DE LURC-EN-CIEL
L'élude des phénomènes de diffraction produits par les ondes non sphériques est encore très-peu avancée ; un seul cas a été traité par le calcul : c'est celui de l'arc-en-ciel. Aussi ce chapitre sera-t-il consacré entièrement à la théorie complète de ce phénomène météorologique et des apparences qui s'y rattachent.
\Qà. Anelemtc théorie de rare-eii«elel« — L'arc*en-ciel est, comme on sait, un phénomène qui consiste en bandes colorées de forme circulaire qu'on aperçoit en tournant le dos au soleil lorsqu'il tombe de la pluie. Dans la plupart des cas on voit deux arcs, et dans chacun de ces arcs les couleurs se succèdent dans le même ordre que dans le spectre solaire; l'arc le plus brillant est l'arc intérieur ou premier arc-en-ciel , qui présente le rouge en dehors et le violet en dedans ; l'arc extérieur ou second arc-en-ciel est beaucoup plus pâle que le premier, et les couleurs y sont disposées dans l'ordre inverse, c'est-à-dire que le violet se trouve en dehors et le rouge en dedans. Le centre commun de ces arcs est toujours sur la droite qui passe j)ar le centre du soleil et par l'œil de l'observateur, de sorte que les points culminants des deux arcs-en-ciel sont d'autant plus relevés que le soleil est plus voisin de l'horizon. Leurs diamètres apparents sont constants; dans le premier arc-en-ciel le demi-diamètre apparent est de ho degrés pour le violet et de 4a degrés pour le rouge; dans le second, le demi-diamètre apparent est de 5 1 degrés pour le rouge et de ïy/i degrés pour le violet. L'espace compris enire les deux arcs-en-ciel est toujours notablement plus obscur que le reste du riel.
La production de l'arc-en-ciel a éié d«» lout temps altrîbuép à la réflexion des rayons solaires dans les gouttes de pluie. La théorie de ee phénomène, ébauchée par Antoine de Dominis, évoque de Spalatro, fut développée par Descartes et complétée ensuite par Newton en ce qui touche l'ordre des couleurs. La théorie de Descartes est insuffisante en ce qu'elle ne tient compte que de la condensation plus ou moins grande des rayons suivant les différentes directions et non de leur différence de marche; aussi, comme nous le verrons plus loin , ne peut-elle expliquer toutes les particularités du phénomène. Néanmoins , avant de faire connaître la théorie complète due à M. Airy, il est utile de rappeler les points essentiels de la théorie cartésienne.
Supposons que sur une goutte d'eau de forme sphérique tombe un faisceau de rayons solaires parallèles entre eux : certains de ces rayons seront diffusés à la surface extérieure de la goutte et feront voir les nuages et la chute de la pluie; d'autres ne reviendront à l'œil de l'observateur qu'après s'être réfléchis une ou plusieurs fois dans l'intérieur de la goutte. Parmi ces derniers rayons considérons en particulier ceux qui émeFgent de la goutte après s'être réfléchis une seule fois dans son intérieur; les rayons émergents qui correspondent à des rayons incidents infiniment voisins divergent en faisant entre eux un angle qui en général est un infiniment petit du premier ordre; mais il existe toujours une incidence telle, que deux rayons infiniment voisins, entrant dans la goutte sous cette incidence, en sortent en faisant entre eux un angle infiniment petit du second ordre; en d'autres termes, à un faisceau incident infiniment étroit, pénétrant dans la goutte sous cette incidence, correspond un faisceau émergent composé de rayons parallèles et conservant par suite son intensité jusqu'à une grande distance. Les rayons qui émergent parallèlement sont dits rayons efficaces, et si l'on admet, comme le faisait Descartes, que les intensités des rayons qui arrivent a l'œil s'ajoutent toujours arithmétiquement, il est évident que la goutte paraîtra beaucoup plus fortement éclairée lorsque l'œil sera placé sur la direction des rayons efficaces que lorsqu'il occupera toute autre position. Cette considération des rayons efficaces, qui forme la base de la théorie de Descaries, s'ap-
l'îm MMIERK NON POLARlSIiK.
ou H
sui-TT — >-n a siu'ô
l'ivAii* expression ne diH'ère de celle (uron trouve dans le cas d'une fente unique (|iie par le Facteur constant n; les |)liénoniene8 suivent donc dans le cas actuel les mêmes lois (pie s'ils étaient |>roduiis par une Fente unique, et Tinlensilé est en chaque |)oinl proportionnelle au nondue des ouvertures.
7 G. Diffraction |iar un i^rand nontbre de flis ésanit lyirallélea mt nan éiinidistenta. — SuppoHons (|ue le système diiïringent soit Formé dun {;rand nombre d'intervalles o|)aques de même largeur, séparés par des intervalles transparents dont les lar- ;;(*urs soient variables et entièrement soumises au basard, ce qu*on réalisera en (endanf un grand nondire de (ils de ménu^ diamètre parallèlement les uns aux autres et à des distances inégales ne suivant aucune loi régulière.
Ce cas. en apparence complètement différent du précédent, conduit cependant à des résultats identiques.
Si, en effet, on désigne par d la largeur constante de Tintenallr
o|>aque, jiar a, a, a" ^«"^ les largeurs des intervalles transjia-
renls, Texpression de l'intensité sur la direction qui Fait un angle i a\ec la normale au réseau sera
COS'JTT ^ — (IjC j +( ISlUîiW-y ' (fJT j ^
chacune des intégrales étant prise successivement entre les Hniile> suivantes:
0 et a,
n + d et n + a-r-d,
a-i-a+n'-r -{-a"^ *"^\n - \)d et a-^-n+it'-f 4-</'"-r(« H'':
DIFFRACTION. 405
par là qu'en désignant par p la rotation totale d'un rayon qui subit k réflexions à l'intérieur de la goutte , on a
p=a[i—r) + k{n—*ir).
Les rayons efficaces sont évidemment ceux dont la rotation est maximum ou minimum; il faut donc, pour déterminer la valeur de l'angle d'incidence qui. correspond aux rayons efficaces, annuler la dérivée de p par rapport à t, ce qui donne
*-(*+0aî==O"
De la relation
on tire
sin I
-: — = n . sm r
dr cos i
di ncosr
L'équation précédente devient donc
cos i
d'oL
^ / /l COS /'
n^ cos- r = ( À: + 1 y^ cos^ i ;
on a d'ailleurs
n^ sin^ r = sin^ î';
en ajoutant membre à membre, il vient
n^ = 1 + (^^+ 9 A) cos^ I .
d'où
cost
Pour l'eau, l'indice de réfraction n est égal à 3 environ, et par suite n^— 1 à ^; le dénominateur lc^-\- sàk est au moins égal à 3 : Ifl: valeur trouvée pour cos i est donc toujours admissible, et, quel que soit le nombre des réflexions intérieures, il existe toujours pour une couleur déterminée une valeur, et une seule, de l'angle d'incidence, pour laquelle les rayons émergents sont eflicaces.
iÙ6 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Nous avons maintenant à chercher si la rotation des rayons efficaces est un maximum ou un minimum. Pour décider cette question
il faut connaître le signe de -t^; or on a
dp / 1 \ dr
(Pp /# . \d*r
tPo rf*r
le signe de tï est donc toujours contraire à celui de ji *
De la relation
dr cos i di ncosr
on tire d'ailleurs
rf*r — /r cos* r si 11 / -f- fi si n r cos' i di^ n^cos^r
et, en remarquant que l'on a
n sin r = sin /, li^ cos- r = li^ — sin^ i ,
il vient
rPr (i — /r)sin i
r/t* H^cos'r
On voit que yr^ est toujours négatif et que, par suite, -rÇ est toujours positif. La rotation des rayons efficaces est donc un minimum, quel que soit le nombre des réflexions.
On peut encore se proposer de déterminer la position du point d'émergence d'un rayon quelconque SI par rapport au point d'émergence du rayon normal SA. Ce dernier point d'émergence est le point A ou le point A\ suivant que le nombre des réflexions est impair ou pair; après k réflexions, l'arc compris entre ce point d'émergence et le point A est donc représenté, en prenant le rayon de la goutte pour unité, par (/:+t)^- On voit facilement que, pour le rayon SI, l'arc compris entre le |>oint d'incidence et le point d'émergence est égal, a|)rès h réflexions, à [U~\- i) (w — ar); il en
DIFFRACTION. 407
rë9i||tc que , pour J arc compris enlre le point d'émergence du rayon SI tt. celui du rayon normal SA, arc que nous désignerons par S, on yura
Pour savoir si la distance angulaire S de ces deux points d'émergence est susceptible d'un maximum ou d'un minimum, il faut ég«)er à zéro la dérivée de S par rapport à f , ce qui donne
à'o\x et eqtin
k(k + i)^ cos' / = V? - 1 -h cos*-^ /,
cos-* < ==^ —
4(fc4 D* -1
La valeur ainsi trouvée pour cosi est toujours très- petite, car dans U tas d'une seule réflexion elle est égale à v/ï? et elle diminua v mesure que k augmente ; de plus, comme on a
et que T^ est toujours négatif, la valeur obtenue pour l'angle d'incidence correspond toujours à un maximum de S.
La distance «ngulaire S du point d'émergence du rayon SI au point d'émergence du rayon normal, nulle quand le point d'incidence du rayon SI se confond avec le point A , va donc d'abord en augmentant avec IVngle d'incidence et atteint un certain maximum qui a lieu lorsque T^ngle d'incidence est voisin de 90 degrés, c'est^ à-dire quand le rayoi) SI est voisin du rayon tangent à la goutte d'eau.
Nous avons maintenant à montrer comment l'existence des rayons efficaces peut servir à expliquer la production de l'arc-en-ciel. Occupons-nous d'abord des rayqns qui ne se réfléchissent qu'une seule fois à l'intérieur des gouttes d'eau : ce sont ces rayons qui donnent naissance au premier arc-eut-ciel ou arc intérieur. £n faisant dans
408 LUMIÈRE NON POLARISÉE,
les formules précédentes k= t et en adoptant pour l'indice de* réfraction la valeur approchée 5 , on trouve pour les angles d'incidence et de réfraction qui correspondent aux rayons efficaces et pour la rotation totale de ces rayons les valeurs suivantes : -
i= 59*23', r= 6o°ta', p = ir4-ai~ 4r= 1 37*58'.
La déviation des rayons efficaces est dans ce cas, comme le montre la figure 89, égale au supplément de la rotation, c'est-àdire à environ 'i3 degrés. Si donc on conçoit un c6ne ayant pçur sommet l'œil de l'observateur, pour axe la droite qui joint cet œil au centre du soted et pour ouverture angulaire 63 degrés, chacune des génératrices de ce cône qui rencontre une goutte d'eau peut être regardée comme l'axe d'un faisceau de rayons efficaces, et paj suite ce cône coupe les nuages suivant un arc lumineux qui est lé' premier arc-en-ciel. '■'
La rotation des rayons eflîcaces n'a pas la même valeur pour les âifférentes couleurs : d'après la valeur trouvée plus haut pour cos 1, l'angle d'incidence des rayons efficaces est d'autant plus petit que l'indice de réfraction est plus grand, d'où il résulte qu'à mesure que la réfrungibilité des rarons augmente la rotadon devient plus grande, et par conséquent In déviation plus petite; dans le premier arc-Dit!<îel, lolet doit donc sélrMNC en dedans et le roagajaBrJéi horit. Les valeunesidnil^ déviations, calcidéOi'JF^fii^ les formules précàIfliAaMiW 6 o" 1 7'paur lesrayonsrNfiift  a* 1 ' & o' pour les n^em'iiolets.
'''*■ "' La rotation des rayons ef-
ficaces étant toujours un minimum, leur déviation dans le premier arc-en-ciel est uo maximum , d'oij il faut conclure que les gouttes
DIFFRACTION. a«;]
placés par rapport au centre ont Hps valeurs égales et de signes contraires. L'expression de l'intensité se nnluit par conséquent à
ta / r^^ r^ pcos0sin6' , - \o
L'intégration par ra|)port h p peut s'effectuer complètement; en intégrant par parties, il vient en effet
/*'^ pcos^sind , I j&cos*>7r'^- -^ ffp
/ Xp , pcos^sinÔxH
— \. . .^ Sin '^TT -T- )
X'ÀirvasypsiuU A /o
r\\ X pcos^sinâ . — I . . . sin ov ■ ; dp
XR Ucos^sin0
sm îiw -
X* / Hcos^sinÔ \
XR Rcos^sinô
— -/sin^TT
a^cosi^sind' X
X* . n Ucos(psinÉ/ sm-ir f
a7r*cos*(psin*fi
L'expression de l'intensité prend par suite la forme
« / XR i-aw . Rrosipsinô d<P
\nrsii\h,fo A ros(p
><* n'^ . ., RcosiPsinft d<t N .
1 • ./i I sm-w r -77
'iTrVsiirÔJo A cos'^y
/ . Rros^sinâ
Ri 'dZ
aTrlW'osipsinfy
. ., Rcos^sinÔ \ 2 sin-TT ^^
.^o» SIU'TT ? \
&iO LUMIÈRE NON POLARISÉE.
incidents et sont dirigés vers la terre, ainsi que le montre la figure 83.
Dans le second arc-en-ciel , la déviation des rayons efficaces est un minimum comme leur rotation ; les gouttes d'eau situées au-dessous de cet arc ne peuvent donc envoyer à Tœil aucun rayon ayant subi deux réflexions intérieures. En comparant cette remarque à celle que nous avons faite plus haut au sujet des gouttes placées au-> dessus du premier arc-en-ciel, on voit que les gouttes qui se trouvent dans la région comprise entre les deux arcs doivent paraître très-peu éclairées, car aucun des rayons qui ont subi à l'intérieur de ces gouttes soit une réflexion unique, soit deux réflexions, ne peut arriver jusqu'à l'œil.
Ou doit se demander pourquoi, dans les conditions ordinaires, on n'aperçoit pas plus de deux arcs-en-ciel, bien que la théorie en indique une infinité. On conçoit bien que, par suite des réflexions successives, la lumière s'afiaiblisse de telle sorte que les arcs d'un ordre élevé ne puissent être distingués; mais la difl'érence d'éclat entre le premier et le second arc n'est pas assez considérable pour qu'on puisse attribuer l'absence du troisième à son peu d'intensité. La véritable raison qui empêche de voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel, c'est que ces arcs ne se projettent pas sur la partie du ciel qu'embrasse le regard d'un observateur tournant le dos au soleil; le premier arc visible pour cet observateur après le second e&t lecinquième , qui est déjà trop faible pour pouvoir être reconnu.
On trouve en efl'et , pour la rotation des rayons efficaces, 3 18 degrés dans le cas de trois réflexions, et /10& degrés dans le cas de quatre réflexions; d'où il résulte que les rayons qui se sont réfléchis trois ou quatre fois dans l'intérieur des gouttes d'eau, qu'ils aient pénétré dans les gouttes par la partie supérieure ou par la partie inférieure, en sortent toujours par le côté opposé au soleil. Pour voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel, il faudrait donc que l'observateur fât tourné vers le soleil et qu'il tombât de la pluie entre lui et cet astre ; mais dans ces conditions les arcs sont novés dans la lumière solaire et restent invisibles.
Pour le cinquième arc-en-ciel la rotation des rayons efficaces est de /i86 degrés, c'est-à-dire d'une circonférence entière plus 1 ?i6 de*
DIFFRACTION. àtl
grés; la portion de cet arc due aux rayons qui pénètrent dans ieb gouttes par la partie inférieure serait donc visible pour un obser-^ vateur tournant le dos au soleil, si la lumière n'était pas trop affai-» blie par les réflexions successives.
Les couleurs des difféirents arcs-en-ciel ne sont pures que Hur les bords; car, le soleil ayant un diamètre apparent d'environ 3o minutes, la bande qui, dans chaque arc-en-ciel, correspond à une cou^ leur simple a une largeur égale à ce diamètre apparent ; il y a donc superposition partielle des bandes de différentes couleurs, sauf vers les bords de l'arc.
Enfin on peut remarquer que les dimensions transversales des faisceaux efficaces sont d'autant plus considérables que le diamètre des gouttes de pluie est plus grand; l'arc-en-ciel doit donc être d'autant plus brillant que ces gouttes sont plus grosses, ce qui ex-* plique pourquoi des gouttelettes très-fines ne peuvent jamais produire d'arc-en-ciel.
On peut obtenir des arcs-en-ciel artificiels en éclairant un jet d'eau cylindrique, soit au moyen des rayons solaires pénétrant dans la chambre obscure par une petite ouverture, soit par une lumière artificielle de petite dimension ; il devient alors possible de distinguer les arcs formés par les rayons qui émergent du côté opposé à celui par où pénètrent les rayons incidents. M. Babinet a observé les arcs formés par un jet d'eau jusqu'au quatorzième et mesuré leurs dimensions angulaires, qui se sont trouvées peu différentes de celles qu'indique la théorie ^^K
