinie jusqu'à l'unité. 11 résulte de là que la seconde courbe coupe chacune des branches positives de la première en un seul point. Il y a par conséquent toujours une racine, et une seule, de l'équation (5),
comprise entre et » n étant un nombre entier quelconque. Les racines de l'équation (4) étant données par la formule
on voit qu'entre deux racines de l'équation (4) il y a toujours une racine de l'équation (5), et une seule, d'où il isUit que, les racines de l'équation (4) correspondant exclusivement aux maxima, celles de l'équation (5) correspondent exclusivement aux minima.
Les positions des minima à l'intérieur de l'ombre géométrique ne sont pas, d'après ce que nous venons de voir, soumises à des lois simples. On peut remarquer seulement que, pour les premiers minima, les points d'intersection des deux courbes diffèrent peu des points d'intersection de la seconde courbe avec les asymptotes de la première, et que, par conséquent, les valeurs de fx qui correspondent à ces minima vérifient approximativement la relation
^ = (911+1)^' d'où l'on tire
c'est donc seulement dans le voisinage du milieu do l'ombre que les
372 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
positions assignées aux minima de lumière par la théorie exacte coïncident sensiblement avec celles qu'on déduit de la théorie élé> mentaire.
L'évaluation des intensités que présentent les maxima et les minima à l'intérieur de l'ombre n'offre aucune difficulté. L'équation (^i), [lont le second membre représente d'une manière générale l'intensité à l'intérieur de l'ombre, devient, pour les points où l'intensité passe par un maximum ,
puisqu'en ces points on a
sin7re/ùt = o, cosirefjL = dt i.
Au milieu de l'ombre on a
cl par suite
si récran opaque était indéfiniment étendu d'un cAté, l'expression
de l'intensité k l'intérieur de l'ombre serait, comme nous l'avons
vu (90),
l''=K(G. + HJ-
d'où l'on peut conclure que l'intensité de la lumière au milieu de l'ombre d'un écran étroit est le quadruple de ce qu'elle sérail si l'écran était indéfiniment prolongé d'un côté.
A mesure que (jl augmente, c'est-à-dire lorsque, partant du milieu de l'ombre, on s'approche de sa limite, a décroît de-e^à zéro
tandis que /3 croît de - e^ à 4 -- e^ : G^ augmente donc dans ces conditions ainsi que H^, tandis que G^ et H^ diminuent; mais, comme G^ et H^ sont toujours respectivement plus grands que Go et H^, et que les différences qui existent entre G^ et G a d'une part, entre H^ et Ho de l'autre, croissent rapidement avec /«, l'expression qui représente l'intensité des maxima de lumière augmente aussi avec /u: ces
DIFFRACTION. 373
uiaxima vont donc en augmentant d'éclat depuis le milieu de Tonibre géométrique jusqu'à sa limite. L'éclat du maximum qui occupe le milieu de l'ombre étant représenté par 4K (G^ + H^)*\ elle facteur
k étant indépendant de la largeur du corps opaque, cet éclat, en supposant les distances a et b constantes, sera d'autant plus grand que a sera plus petit, c'est-à-dire que le corps opaque sera plus étroit, résultat entièrement conforme à l'expérience.
Pour les intensités des minima de lumière à l'intérieur de l'ombre on a, en tenant compte de l'équation (5) qui détermine les positions de ces minima,
• P=K[(G,+ G^)cos7refz+(H^-H^)sin7refz]2; l'tMjuation (5) donne d'ailleurs
cosircfi^^
y/(IIa+H^)-^+(G.-G^)-^
Ga-Gs
0ll.+ II^)-^ + (G.-G;3)-^ l'expression de l'intensité devient donc pour les uiinima de lumière
Pour les minima voisins du milieu de l'ombre, a et )S sont trèsprès d'êlre égaux; par suite, le numérateur de la fraction qui figure dans l'expression de l'intensité est très-petit, tandis que le dénominateur se réduit sensiblement à /iH^, quantité peu différente de l'unité. Les minima situés près du milieu de l'ombre géométrique doivent donc être presque nuls : ainsi se trouve expliqué ce fait que, dans l'ombre d'un corps opaque étroit, les franges obscures situées de part et d'autre de la frange centrale brillante sont presque entièrement noires.
La distribution de la lumière à l'extérieur de l'ombre géométrique est soumise à des lois beaucoup plus compliquées qu à Tinté-
374 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
rieur; nous allons cependant faire connaître ce qu'indique la théorie sur cette distribution. Pour un point situé en dehors de l'ombre géométrique, les limites des intégrales C et S sont, en convenant de compter positivement les arcs situés du même côté du pôle que le corps opaque, — oo et A — /, A + Z et + oo , ou, en conservant aux lettres fi et e leur signification, — oo et fz— e, pt + e et + oo : l'expression qui représente l'intensité est donc dans ce cas
et Téquation qui détermine les positions des maxima et des minima devient
-f (t+S^,-Sp^,) [sinj(,x-£y^ -siiiJ(ft + e)'-'] = o.
En retiiplaçanl les intégrales C et S par leurs valeurs en fonction (les intégrales G et H et en posant, comme précédemment ,
l'expression de l'intensité prend ia forme
