Calcul de l'inteiuiité par la métliode de m. Otlbert
— La méthode de Fresnel appliquée au cas actuel ne conduit à aucun résultat général; nous ferons donc immédiatement usage de la méthode de M. Gilbert, dont l'application au cas d'une fente étroite ne souffre aucune difficulté après les développements dans lesquels nous sommes entrés en traitant le cas d'un corps opaque étroit.
Considérons d'abord le point P, situé dans la projection conique de la fent^ diffringente et ayant pour pôle le point D : en désignant par h l'arc CD et en comptant positivement les arcs situés du même coté du pôle D que le point C, les limites des intégrales de Fresnel en 8 sont —(/ — /«) et + (/+/<), et celles des intégrales en v sont
— (e — f*) et -{-{e + fi) si l'on pose
, /a (a -♦- 6 ) j IvLia
l'expression de l'intensité en P est donc
En posant, comme dans le cas .précédent,
et, en suivant exactement la même marche, il vient
P~K [(i — G^rosa+H^sina — G«cosj8-j- Hgsin jS)^ + (\ — G^sina — H^cosa — Gflsin/S — H|qCOS|S)-|.
L'équation qui détermine les maxima et lesminima s'obtient en égalant SI zéro la dérivée de l'intensité par rapport lï /x, ce qui donne
(i — G^cosa-nH^sina — G«cosj8+Hûsinj8\(cos/3 — cosa) + (i — G^sina - H^cosa — GflsinjS— H«cos/3)(sin/3— siuaW o,
d'où l'on tire, en effectuant toutes les simplifications,
sin Treju k/î^^^o^r fe^+f*^ + -) +(G^ — G<?)sin7reju
""(H^ + Hfi)ros7re|u] = o,
â8Â LUMIÈRE NON POLARISÉE,
équation qui se décompose en deux autres qui sont
(i) sin7re|ùi= o
(9) (H^+H^)cos7r£^-(r,^- G^)sîn7re^ = /^ros^(e2|^2^lJ .
Or, à l'extérieur de l'ombre géométrique d'un corps opaque étroit, les positions des raaxima et des minimale lumière sont déterminées, comme nous l'avons vu, par les équations
sin7refz=o et
(H^ — H^)cos7ref« — (G^+G^)sin7refx=v/îioos^u2+|x^ + M •
La première de ces équations est identique à l'équation (1); la seconde diffère très-peu de l'équation (q), car les seconds membres sont identiques et les premiers membres sont toujours très-petits de part et d'autre. Nous arrivons ainsi à cette proposition remarquable, que les franges intérieures à l'image géométrique d'une fente étroite sont distribuées très-approximativement suivant les mêmes lois que les franges extérieures à l'ombre géométrique d'un corps opaque de même largeur que la fente : les positions des premières s'obtiennent en faisant varier 11 de zéro à e, et celles des dernières en faisant varier /sa de e à + so. Aucune des équations (1) ot (q) n'a du reste le privilège de déterminer exclusivement soit des maxima , soit des minima.
Il est particulièrement intéressant de chercher ce qui a lieu au point M, qui occupe le milieu de l'image de la fente diffringento. lorsqu'on observe les phénomènes }i différentes distances do cette fente. Au point M on a toujours
la dérivée de l'intensité par rapport à fi s'annule donc constamment en ce point, et, par suite, l'intensité y présente toujours un maximum ou un nn'nimum. Il y a maximum ou minimum en iM suivant
DIFFRACTION. 385
que, quand (i passe du négatif au positif, la dérivée de Tintensité par rapport à (x passe du positif au négatif ou du négatif au positif. Or cette dérivée est un produit de deux facteurs dont le premier, qui est simrefi^ a toujours le même signe que |u, et dont le second se réduit au point M à
s/ucos- (e^H-- ) — aH- e^:
si la valeur que prend ce second facteur au point M n'est pas nulle, il y aura donc maximum ou minimum en M suivant qu'elle sera négative ou positive. Toutes les fois que la fente diffringente n'est pas excessivement étroite, et qu'on n'observe pas les phénomènes à
une très-grande distance du corps diffringent, la quantité - e^ n'est pas extrêmement petite et la quantité H - e^ est négligeable. La condition qui doit être remplie pour que l'intensité présente un minimum en M se réduit alors à .
Cosj(e2 + ^)>0,
ce qui signifie que l'arc - f e^+ - J doit être compris entre aim
et9n7r + - et que l'on doit avoir par conséquent
Si l'on représente par S la différence des chemins BM et CM. on a
<^ — - — ri — »
comme d'ailleurs
il vient
ah abX
et la condition précédente peut êlre mise sous la forme
Verdet, V. — Optique, I. fl5
L'intensité est donc minimum au point M lorsque la différence des chemins BM et CM est comprise entre deux limites dont la moyenne est égale à un nombre pair de demi- longueurs d'ondulation diminué d'un huitième de longueur d'ondulation, et qui diffèrent chacune de cette moyenne d'un quart de longueur d'ondulation.
On voit de même que l'intensité est maximum au point M lorsqu'on a
c'est-à-dire lorsque la différence des chemins BM et CM est comprise entre deux limites dont la moyenne est égale à un nombre impair de demi -longueurs d'ondulation diminué d'un huitième de longueur d'ondulation, et qui diffèrent chacune de cette moyenne d'un quart de longueur d'ondulation.
Lorsque l'on a
cosJ(e« + ^) = o
et par conséquent
ou
S={'in+ i)- + gX,
la dérivée seconde de l'intensité par rapport è fi est nulle au point M, car, la dérivée première pouvant être mise sous la forme
Fsin7re/SA,
la dérivée seconde est égale à
dF «
funir efi-j — h r wc cos irefi
et se réduit par conséquent à zéro au point M, où simrefA est nul ainsi que le facteur F, que nous avons supposé pouvoir être confondu
avec cos- («^ + 7) " H f^ut alors avoir recours à la dérivée troisième
pour reconnaître si l'intensité présente en M un maximum ou un minimum; mais, dans tous les cas, on voit que, lorsque S a une des
DIFFRACTION. 387
valeurs pour lesquelles s'effectue le passage du maximum au minimum ou réciproquement, l'intensité varie dans le voisinage du point M beaucoup plus lentement que lorsqu'il y a en M un maximum ou un minimum ordinaire.
Si la distance à laquelle on observe les phénomènes est trèsgrande, la frange qui occupe le milieu de l'image de l'ouverture doit évidemment toujours être brillante; lorsque cette distance a atteint une certaine valeur, l'intensité que présente la lumière au milieu de l'image de la fente cesse donc d'être alternativement un maximum ou un minimum et reste constamment un maximum.
Considérons maintenant les points situés en dehors de l'iman^e géométrique de la fente diffringente, c'est-à-dire dans l'intérieur de l'ombre géométrique. En suivant la même, marche que précédemment nous trouverons qu'en ces points l'intensité a pour expression
1^= K r^G^cosa— H^sina — GgC0SjS+ Hgsin/SV^
+ (G^ sin a -t- H^ cos a — G « sin jS — Hg cos j3\^ ^
et nous obtiendrons, pour déterminer les maxima et les minima, l'équation
(3) — (G^+Gfljsin^Tre/x-f-^H^ — H|g)sin7refzcos7re|« = 0, (|ui se décompose en deux autres.,
11 est facile de s'assurer, ù l'aide du raisonnement que nous avons employé lorsque nous nous sommes occupés de la distribution de la lumière à l'intérieur de l'ombre géométrique d'un corps opaque étroit, qu'ici les racines de l'équation (A) correspondent à des minima et celles de l'équation (5) à des maxima.
A l'intérieur de l'ombre géométrique d'un coq)s opaque étroit les positions des maxima sont déterminées par l'équation
s\mrsfi = o,
388 LUMIÈRE NON POLARISÉE,
et celles des minima par l'équation
La première de ces équations est identique à l'équation (A), ia seconde diffère très-peu de l'équation (5): on voit donc que les franges extérieures A Timage géométrique d'une fente étroite sont distribuées très-approximativement suivant les m^mes lois que les franges intérieures à l'ombre géométrique d'un corps opaque de même largeur que la fente; pour obtenir les positions des premières, il faut faire varier j^t de e à + oo ; pour avoir celles des dernières, il faut faire varier (à de zéro à e.
Les franges produites par une ouverture triangulaire allongée sont tout à fait assimilables à celles qu'on observe dans l'ombre d'une aiguille, et présentent comme ces dernières une forme hyperbolique; les asymptotes de ces hyperboles sont la hauteur du triangle qui forme l'image géométrique de l'ouverture diffringente, et une perpendiculaire à cette hauteur menée par le sommet. Il faut remarquer seulement que, dans le cas actueL la frange centrale est dans sa longueur alternativement brillante et obscure si Ton emploie la lumière homogène, et teinte de différentes couleurs si l'on opère avec la lumière blanche; cela tient à ce que, à une distance constante du corps diffringent, l'intensité de la frange centrale dans la lumière homogène, et par suite sa couleur dans la lumière blanche, dépendent de la largeur du corps diffringent.
98. Inllueiiee du diamètre apparent de la souree et de rinellnalsoii de la fente. — L'influence du diamètre apparent de la source, dans le cas d'une fente étroite à bords rectilignes cl parallèles, se fait sentir absolument de la même manière que lorsqu'il s'agit d'un corps opaque de mi^me largeur que la fente; il est donc possible de distinguer les franges que donne une fenle éclairée directement par le soleil, pourvu que celle fente vsoil suffisamment étroite.
Nous avons enfîn à indiquer les modifications que subit l'aspect des phénomènes lorsque la fente est inclinée par rapport à la direc-
DIFFRACTION. 883
deux fuuciion)» n taiigz et langitz. Kii se bornant à faire varier z de zéro à ir, ou obtient dcuY courbes : la première » formée de deux branches infinies OiM et iMT, indique la marche de la fonction ittangz; la seconde, formée d'une série de branches ON, ^^^^... au nombre de n + 1 , correspond à la fonction tangiu. Ijcs points d*in- Icrseclion de ces deux courbes ont des abscisses égales aux racines de rf)qualiou (ti). On voit ainsi qu'il y a une racine, et une seule,
dans rînter\alle compris entre — f»( — ^ ef ijénéralenienl dans Fin-
tcrvalle compris entre («ly^ . i) — et (•?/'+ 0~ 'Z' ^*^«*"^ ^'^ nombre rnlier tel que 1/1 + 1 soit plus petit que n. On serait porté 11 croire d'après cela qu'il y a h - 1 racines du second groupe entre zéro et ir; mais Finspection des figures 1)3 et i)li montre qu'il n*y en a que II— *! : cela tient à ce que, si h est pair, il n*y a pas de racine
comprise entre et --| — » tandis que, si m est impair, les
deux racines comprises entre et - H se confondent et
sont toutes deux égales à - •
L'équation (•î)a donc «—3 racines entre zéro et rr : nous rej n'îsenterons ces racines par.'^, , z^, ^3,..., z„2« E" augmentant l'une d'entre elles de fir, q étant un nombre entier quelconque, on aura encore une racine de Téquation, d'où il résulte qu'entre qw et (q + t)n il existe encore n -a racines égales respectivement à Zi+f/r, lo-l-yïr, z^-\-qn^...y z^^^ + qw. Nous appellerons nuiximi secondaireê les valeurs du facteur Q qui correspondent aux racines de l'équations^-j) appartenant au second groupe; il est facile de voir que ces roaxima secondaires sont tous beaucoup plus petits que les maxima principaux. Pour le démontrer, mettons l'équation (9) sous
la forme
on en tirera
//*sin*r sin* 11:
sin': I — siii^fi:'
.sin*Mr n'
sin*c 1 -*-(«* — i)sin' 2 ' donc, pour toutes les valeurs de z qui vérifient l'équation (9), on a
1 +(n' — i) sin'z
390 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
par rapport à une frange centrale qui se déplace du côté de Técran B à mesure qu'on éloigne celui-ci de la source; lorsqu'au contraire les deux écrans sont placés du même côté de SM, les apparences sont les mêmes qu'avec un seul écran, car dans ce cas celui des deux écrans qui est en retrait sur l'autre n'a aucune influence sur le phénomène.
99. PliénoinèiicA produits par deuiL fentes étroites, égales, à bords reetilignes et parallèles, séparées par un intervalle opaiiue. — Fresnel, dans son grand travail sur la diffraction , a examiné un certain nombre de cas plus complexes que ceux dont nous avons parlé jusqu'à présent, et en particulier celui oii l'ouverture diffringente est formée de deux fentes étroites et séparées par un intervalle opaque, ces deux fentes ayant même largeur et étant limitées par des bords rectilignes et parallèles. Lorsqu'on observe dans ce cas les phénomènes à une distance des fentes qui n'est pas trop considérable, on aperçoit dans l'image de chacune des fentes un système de franges tout à fait semblable à celui qui est produit par une fente unique , c'est-à-dire un système dont la frange centrale change de couleur dans la lumière blanche lorsqu'on fait varier sa distance au corps diffringent. Uans l'ombre de l'intervalle opaque qui sépare les deux fentes se trouve un système de franges qui ressemblent aux franges d'interférence; la frange centrale de ce système est toujours brillante, et les franges obscures sont presque complètement noires. La production de ce dernier système de franges est facile à expliquer : si en effet les fentes sont suffisamment étroites et si Ton observe les phénomènes à une distance assez grande du corps diffringent, la vitesse envoyée par chacune des fentes en un point situé dans l'ombre de l'intervalle opaque est sensiblement constante dans toute l'étendue de cette ombre, car les franges produites par une ouverture unique sont, comme nous l'avons vu, d'autant plus larges que la fente est plus étroite et que les franges sont observées à une plus grande distance du corps diffringent. Dans ces conditions, il y aura donc maximum ou minimum de lumière en un point situé dans l'ombre de l'intervalle opaque, suivant qu'en menant par ce point un plan perpendiculaire aux bords des
DIFFRACTION. 391
Tentes diffrîngentes les distances du poiat considéré à deux points compris dans ce plan et occupant sur les deux fentes des positions homologues diffèrent d'un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation : il résulte de là qu'il doit toujours y avoir un maximum au milieu de l'ombre de l'interviille opaque, et que les vitesses envoyées par les doux fentes aux points qn! correspondent aux minime sont sensiblement égaies et de signes contraires, ce qui monb« que les minima doivent être presque entièrement noirs.
En réalité, les franges d'interférence qui se produisent dans l'ombre de l'intervalle opaque ne sont jamais complètement pures, car les rayons qui , en se rencontrant, donnent naissance à ces franges ont déjà été modifrés par la diffraction: dans la lumière homogène, la frange centrale, tout en restant toujours brillante, présente un éclat plus ou moins considérable suivant que , pour un point de celte frange, chacune des fentes comprend un nombre impair ou un nombre pair d'arcs élémentaires, et, par conséquent, dans la lumière blanche, cette frange centrale est toujours légèrement colorée. Les franges qui apparaissent lorsqu'on fait tomber la lumière sur deux fentes étroites et rapprochées, si elles ne sont pas très-pures, ont du moins l'avantage de pouvoir être produites avec une grande facilité : c'est à l'aide de ces franges que Young est parvenu k démontrer pour la première fois par l'expérience le principe des interférences; c'est aussi sur ces franges qu'on observe le plus aisément P^ le déplacement dâ à l'interposition H d'une Inme mince sur le trajet d'un H des faisceaux interférents (2A).
H Nous citerons encore une expé- Ejl rience remarquable de Presncl, qui 'I se rattache au cas de diffraction dont 'I nous venons de parler et qu'il a pré- I sentée comme un argument contre la I théorie qui attribue les phénomènes J de diffraction à la déviation des rayons par les bords des corps opaques. Il découpa une feuille de cuivre de façon à lui donner la forme représentée dans la fîgure 78, et observa les
392 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
franges produites par ce système diffringent* formé à la partie inférieure de deux fentes Irès-étroites que sépare un intervalle opaque relativement beaucoup plus large, et à la partie supérieure d'un corps opaque d'une largeur peu considérable ^'l En éloignant du corps diffringent la loupe avec laquelle il regardait les franges, il vit bientôt les franges produites par les fentes étroites CE et DF sortir de l'ombre géométrique de CDEF, qui ne recevait plus alors que de la lumière sensiblement blanche de chacune de ces fentes : à ce moment les franges étaient très-brillantes et présentaient des couleurs très-vives dans l'ombre de CDEF, tandis que dans l'ombre de ABCD les franges étaient beaucoup moins brillantes et offraient des couleurs grisâtres. A mesure qu'on observait le phénomène à une plus grande distance du corps diffringent, l'éclairement diminuait dans toute l'étendue de l'ombre de ABEF, mais moins rapidement dans la partie supérieure que dans la parlie inférieure, de sorte que les franges inférieures, d'abord beaucoup plus brillantes que les franges supérieures, leur devenaient à un certain moment égales en intensité, puis finissaient par devenir plus obscures, quoique leurs couleurs fussent toujours plus pures. Ces apparences peuvent s'expliquer d'une manière trèssimple : considérons un point P situé au milieu de l'ombre de ABCD; à mesure qu'on s'éloigne du corps diffringent, la portion de l'onde interceptée par le corps opaque ABCD comprend relativement au point P un nombre de plus en plus petit d'arcs élémentaires , et par conséquent l'éclairement du point P irait en augmentant si les vitesses envoyées par chaque arc élémentaire en P ne variaient pas en raison inverse de la distance de cet arc au point P; le décroissemerit d'intensité résultant de l'augmentation de la distance du point P au corps diffringent se trouve ainsi ralenti. Soit au contraire un point Q situé au milieu de l'ombre de CDEF : lorsque la distance du point Q an corps diffringent augmente, les fentes CE et DF comprennent, relativement au point Q, tantôt un nombre pair, tantôt un nombre impair d'arcs élémentaires, d'où résulte dans le premier cas une augmentation et dans le second une diminution de la rapidité avec laquelle l'intensité décroît en ce point; mais il arrive toujours un
^'^ Supplément au deuxième Mémoire sur la diAraclion (Œuvres complèUt, 1. 1 , p. i65). — Mémoire courouné sur la diûracliou {Œuvres complétée, 1. 1, p. 976, 356).
DIFFRACTION. 393-
instant où chacune des fentes ne comprend plus qu'une petite fraction du premier arc élémentaire, et alors les vitesses qu'elles envoient en Q sont plus petites que celles qu'envoient en P les portions efficaces de l'onde situées de part et d'autre de ABCD, puisque ces dernières tendent à devenir égales aux vitesses qui seraient envoyées en P si l'écran opaque ABCD n'existait pas.
Si la diffraction était due à une dévialion des rayons par les bords des écrans opaques, les franges inférieures résulteraient de la superposition de plusieurs systèmes de franges et devraient, contrairement à ce qui a lieu , être moins nettes que les franges supérieures : de plus, les franges inférieures proviendraient dans cette hypothèse des rayons déviés par les quatre bords CE, DF, CE', D'F'; elles devraient donc être toujours plus brillantes que les franges supérieures qui proviendraient du concours des rayons infléchis par les deux bords AC et ED.
100. Pliéiioiiiéiies prodtiitti par une petite ouverture eireulalre. — Fresnel , dans son grand mémoire sur la diffraction, ne s'était occcupé que des phénomènes produits par les écrans rectilignes à bords indéfinis; Poisson, qui faisait partie de la commission chargée déjuger ce mémoire, remarqua que les intégrales dont l'auteur faisait dépendre le calcul des intensités de la lumière diffractée pouvaient s'évaluer exactement pour le centre de l'ombre d'un petit écran circulaire opaque et pour le centre de la projection conique d'une petite ouverture circulaire. Dans le premier cas, elles donnaient la même intensité que si Técran circulaire n'existait pas; dans le second, elles donnaient une intensité variable avec la distance et sensiblement nulle pour un certain nombre de distances déterminées par une loi très-simple. Fresnel fut invité à soumettre à l'épreuve de l'expérience ces conséquences imprévues et paradoxales de sa théorie, et l'expérience les confirma entièrement ^^l
Considérons d'abord le cas d'une petite ouverture circulaire, et supposons que le rayon qui passe par le centre de l'ouverture soit perpendiculaire au plan de cette ouverture. La distribution de la
^^) Calcul de Tinlensilé de la lumière au centre de Tombre d*un écran et d*uue ouverture circulaires éclairés par un point radieux ( Œuvres complètes de Fresnel, L I , p. 365 ).
LUMIÈRE NON POLARISÉE.
lumière s'opère évidemment suivant des lignes circulaires; niiiis, sans entrer dons le calcul complet de tous les éléments du phénomène, nous nous bornerons à chercher l'éclairement du centre de la projection conique de l'ouverture.
Prenons pour plan de figure un plan mené par le point lumineux perpendlcu Virement à celui de l'ouverture circulaire (lig. 79); soient S le point lumineux, M le centre tie l'image de l'ouverture. AB l'onde qui passe par le bord de l'ouverture, onde dont la surface se confond sensiblement avec le plan de cette ouverture, D un point quel- >nque de la |)ortion effîcace de cette onde. Posons
