I-^K rfi - G^cosa + H^sina -{-GqCOS^ - H^sin/S

+ fi — G^sina — H^cosa + Gflsin/S + Htf cosjS]^]^

et l'équation qui détermine les positions des maxima et des minima devient

(i +GflCos/S Hgsin/S- G^(Osa + H^sina](cosa -cos/S) + (i +G«sinjS"rHgCosiS— G^sina — H^cosa) (sina — sin/S)=^(),

d'où

-(«a + «^)['-«;««{/3-«)J + (H,-ïWsin(/S-«)

+ cos a — cos 12 4- sin a — sin /S -^ o.

DIFFRACTION. 375

Kn remarquant <|ue l'on a

= nefi

cetfr dernière équation j)eut s'écrire

— (ti^+Gs) sin-7re/x+ (H^— Ha] sinTre/xcosTre/t*

-h sin Trgfz [sin ^ (c2 + |pz2) cos ^ (e^ + |!it2) 1 == o

et se décompose en deux autres qui sont

(6) sin7re/x=o et

(7) -(G„+Gp)sin7refz+(H^-H^)cos7refA+sin-(e2 + |tA2)

— cos^(e2 + |x2) = o.

Les racines de Tdquation (6) vérifient, comme nous l'avons déjà dit, la relation

n étant un nombre entier, et sont équidistantes ; mais, à l'extérieur de l'ombre, elles peuvent correspondre soit à des maxima, soit à des minima.

Quant aux racines de l'équation (7), on peut se faire une idée approximative de la manière dont elles sont distribuées, à l'aide de considérations géométriques analogues à celles que nous avons déjà plusieurs fois employées. L'équation (7), en tenant compte de la formule

coso; — sina; = \/a cos(x+ jU prend la forme

(H^--H^)cos7re/x- (G^ + G^gJ sin7refx= V^a cos^ ^e^ + fi^+ij;

si nous coiislruisons les deux courbes représentées par les équations

y = v/2Cos^^e^ + fx2 + ij

en prenant pour abscisses les valeurs de /x, les racines cherchées seront égales aux abscisses des points d'intersection des deux courbes, (foraine il ne s'agit ici que des points extérieurs à Tombre , il suffit de considérer les valeurs de /x supérieures à e. La première courbe a une forme très-compliquée : tout ce qu'on peut en dire , c'est qu'elle est sinueuse, qu'elle coupe l'axe des x en des points donnés par l'équation

tang,re^=^--g-.

et que l'ordonnée de celte courbe est très-petite pour les valeurs de fi supérieures à e, de sorte que les points d^intersection des deux courbes se confondent sensiblement avec les points où la seconde courbe rencontre l'axe des x. Or il est facile de voir que ces derniers points se resserrent de |)lus en plus à mesure que fx augmente : soient en effet fx et fi-\- A/^t les abscisses de deux points de rencontre consécutifs de la seconde courbe avec l'axe des x; on aura

d'oii

et, en supposant que (i soit grand par rapport à Afz,

L'équation (7) fait donc connaître, en dehors de l'ombre géométrique, une série de franges brillantes ou obscures , qui se resser-

DIFFRACTION. 377

rent de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne de la limite de cette ombre.

Pour savoir quelles sont , parmi les valeurs de (i données par les équations (6) et {7), celles qui correspondent à dès raaxima et celles qui correspondent à des minima, il suffit de les ranger par ordre de grandeur et de voir si la dernière valeur de /x qui, à l'intérieur de l'ombre géométrique, annule la dérivée de l'intensité, rend cette intensité maximum ou minimum; si, par exemple, la dernière frange intérieure est brillante, Ja première frange extérieure sera obscure, la seconde brillante, et ainsi de suite.

En se reportant à l'expression de l'intensité, on voit que, dès que (JL acquiert une valeur un peu considérable et que, par conséquent, les intégrales G^, Ga, H^, Ha deviennent très-petites, cette expression diffère très-peu de aK; il résulte de là que la différence entre un maximum et un minimum consécutifs doit devenir de plus en plus petite à mesure qu'on s'éloigne de la limite de l'ombre, et qu'à une petite distance de cette limite l'éclairenient doit être sensiblement uniforme.

Lorsque le corps opaque est très-étroit et qu'on observe les franges à une grande distance de ce corps, leur aspect se simplifie beaucoup : la première frange obscure peut en effet, dans ce cas, se trouver déjà en dehors des limites de l'ombre géométrique; on n'aura alors qu'un seul système de franges et, à l'intérieur de l'ombre, l'intensité lumineuse décroîtra d'une façon continue à partir du milieu .

Nous avons vu que la largeur des franges à l'intérieur de l'ombre géométrique d'un corps opaque est en raison inverse de la largeur de ce corps. Cette conséquence de la théorie peut être vérifiée facilement à l'aide d'une expérience qui consiste à observer les franges qui prennent naissance dans l'ombre d'une aiguille; ces franges, d'après la loi que nous venons de rappeler, doivent affecter la forme d'hyperboles ayant pour asymptotes la frange centrale et une per-* pendiculaire à cette frange menée par le point oh se projette la pointe de l'aiguille. Prenons en effet la frange centrale pour axe des X et la perpendiculaire dont nous venons de parler pour axe

378 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

des y : la dislance de la première frange brillante à la frange centrale étant donnée par la relation

et la largeur s/ du corps opaque étant proportionnelle ù la distance qui sépare le point où Ton considère cette largeur de la pointe de laiguille, la courbe formée par la première frange brillante est représentée par l'équation

qui est celle d'une hyperbole ayant pour asymptotes les axes des coordonnées.

95. Inlliienee du diamètre apparent de la «auree et de l'inelinalaon du eorpa opaque. — En raisonnant comme dans le cas d'un écran à un seul bord (91), on trouve que les phénomènes de diffraction produits par un corps opaque très- étroit cessent complètement d'être visibles lorsque le diamètre apparent de la source lumineuse dans un plan perpendiculaire aux bords du

corps diffringent devient égal à 77^ car alors le milieu de l'ombre

géométrique relative à l'urte des extrémités de la source se confond avec le premier minimum relatif à l'autre extrémité. Il résulte de là qu'on obtient des franges visibles même avec des sources lumineuses d'un assez grand diamètre apparent, pourvu que le corps opaque soit suffisamment étroit : c'est ainsi qu'il est possible d'observer des franges très-distinctes dans l'ombre d'un cheveu éclairé directement par le soleil.

Si le corps opaque, que nous supposons toujours de forme rectangulaire, au lieu d'être perpendiculaire à la direction moyenne des rayons incidents, comme nous l'avons admis jusqu'ici, est in* cliné sur cette direction (Qg. 75), l'aspect des phénomènes se trouve modifié, surtout si on les observe à une distance peu considérable du corps diffringent. Dans ce cas, les franges intérieures ne sont plus symétriques de part et d'autre de la bissectrice de l'angle ASB, et les franges extérieures n'ont plus même largeur des deux côtés

UIKFHACTION.

àe l'umbrc {réoiiiélrùjue. fl est facile île se rendre cooiple de ces [>arlicularitës en remarquant (|ue l'onde B'V jieut être remplacée j)ar l'onde BX. La frange centrale dotlcn effet se trouver à égale dislance dcK deux bords du corpx opaque; elle est donc rejetée du côlé où le cor|>s opaque se rajn proche de la source lumineuse.

Quant aux franges extérieures, elles diiïèrent peu, dès qu'on s'éloigne sensilileniont de la limite de l'ombre géoméiriquc . de celles que donnerait un écran limité par un seul bord; elles sont donc d'autant plus larges que le bord qui leur donne naissance est ]>lus rapproché du point lumineux, et, dans le cas actuel, les franges situées du côté du bord A doivent être plus larges que celles qui sont situées du cdté du bord B.

'J6. Descriptivn des phénonaènea tatrc. — Supposons que, sur une fente étroite limitée par deux bords rcclilignes et parallèles, tombe un faisceau de rayons émanés d'un point lumineux ou d'une ligne lumineuse parallèle à la fente diffringentc, rayons dont la direction moyenne est perpendiculaire au plan de celte fente. Si on observe les phénomènes de diffraction sur un écran qui n'est pas très-éloigné de la fente diifringcnte, on aperçoit trois systèmes de franges . dont deux sont extérieurs à l'image lumineuse que donnerait la fente sur l'écran d'après la théorie géométrique des ombres, et le troisième intérieur à cette image. Les franges extérieures offrent des maxima et des minima dont les différences d'éclat s'affaiblissent rapidement en même temps que les maxima deviennent de moins en moins brillants, de sorte qu'à une

274 LllMlKRE ^0N I^OLARISÉK.

venons de décrire, et en général de lou8 ceux que présentent les ouvertures diiïringentes formées de fentes à bords parallèles lorsqu'on * les regarde à travers une lunette ^'^, a reconnu dans ses expériences (|ue les déviations des rayons rouges dans les spectres successifs forment une série dont les termes sont entre eux comme la suite des nombres entiers. H semble au premier abord que ces résultats soient en contradiction avec la théorie que nous venons d*e\poser et d*après laquelle la loi trouvée par Frauenhofer s'applique aux minima d'intensité; mais un examen plus attentif montre que celte contradiction n'est qu'apparente. lies nombres consignés dans le mémoire de Frauenhofer satisfont en effet à la formule

^ ni\ sind= —o a

ii condition qu on donne à X non pas la valeur qui convient aux rayons rouges, mais celle qui correspond aux rayons les plus intenses parmi tous ceux du spectre, c'est-à-dire aux rayons jaunes: or l'absence de ces ravons jaunes produit sur la rétine l'impression d'un rouge sombre teinté de violet. Les directions sur lesquelli»s cette dernière nuance présente un maximum d'intensité correspondent donc aux mininia de certains rayons simples du spectre, et leurs déviations doivent suivre la loi que la théorie indique pour les minima.

7 I . Dilfr»etlon i^^r deum fente» étr^lteti à b^rds iMimllèles, éffule» et trèfi-rAppr«eliéefi l*une de l'autre. — Sup* posons maintenant que l'ouverture diffringente se conqmse <le deux fentes étroites h bords parallèles, ayant chacune une largeur égale à il et séparées par un intervalle opaque dont la largeur, que nou^ désignerons par //, soit aussi très-petite.

Kn raisonnant connue dans le cas précédent, on trou\era, pour l'intensité de la lumière en un point P situé ;i une très-grande di^-

<') Lfn Lravaui do Kraii<>nhor<»r mw la diffraclion su.» Iroiivonl lotiii e^pmé» dmn% 1^ V— «noire intitulé : \fue MotiiJicatioH d^ iJtkïM dtttrk g^Hmtifff KinirirhtHff nttJ Bmgmti§ det Sîrahiim. Htyi Gn^lz^ dfvtelhfn, |iuliliH pour I» pmaiÎHH» foi» pn t8fi3 dans |i> II' %nki««* dfs {«IroimfMiVAc J//A/iiM/^MM/f^N d(' SclininarlKT e( n*|iro<liiil i>ii partit* dan« I«k {nHiêlftit

r.v/Wr.i. lA\iv, p. x^-,

du point M, qui occupe le milieu de la projection conique de la fente lumineuse. Tout étant symétrique de part et d'autre du point M, l'intensité en ce point doit toujours avoir une valeur maximum ou minimum; d'autre part, les vitesses envoyées en M par chacun des arcs AG et CB, vitesses qui sont toujours concordantes, sont beaucoup plus petites lorsque ces arcs comprennent un nombre pair d'arcs élémentaires que lorsqu'ils en comprennent un nombre impair; l'intensité est donc nécessairement maximum en M lorsque la différence des chemins ÂM et CM est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation, minimum lorsque cette différence est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation. D'après les formules qui donnent les longueurs des arcs élémentaires voisins du pôle d'une onde circulaire, on a

il y aura donc en M un maximum si l'on a

un minimum si l'on a

Supposons, pour fixer les idées, que cette dernière relation soit satisfaite, et qu'il y ait par conséquent en M un minimum d'intensité : proposons-nous, dans celte hypothèse, de déterminer l'éclairement d'un point P situé dans l'intérieur de la projection conique de la fente diffringente, h une petite dislance du point M, et tel que l'on ail, en désignant par D le pôle de ce point P,

BP-DP=^(9n+i);.

Nous aurons une idée suffisante de l'éclairement du point P si nous parvenons à calculer la différence des chemins AP et DP. A cet effet, remarquons que la somme des distances d'un point de la droite GH aux deux points A et B, étant minimum en M, varie très-

382 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

lentement dans le voisinage de ce point, de sorte i|ue, si le point I* est voisin du point M, on a sensiblement

par la même raison, CM étant la dislance minimum de Tonde circulaire AB à la droite GH, on peut admettre que les distances CM et DP sont égales. On a donc

(9«+.)- + {AP-DP)-BP-DP-f-(AP- DP)

il'oii

= 3BM -9CM=/|M-.

AP-DP^'iw--(9w + i)- = (^w-i)-;

[os deux arcs AD et DB comprenant un nombre impair d'arcs élémentaires, l'érlairement en P est beaucoup plus considérable qu'en M. En continuant le même raisonnement on Ferait voir qu'en un point P', tel que Ton ait

BP'-r)r^(Qw+ri)^:

l'intensité lumineuse est beaucoup plus petite qu'en P, et ainsi de suite. La théorie élémentaire indique donc l'existence de maxime et de minima de lumière à l'intérieur de la projection conique de l'ouverture, et montre que les maxinia doivent être voisins des points pour lesquels la différence des distances au pôle et ù l'un des bords de l'écran est égale ù un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation, et les minima des points pour lesquels cette différence est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation. Quant à la région située en dehors de la projection coni(|ue de la fente diffringente, c'est-à-dire dans l'ombre géométrique, la théorie élémentaire prouve seulement que, dans la partie de cette région qui est voisine de la limite de l'ombre^ tout se passe h peu près comme si la portion de l'écran située de l'autre côté de la fente n'existait pas, et que, pour des points un peu éloignés de cette limite, l'éclairement est insensible.

DIFF^RACTION. S83