DES LENTILLES ET DES MIROIRS

i ANNALES DE CHIMIE ET DE PHYSIQUE, 3* SERIE, TOME XXXI, PAGE 48*>.

On admet généralement que l'intensité lumineuse d'une imago formée au foyer d'une lentille ou d'un miroir est, à grossissement égal, proportionnelle à l'étendue superficielle de l'ouverture de 1; lentille. Cette relation parait, au premier abord, assez évidente; ell est conforme au principe des forces vives, et, les conséquences qu'on en déduit dans la théorie des instruments d'optique se trouvant vérifiées par l'expérience, on n'en saurait révoquer en doute l'exactitude.

Néanmoins on a proposé une difficulté théorique assez sérieuse. D'après le système des ondulations, le foyer d'une lentille est le point où tous les rayons, partis en même temps du point lumineux et réfractés par la lentille, arrivent à la même époque. Ces rayons apportent tous au foyer des vitesses de vibration égales et constamment de même phase; la vitesse de vibration de l'éther est donc, en ce point, proportionnelle au nombre # des rayons réfractés, c'està-dire à l'ouverture de la lentille, et, comme l'intensité de la lumière est proportionnelle au carré de la vitesse de vibration, il semble qu'elle soit aussi proportionnelle au carré de l'ouverture de la lentille M.

Cette difficulté vient uniquement de ce qu'on ne distingue pas

(,) Celle difficulté a été indiquée par M. Babinel dans une connu unira lion verhale à r Académie des sciences, le kj juillet 1 8 'i 7 .

les effets d'un point lumineux de ceux d'un objet lumineux d'étendue sensible.

Un point lumineux dont les rayons viennent tomber sur une lentille convergente donne lieu à la formation d'un point brillant, en son foyer conjugué, où l'intensité est réellement proportionnelle au carré de Taire du diaphragme qui limite la section efficace de la lentille* Mais, autour de ce point brillant, la lumière est sensible jusqu'à une certaine distance, et forme une série de franges, alternativement obscures et brillantes, dont la grandeur et la figure dépendent de la grandeur et de la figure du diaphragme. C'est ainsi que, dans les lunettes astronomiques, les images des étoiles brillantes s'entourent tantôt d'une série de cercles, tantôt de rayons divergents suivant la forme du diaphragme placé devant l'objectif. (Observations de M. Àrago et des deux Herschel.)

Si, au lieu d'un point lumineux, c'est un objet uniformément brillant et d'étendue angulaire sensible qui envoie ses rayons sur la lentille, à chaque point de cet objet correspond, comme il vient d'être dit, un système de franges qui environnent le foyer conjugué. Si les dimensions de l'image géométrique sont grandes par rapport à celle d'un de ces systèmes, en chaque point de cette image, excepté tout près de ses limites (1) , il y aura une intensité lumineuse constante, résultant de la superposition d'un grand nombre de franges obscures et brillantes appartenant à divers systèmes. On conçoit que cette superposition puisse produire une intensité lumineuse simplement proportionnelle à l'aire du diaphragme.

Ces remarques très-simples suffisent pour écarter les difficultés; mais, pour résoudre complètement la question, il est nécessaire de démontrer que la théorie des ondes conduit au principe de l'exacte proportionnalité entre l'éclairement des images et l'étendue de la surface efficace des lentilles. On y parvient à l'aide des principes qui servent à l'explication de la diffraction.

Considérons d'abord le cas particulier où la lentille est limitée par un diaphragme rectangulaire. Prenons un point lumineux situé

'') En raison de la politesse des longueurs d'ondulation par rapport aux dimensions de lentillps, rHIe condition peut Atre satisfait»* par des images réellement Irès-pelife».

sur Taxe de la lentille. On sait que Tonde émanée de ce point est transformée par la lentille en une onde sphérique concave ayant pour centre le foyer conjugué^. Soit, en ce foyer, l'origine d'un système de coordonnées rectangulaires dont Taxe des z soit dirigé suivant l'axe de la lentille» et les deux autres axes parallèlement aux côtés du diaphragme. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un élément cPco de Tonde sphérique; par £, u, celles d'un point voisin du foyer, situé dans le plan des x, y, c'est-à-dire dans le plan où se forme l'image lumineuse. Si Ton représente, à un instant donné,

par

Sin 2Wsr

la vitesse de vibration des molécules de Tonde sphérique , la vitesse de vibration envoyée par Télément <Pûj au point (Ç, t/) pourra être représentée proportionnellement par

(P(k> SIR 9 7T l rp y '

Kn appelant R la distance focale, on a

et, par suite,

y/(x - C) s + (y - *)»+ *« - v/R 2 - 9*Ç - *yv + & + v\

H , à cause de la petitesse de Cet de y,

D'ailleurs, dans le cas d'une lentille peu étendue, le seul qu'il y ait à considérer, fia est sensiblement égal à dv dy. et l'expression ci-

(,) Cïo principe est démontré dans plusieurs ouvrages d'oplique, iiolainmenl dans les Mathethttliral Tracts de M. Airy. Il /'lait d'ailleurs connu de Fresnel, cpii en a fait iwafle dans son mémoire Mir la diffraction.

dessus se réduit à

dx dy sin qtt l ™ — >- H ôt — )

= dx dy cosâ7r ( — p> ) sin qtt I ;p — ^ 1 -\-dxdy sinQ7r ( — 0^- j cosnr iy — ^J -

La vitesse de vibration au point (£,>?) étant la somme algébrique des vitesses envoyées par les divers éléments de l'onde, on en aura la valeur en intégrant l'expression précédente entre les limites déterminées par le diaphragme. Soient a et b les coordonnées parallèles aux x et aux y d'un des sommets du diaphragme rectangulaire, c et d les dimensions des côtés de ce diaphragme , on aura à déterminer

sin un

(t— ?)JT + rf yjr +c ^ cos9,r ( £ nr)

et, d'après les règles connues de la théorie des ondulations , la somme des carrés des deux intégrales, par lesquelles sinaTrf™ — j-J et

T~"x) son * res P ec ^ vement multipliés, exprimera l'intensité lumineuse résultante. Or il n'est pas difficile de voir que les deux intégrales se réduisent à

8111 7T iTT • SU! ÎT ÔT COS 9 11

»•£„ M " " RX °'" " RX WD J " RX

et à

*$, an *m' nn *fBi amitir îû

dont la somme des carrés est

II* X* . r£ . « d»;

En posant

c£ dri

cette expression se met sous la forme

., , sin a u sin*r c l d l • — =-• — — *

et l'on voit qu'en chaque point l'intensité de la lumière est proportionnelle au carré de cd, c'est-à-dire au carré de l'ouverture rectangulaire.

Un autre point de l'objet lumineux, ayant son foyer conjugué dans le plan qui a été pris pour plan des xy, au point (a, /3), donnera un autre système de franges qui sera représenté, à très-peu près, par les formules précédentes, où l'on aura changé f en f — a, ri en t; — jS , c'est-à-dire par

7 rM£-«)'(>/-/3)' ,s,n ~' r ~~ ïô--* 111 -*— HT-

Les intensités développées par les divers points de l'objet lumineux au point (Ç, rj) s'ajouteront aritlunétiquement, en vertu de la règle connue de l'addition des lumières qui proviennent de sources différentes. La valeur définitive de l'intensité résultante au point (£, rt) sera donc l'intégrale

prise entre les limites convenables.

Si, comme on l'a supposé, les dimensions de l'image géométrique de l'objet lumineux sont très-grandes par rapport à celles de la portion sensible d'un système de franges, la différence des limites sera très-grande par rapport aux longueurs d'ondulation, et l'on pourra, excepté si le point (£, v) est très-voisin de la limite de l'image géométrique, remplacer l'intégrale précédente par celle-ci, dont la valeur est indépendante de Cet de >/, et peut, d'ailleurs, s'ob-

lenir aisément :

J - oc J- =o ** ÏW Sm * «Û SUr,r 1Û

En posant

et faisant usage de la formule connue

00 , sin* u

au — 5- =7r, -00 "

cette intégrale se réduit à

R 2 X*crf,

expression qui est simplement proportionnelle à l'étendue de l'ouverture rectangulaire.

Le principe est donc démontré pour le cas d'une ouverture rectangulaire. Prenons maintenant le cas où le diaphragme est percé de deux ouvertures rectangulaires , égales ou inégales , situées à une distance quelconque Tune de l'autre , mais ayant leurs bords parallèles.

Conservons les mêmes notations que précédemment, et représentons par a l9 b l9 c l9 i { les données relatives à la seconde ouverture qui sont représentées par a, b, c, d pour la première; le point de l'objet lumineux situé sur l'axe de la lentille enverra au point (£, >/) une vitesse de vibration représentée par

sin9w lT~xj (j b d yj a ** cos **SBT

(t- RWf 6 -^, f a + r J a£ + 7U

+ «»>»lT— XJUft y Ja ^ Slnî?7r -RT-

(l * Kkllam), Tranêarhnnxdc In Société philoxophique fie Camlti-ùlgr , l. VII, p. l56.

En effectuant les intégrations, et exécutant quelques transformalions très-simples, cette expression se met sous la forme

. . (t R\ RV

[ • «•£ . dn Kl^K)'

[Sin 7T j^ Sin 7T ^ cos a* jû

+ s]n7r-j^r sin7r srcos

a,r iû J

M R\ R'X 1 J. ci. dr,. (« + ï) €+ ( 6 + ï)«'

+ Sin7TnT Slll 7T ^r SlIÎ 97T jTT

D'où l'on conclut l'intensité de la lumière au point £. i;, savoii

w«ÇV

sin 2 *- RT sin'* ^ + sin** m sin* * -^ + 9S,nw Rl sinw iÛ S,n *RX Sin,r RT

XCOS 97T

XCOS27T

— — oinv unir -i— cijj tr — 4r-

+ a sin 7r ut sm 7r jrr sin 7r ^t sin tt ^

Xsin 27T

Xsm ^7r

Les mêmes raisonnements que dans le cas d'une seule ouverture font voir que l'intensité définitive s'obtient en multipliant l'expression précédente par <fë drj , et l'intégrant par rapport aux deux variables de — co à + oo . Les parties de l'intégrale données par les deux premier? termes de la quantité entre crochets se réduisent évidemment à

quantité proportionnelle à la somme des étendues des deux ouvertures rectangulaires. Quant aux autres parties de l'intégrale , on peut démontrer qu'elles sont nulles , et qu'en conséquence l'intensité est bien proportionnelle à la somme de ces étendues.

En effet , on peut remplacer la somme du troisième et du quatrième terme de l'expression comprise entre les crochets par la suivante, qui lui est identique :

c£ . drj - c.£ . (l t rj

9 SUl JT j>T Sin 7T gv Sin 7T gr- Sin 7T pT