JLrcM «urnuiiiéraires. 7— Théorie d'Touns* — La
théorie que nous venons d'exposer est, comme nous l'avons dit, incomplète en ce qu'elle suppose que les intensités des rayons s'ajou^ tent toujours arithmétiquement ; aussi ne peut-elle expliquer 1^ présence des bandes colorées qu'on désigne sous le nom d'an» sur^ numéraires ou supplémentaires. Ces bandes se montrent le plus souvent à l'intérieur du premier arc-en-ciel, plus rarement à l'extérieur du second; immédiatement en contact avec le violet de l'ajc principal, on voit du rouge, puis du vert et du violet; ces alternatives de cou-
^') C. fl.,lV,6û5.
at LUMIÈRE NON POLARISÉE,
leur peuvent se reproduire plusieurs fois au-dessous du premier arcen-K;iel ou au-dessus du second. 11 est à remarquer que tes arcs surnuméraires ne sont visibles en gfénéral que dans leurs parties culminantes.
Young a essayé le premier de rendre compte de la production de ces arcs surnuméraires^"; il a remarqué que, la rotation des rayons efficaces étant toujours un minimum, il doit exister des rayons qui, pénétrant dans la goutte de pari et d'autre des rayons efficaces, éprouvent des rotations égales et émettent par conséquent parallèlement. Ces rayons, ayant parcouru dans la goutte d'eau des chemins différents, sont susceptibles d'interférer, pourvu que leur différence de marche ne soit pas trop grande, c'est-à-dire pourvu qu'ib ne soient pas trop éloignés des rayons efficaces. Supposons , pour Bier les idées, qu'il s'agisse des rayons qui se réfléchissent une seule fois I à l'intérieur de la goutte, et soit SI (lig. 8&) le rayon efficace, pour lequel la rotation est d'environ 1 3 8 degrés. Four les rayons incidents compris entre le rayon I efficace SI et le rayon normal SA, ] la rotation croit de 1 38 à 1 8o de- !s. Four les rayons incidents I compris entre le rayon efficace SI et le rayon tangent Sk, la rotation va également en croissant à ' mesure qu'on se rapproche du rayon Sk; pour le rayon SK, la rotation est égale à aw - fir, r étant l'angle de réfraction qui correspond à im angle d'incidence de go degrés; pour l'eau, cet angle de réfraction est ^8*35', ce qui donne pour la rotation du raynn SK i 65"io'. Il résulte de lA qu'à chaque rayon, tel que SB, qui rencontre la goutte d'eau entre le point I et le point k, correspond un rayon incident SC qui éprouve la même rotation et qui est compris entre SI et SA; il est facile de voir que ces rayons SB ^> EiperimcDU mA CatruItlioM retalive la Pliysiul Oplia [mt. Trmi.. i9t>i.
DIFFRACTION. &13
et se, qui émergeai parallèleompt , doivent se réfliiehir dans Tintérieur de la goutte au même point. La déviation des rayons efficaces étant tin maximum dans le 6as d'une seule réflexion, celle de3 rayons qui émergent parallèlement doit être inférieure à la déviation de3 rayons efficaces, et, comme ces rayons parallèles donnent lieu ù un maximum ou à un minimum de lumière suivant que leur différence de marche est égale à un nombre pair ou impair de demi*longueurs d'ondulation , il doit se produire à l'intérieur du premier arc-en*^ ciel une série de maxima et de minima alternatifs pour chaque couleur simple, et par conséquent une succession de bandes. cor loréés. Les rayons parallèles dont la déviation diffère peu de ccIIq des rayons efficaces présentent seuls une différence de marche assez petite pour que les couleurs dues aux interférences de ces rayons soient distinctes; aussi les arcs surnuméraires ne sont-ils visibles que dans le voisinage immédiat de l'arc principal. Une bande d'un ordre déterminé correspond toujours à la même différence do^marche des rayons qui émergent parallèlement, et cette différence de marche pour une même déviation est d'autant plus grande que le diamètre de la goutte est plus considérable; h une même déviation correspond donc une bande d'un ordre d'autant plus élevé que la goutte est plus grosse, et, comme les gouttes augmentent de volume en tombant, les bandes vont en s'écartant dans les arcs surnuméraires à mesure qu'on se rapproche de la partie culminante de ces arcs, ce qui explique pourquoi elles ne sont visibles que dans leur partie supérieure.
Les arcs surnuméraires qu'on aperçoit quelquefois à l'extérieur du second arc-en-ciel s'expliquent d'une manière analogue par les interférences des rayons qui émergent parallèlement après avoir subi deux réflexions; ces arcs sont très-pâles et restent souvent invi-^ siblçs. Les arcs surnuméraires s'observent en grand nombre lors:^ qu'on produit des arcs-en-ciel artificiels. M. Babinet a vu jusqu'à çeize franges colorées à l'intérieur du premier arc-en-ciel formé par un jet d'eau, et a pu distinguer huit franges à l'extérieur du second arc principal" ^*^.
c>> C. fl.,lV,638.
hU
LIIUIÈRK'NON POl.ARISl^:!':.
1 06. nié«vl» d'Alry. — Bx|pHeaM»i
I. — L'expliration donnée par Young n'est en réalité qu'un simple aperçu, et son principal mérite est d'avoir montré ce qu'il y a d'inexact dans les anciennes théories. M. Airv est le premier qui ait donné une théorie complète de toutes les particularités que présente le phénomène de l'arc-en-ciel'". Cette théorie est Tondée sur la considération de l'onde qui correspond aux rayons émergents. L'onde émergente, dans une quelconque de ses positions réelles ou virtuelles, est évidemment une surface de révolution ayant pour axe le rayon incident normal, et toute section méridienne de cette onde est une développante de la caustique formée par les rayons émergents compris dans le plan de la section. Il suffit d'après cela de voir ce qui se passe dans un plan mené par le rayon normal SA (fig. 85). Supposons qu'il s'agisse des rayons qui ont subi une réflexion unique à l'inténeur de la goutte d'ean, et occupons-nous seulement îles
rayons qui pénètrent dans la goutte au-dessus du rayon incident normal SA. Les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre le rayon normal SA et le rayon efficace SI forment une branche ADE de la courbe caustique, branche qui est asymptote au prolongement TT du rayon émergent efficace l'R. puisque le rayon émergent tend à devenir parallèle à TR tt mesure
") Intf nsity nf Lifilil in lhi> Nei);liliourhrKHl o( » Caiisllr ( Traïu. «flhr 5m-. of Catubr. . VI, 379).
DIFFRACTION.
AÏS
que le point (l'incidenr«> sf- rnpproche du point I: de plus c^tte branche est langente en A au rayon normal SA. Une tierotnle branche de la raiislique est engendrée parles rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre SI et le rayon tangent; celte seconde branche Ë'FG est asymptote au rayon émergent efficace TR et tangente en F au rayon émergent dont le point d'émergence est sur la ci rc on l'ère n ce à une distance du point A aussi grande que possible, rayon qui, comme nous l'avons vu (105J, correspond à un rayon incident voisin du rayon langent.
La section de l'onde émergente par le plan de la figure est une développante de la caustique dont nous venons d'indiquer la forme générale ; de plus , en vertu du théorème de Gergonne (3) , elle coupe nrthogonalement les rayons émergents compris dans ce plan. Cette courbe, au point 0 oïl elle rencontre le rayon émei^ent efficace VR ou son prolongement , est donc normale à la direction de ce rayon i son rayon de courbure devient in- Tmi en ce point, d'où il résulte I qu'elle présente un point d'inflexion en 0 et qu'elle affecte dans le voisinage du point 0 la forme figurée en HOL. Prenons pour origine ce point 0 (fig. 86), pour axe des y le rayon émergent efficace :t pour axe des x une perpendiiilaire à ce rayon . les x étant comptés positivement du cûlé d'où ^ viennent les rayons incidents et
les y du côté vers lequel se dirigent les ravons émei^ents. c'est-à-dire au-dessous du point 0. La courbe HOL, qui est la section de l'onde émergente par le plan Je ta fîgul'e, passe par l'origine et est normale en ce point à l'axe des y: de plus elle présente k l'origine un point d'infleunn : on doit donc avoir un point 0 sur cette courbe
dv (l'y
y-"- di-"' di'""-
d'où il suit (lue, si l'on ne considère la courbe que dans le voisinage
M6 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
du point 0, ce qui est suffisant pour le but que nous nous propor sons» son équation peut être mise sous la forme
y = Hafl ou
en posant
Nous allons chercher maintenant à déterminer l'intensité de la lumière en un point M situé dans le plan de la figure, et dans une position telle que la droite qui joint ce point à l'origine fasse un angle très-petit avec l'axe des y, c'est-à-dire avec la direction du rayon émergent efficace. Désignons l'abscisse de ce point par f et
son ordonnée par q; le rapport ~ sera une quantité très-petite. Un
raisonnement tout à fait analogue à celui que nous avons fait pour substituer une onde circulaire à une onde sphérique prouve que l'intensité envoyée par l'onde émergente en M est proportionnelle à celle qu'envoie en ce même point l'onde linéaire HOL; il suffit donc do calculer cette dernière intensité.
Prenons à cet effet sur la courbe HOL un point S dans le voisinage du point 0; désignons par s l'arc OS, par S la distance SM, et
représentons par sin â^r ^ r2s la vitesse envoyée en M par l'élément
de Tonde linéaire qui a pour milieu le point 0.
En remarquant que l'on peut négliger les vitesses envoyées en M par les éléments de l'onde linéaire qui sont éloignés du pMe et que ce pAle est toujours voisin du point 0 , Ton voit que l'inté* grale qui représente la vitesse totale envoyée en M par l'onde linéaire peut, sans qu'il en résulte d'erreur sensible, être prise de — oo à + oo ; de plus, comme les seuls éléments qui influent sur la valeur de cette intégrale correspondent à de petites valeurs de è, et que, dans le voisinage du point 0, la courbe s'écarte très-peu de l'axe des X, il est permis de remplacer dans cette intégrale d» par dx, La vitesse envoyée au point M par l'onde linéaire a donc pour
DiPPRACtrON. ûl7
expression
On a d'ailleurs, en désignant par a: et y les coordonnées du point S et en remplaçant y par sa valeur tirée de Téquation de la courbe,
X étant toujours petit, le terme en x^ peut être négligé, et, en posant
il vienl
En développant* par la formule du binôme et en négligeant les termes qui contiennent x à une puissance supérieure à la troisièoie, on a
Comme f est très-petit par rapport à g, on peut remplacer c ou f
\^~+(f par jf + — t et même plus simplement par q, dans les
dénominateurs des termes de l'expression précédente, ce qui donne, en négligeant f devant q et devant c,
' 2(/ 7 :u/ \2<y M J le facteur -^ peut être supprimé comme étant très-petit vis-à-vis
de 3-1 ' ^t il vient
p* px a? x^
I 2(1 ij 27 3rt* Vrrdrt, V. — Oplique, I. 27
h\S LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Pour faire disparattre le terme en x^, il suffit de choisir une nouelle variable x de telle façon que Ton ai!
l'expression de J deviendra alors, en dc^signant par y l'ensemble des termes indépendants de x\
. /. ihpq-^a') , x" 0 = 1 — - — , -i> — X -f- Tr~2 •
Celle expression peut encore se simplifier, car tfl étant de l'ordre de grandeur de ^ es! négligeable vis-à-vis de hjiq; il vient ainsi
' q Sa'
L'expression de la vitesse envoyée an point M par l'onde linéaire, lorsqu'on y remplace S par cette dernière valeur, prend la forme
d'où il résulte que l'intensité de la lumière au point M a pour mesure
En remarquant que la première de ces intégrales a une valeur deux fois plus grande que si elle était prise de zéro à 4- oc et que la seconde est nulle, on voit que l'intensité au point M peut être représentée |)ar
Si l'on pose
Su A '2
DIFFRACTION. 419
d'où
et si Ton pose encore
rintégraie dont dépendent les variations de l'intensité prend la forme
I cos - ( w^ — mw) dvi\
En définitive, l'intensité au point M est donc proportionnelle au carré de cette dernière intégrale» qui peut être regardée comme une fonction du paramètre m; ce paramètre est lui-même proportionnel à -1 c'est-à-dire à la tangente de l'angle formé par la droite
OM avec la direction du rayon émergent efficace, lequel angle est égal à la différence des déviations du rayon que reçoit l'œil placé en M et du rayon efficace.
M. Airy a calculé les valeurs que prend l'intégrale
I cos - ( w'^ — mw) dvr
lorsqu'on donne au paramètre m des valeurs positives ou négatives variant par dixièmes à partir de zéro; il. s'est fondé sur cette re* marque que la valeur de l'intégrale reste sensiblement la même lorsque la limite supérieure varie depuis une valeur un peu grande jusqu'à l'infini, remarque tout à fait analogue à celle que nous avons faite sur les intégrales de Fresnel. La méthode de calcul employée par M. Airy est une méthode d'approximation différant peu de celle dont s'est servi Fresnel pour évaluer ses intégrales, et consiste à diviser l'intervalle compris entre les limites extrêmes de l'intégrale en un grand nombre d'intervalles très-petits. Il a trouvé ainsi que, si l'on donne à m des valeurs négatives, l'intégrale décroit à mesure que la valeur absolue de m augmente et tend rapidement vers zéro; si, au contraire, on attribue à m des valeurs positives croissantes, l'intégrale commence par croître, atteint bientôt
AâO LUMIÈRE NON POLARISÉE.
un premier maximum, puis passe par une série de minima et de maxima, le premier maximum ayant une valeur beaucoup plus grande que tous les autres. De là résultent plusieurs conséquences importantes relativement à la distribution de la lumière. On voit
en premier lieu qu'à une valeur nulle de m et par conséquent de -
ne correspond pas un maximum d'intensité, et que le premier
maximum, qui est de beaucoup le plus intense, a lieu lorsque - a
une valeur positive peu différente de zéro; il faut en conclure que la déviation du premier arc-en-ciel n'est pas exactement égale à celle
des rayons efficaces, mais un peu plus petite. Lorsque - est négatif,
c'est-à-dire lorsque la déviation est plus grande que celle des rayons efficaces, l'intensité décroît très-rapidement : Téclairement de la région située au-dessus du premier arc-en-ciel devient donc insensible à une petite distance de cet arc, du moins si l'on ne tient compte que des rayons qui ont subi une réflexion unique à l'intérieur des gouttes d'eau. Lorsque - est positif et croU à partir de
zéro, c'est-à-dire lorsque la déviation est inférieure à celle des rayons efficaces, l'intensité passe par une série de maxima et de minima; le premier maximum produit l'arc principal; les autres, qui correspondent à des déviations de plus en plus petites, les arcs surnuméraires qu'on observe à l'intérieur de cet arc principal.
Le calcul donne les valeurs de m pour lesquelles l'intensité est maximum: ces valeurs sont proportionnelles aux valeurs correspondantes de -1 c'est-à-dire aux distances angulaires des différents arcs surnuméraires à l'arc dont la déviation est égale à celle des rayons efficaces; la constante par laquelle il faut multiplier ^ pour avoir le
paramètre m ne pouvant être évaluée exactement, on ne pourra déterminer que les rapports entre ces distances angulaires, rapports qui sont indépendants des dimensions des gouttes d'eau.
Les valeurs absolues des distances angulaires des arcs surnuméraires à l'arc efficace varient au contraire avec le diamètre des gouttes d'eau. En effet, un m^ino maximum correspondant toujoui*s à une
DIFFRACTION. 421
même valeur de m, la valeur de - pour un arc surnuméraire d'un
ordre déterminé est d'autant plus petite que a est plus grand. Or il est facile de voir que le paramètre a est proportionnel au rayon de la goutte d'eau : il suflit pour cela de remarquer que, pour deux gouttes d'eau de rayons différents, les sections méridiennes de l'onde émergente doivent être semblables et avoir pour rapport de similitude le rapport des rayons, d'où il résulte qu'en prenant pour origine les points où les deux courbes rencontrent le rayon efficace et en désignant par r et r les rayons des deux gouttes d'eau, par a et a les valeurs du paramètre pour les deux courbes, par x, y et x\ y' les coordonnées de deux points homologues de ces deux courbes, on
aura
y- ~Ti^' y^ 3«"
et par conséquent
Pour un même maximum, la valeur de - est donc d'autant plus
petite que le diamètre des gouttes d'eau est plus considérable» et les arcs surnuméraires sont d'autant plus écartés les uns des autres que les gouttes sont plus fines, ce qui explique pourquoi ces arcs ne sont visibles que dans leur partie culminante. On voit de plus que l'écart entre la déviation du premier arc-en-ciel et celle des rayons efficaces augmente à mesure que les gouttes deviennent plus fines.
Nous ne nous sommes occupés dans ce qui précède que des effets produits par les rayons qui se sont réfléchis une seule fois à l'intérieur des gouttes d'eau : le cas où les rayons subissent plusieurs réflexions se traitera d'une façon complètement analogue. On trouvera ainsi que la déviation du second arc- en -ciel est toujours un peu plus grande que ne l'indique la théorie de Descartes, et que l'écart est d'autant plus considérable que les gouttes d'eau sont plus fines; au-dessous de ce second arc-en-ciel l'intensité décroît très-rapide-
â22 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
ment, au-dessus elle passe par une série de maxinia et de ininima donnant lieu à des arcs surnuméraires.
La théorie de M. Airy a été confirmée par les recherches expérimentales de Mi Miller, qui a mesuré avec un théodolite les dimensions angulaires des arcs principaux et des arcs surnuméraires que produit un filet d'eau cylindrique éclairé par une source artificielle d'un trèspetit diamètre apparent ^'^.
107. Are-en-clel blanc. — On donne le nom d'arc-en-ciW blanc à un phénomène qui s'observe principalement au moment où un brouillard épais se résout en pluie très-fine, et qui consiste en un arc d'apparence blanchâtre, à peine teinté de rouge sur son bord extérieur, dont le demi-diamètre apparent est variable et en général notablement plus petit que celui du premier arc -en -ciel. Ce demidisnnètre apparent est le plus souvent compris entre 87 et 4 9 degrés; à cette dernière limite l'arc-en-ciel blanc se confond avec l'arc-en-ciel ordinaire. Bouguer a vu dans les Cordillères un arc-en-ciel dont le demi-diamètre était de 33°5'; mais aucune observation postérieure n'a donné un angle aussi faible.
L'explication la plus plausible de l'arc-en-ciel blanc consiste à le regarder comme produit par des gouttes d'eau extrêmement fines. La théorie de M. Airy montre en effet que l'écart entre la position réelle du premier arc-en-ciel et celle que lui assigne la théorie de Descartes augmente à mesure que le diamètre des gouttes diminue. Quant à l'absence de coloration, elle tient en partie au peu d'intensité de la lumière que réfléchissent des gouttes très-petites, mais elle s'explique surtout par l'existence de gouttes de diamètres différents donnant lieu à des arcs dont les dimensions angulaires ne sont pas les mêmes ; ces arcs en se superposant doivent en effet produire une bande sensiblement blanche, sauf sur les bords.
M. Bravais a essayé d'expliquer l'arc-en-ciel blanc en admettant la présence dans l'atmosphère de gouttes d'eau creuses, dont l'enveloppe aurait une épaisseur comparable au rayon de la cavité intérieure ^'^\ Les rayons qui émergeraient d'une pareille goutte après
''J Trana. qf tke Soc. of Cambr., VII, 377.
*) C. /?., XXI, 756. — ioMni. de VÉc M, XVlil, 97.
DIFFRACTION. A23
une seule réflexion seraient en effet compris entre deux surfaces coniques formées, l'une par les rayons émergents qui proviendraient des rayons incidents tangents à la surface extérieure de la goutte , l'autre par les rayons émergents correspondant aux rayons incidents qui, après réfraction , deviendraient tangents à la surface intérieure de la goutte. Mais l'existence de gouttes d'eau suspendues dans l'atmosphère et présentant la constitution que leur suppose M. Bravais est fort peu probable.
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