Prineipes fondamenteux iMlmis par Fresnel

Les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière polarisée [>ni été exposées par Fresnel pour la première fois en iSai ^^\ puis plus complètement en i8s3 ^^l Cette théorie n'est applicable qu'aux milieux isotropes ou uniréfringents. Elle s'appuie sur quatre principes que nous allons faire connaître successivement ; les deux premiers sont incontestables, les deux derniers ont un caractère un peu hypothétique.

1 " Principe des forces vives. — Fresnel admet le principe des iorces vives sous la forme que lui a donnée Young. Il suppose un

(*) Ann, de chim. et de phyi,, (a), XVII, 1 90, 3i 3. — OEuvret complètes, l* I , p> 6âo. ^ Mém, de VAead. det <c., XI, SgS. — Ann. de chim. et de phye., (3) , XLVI, 925. — CEmvrtÊ complétée, 1 1, p. 767.

ëther parfaitement élastique, dont les molécules après les vibrations sont ramenées au repos en cédant aux molécules suivantes tout le mouvement qu'elles ont reçu, d'où il résulte que toute la force vive du rayon incident doit se retrouver dans le rayon réfléchi et dans le rayon réfracté. En réalité ce principe n'est pas absolument vrai, car en l'établissant on néglige la présence de la matière pondérable qui retient une partie de la force vive. Cette absorption de la lumière produit dans la matière pondérable des changements permanents, tels que ceux qui se révèlent à nous sous la forme de la chaleur. Nous en ferons abstraction dans la théorie que nous allons exposer, c'est-à-dire que nous imaginerons un éther fictif, parfaitement élastique, dégagé de toute matière pondérable. Aussi verronsnous que les résultats de cette théorie s'accordent parfaitement avec l'expérience quand les milieux sont transparents; approximativement seulement quand la transparence n'est pas complète, et qu'enfin, pour les milieux qui absorbent fortement la lumière, l'expérience s'écarte complètement de la théorie.

a^ Principe de continuité. — Le second principe est celui de continuité, aussi évident que le premier. Voici en quoi il consiste: si on fait deux sections infiniment rapprochées de la surface de séparation des deux milieux, l'une dans le premier, l'autre dans le second milieu , les vitesses et les déplacements des molécules prises sur les deux sections et dont les distances sont infiniment petites ne diiferont elles-mêmes que de quantités infiniment petites. Ces Mirences ne peuvent pas être nulles; car si, à un instant queleonqoei les molécules infiniment voisines avaient même mouvement, lemooveroent communiqué à l'une d'elles pendant cet instant ne se transmettrait pas aux autres, et la propagation du mouvement s'arrêterait. Les différences de vitesses et de déplacements ne peuvent pas non plus être du même ordre de grandeur que les déplacements et les vitesses , car alors il se développerait des forces élastiques infiniment grandes par rapport à celles qui mettent réellement les molécules en mouvement , et ces forces résistantes ramèneraient dans un temps infiniment court les différences à n'être plus qu'infiniment petites. Enfin, si les différences sont infiniment petites, les forces élastiques sont de même ordre que celles qui font mouvoir lesmo-

lécutes et ramènent ces molécules dans leur position d'équilibre. C'est ce qui a lieu non-seulemept pour les molécules infiniment voisines d'un même milieu, mais encore pour les molécules de deux milieux différents et contigus, lorsqu'elles sont à des distances infiniment petites. Ce principe est soumis aux mêmes restrictions que le premier.

3^ Hypothèse des changements brusques à la surface de séparation. — Le troisième principe ne se trouve qu'implicitement dans Fresnel; il admet que le changement de vitesse et de déplacement s'opère brusquement à ia surface de séparation des deux milieux. L'expérience parait au premier abord vérifier cette hypothèse , car, si près qu'on les prenne de ia surface de séparation , le rayon réfléchi et le rayon réfracté possèdent les mêmes propriétés qu^à une grande distance de cette surface. Mais il faut dire que les distances de la surface de séparation auxquelles on peut expérimenter sur les rayons, même lorsqu'elles sont autant réduites que possible, sont toujours encore très-grandes par rapport à la longueur d'ondulation; or celle-ci est du même ordre de grandeur que la distance dans les limites de laquelle peuvent s'opérer les changements, s'ils se font graduellement. On ne commettra donc qu'une très-faible erreur en admettant que ces changements ont lieu brusquement à la surface de séparation.

4" Hypothèse sur la constitution de l'éther, — Fresnel admet comme quatrième principe que la différence des vitesses de propagation de la lumière dans les différents milieux isotropes tient uniquement à la différence des densités de l'éther dans ces milieux , tandis que Félasticité de cet éther est la même dans tous les milieux isotropes. Ce principe est une simple hypothèse tant qu'on ne fait pas intervenir des considérations étrangères à Tordre de questions dont nous nous occupons actuellement.

11 en résulte, comme nous l'avons vu plus haut, que les vitesses de propagation dans les différents milieux sont en raison inverse des racines carrées des densités de l'éther dans ces milieux, et cette relation nous permettra d'établir l'équation des forces vives en déter^ minant les masses qui entrent dans cette équation.

Les phénomènes de ia polarisation rectiiigne montrent simplement

que les vibrations sont symétriques par rapport h ce qu'on est coi venu d'appeler le pian de polarisation ; mais ils n'indiquent nulle ment si les vibrations d'un rayon polarise rectilignement ont lie parallèlement ou perpendiculairement à ce plan de polarisatioi Fresnel, pour trouver des lois de la réflexion et de la réfractio conformes à l'expérience, a été obligé de supposer les vibratioi perpendiculaires au plan de polarisation. Ainsi l'hypothèse de I constance de l'élasticité de l'éther entraîne celle de la perpendici larité des vibrations au plan de polarisation , et ces deux hypothèsi n'en font en réalité qu'une.

Nous commencerons par étudier la réflexion et la réfraction d la lumière polarisée rectilignement, et nous traiterons en premi( lieu les deux cas les plus simples, celui où la lumière incidente es polarisée dans le plan d'incidence et celui où elle est polarisée per pendiculairement au plan d'incidence.

312. Réflexion de la lumière polarisée ûmmm le jfÊu d'ineidenee. — Lorsque la lumière incidente est polarisée dam le plan d'incidence, les vibrations des rayons incidents sont perpendiculaires à ce plan ; tout est alors symétrique par rapport k c« plan, et par conséquent les vibrations des rayons réfléchis etr^ fractés doivent lui être perpendiculaires. Donc, lorsque les rayons incidents sont polarisés dans le plan d'incidence, les rayons réfl^ chis et les rayons réfractés sont polarisés dans le même plan.

Il reste à déterminer l'intensité de la lumière réfléchie. Le principe de la continuité du mouvement va nous fournir une premi^ équation. Prenons pour unité l'amplitude du rayon incident; k mouvement vibratoire sur le rayon incident sera représenté ptf

sin 97r TT. au temps t, T étant la durée d'une vibration; il s'agit, bien

entendu, d'un mouvement simple, c'est-à-dire d'un rayon June couleur déterminée. Prenons dans le second milieu une molécob infiniment voisine de la surface de séparation : le mouvement d« cette molécule, d'après le principe de continuité, aura mêmepb»* et même période que celui d'une molécule prise dans le premitf milieu y mais l'amplitude sera différente* Si nous représentons cette

THÉORIE DE FRESNRL &01

amplitude par u el si nous remarquoni! que, d'après le troisième principe posé par Fresnel , l'amplitude u doit conserver une valeur constante dans le second milieu, nous verrons que sur le rayon réfracté le mouvement vibratoire est représenté par usinais;- De même, en désignant par v l'amplitude du mouvement réfléchi dans te premier milieu, le mouvement vibratoire sur le rayon réfléchi est représenté parvsin 37 j- La résultante du mouvement incident et du mouvement réfléchi est(t 4-v)sin air^i puisque ces mouvements sont rectilîgnes et parallèles; et, d'après le principe de continuité, cette résultante doit être égale au mouvement vibratoire du rayon réfracté : on a donc

(i +11) sm aw-^usin airsii d'où

Le principe des forces vives va nous fournir une seconde équation qui, avec la première, servira à déterminer les amplitudes v et u. À cet efl'et, cherclions à quelle portion de l'étber se transmet dans le mouvement réfléchi et dans le mouvement réfracté la force vive d'une portion déterminée del'éther animée du mouvement incident. Fresnel considère à cet effet un prisme rectangulaire d'éther ayant pour dimensions dans )a direction du rayon incident une longueur MN (flg. 56) égale à X, dans le plan d'incidence une largeur quelrif-BC. conque MK que nous désignerons part/, et

dans le sens perpendiculaire h ce plan une hauteur quelconque que nous nommerons A. Le volume du prisme est donc Xdh. Si nous représentons par sin air s; le mouvement vibratoire du point M au temps (, le mouvement vibratoire d'une section faite dans le prisme perpendiculairement au rayon incident et à une dbtance s du point M sera représenléà la mâine époque par sîn a» f-ïi — jt)» et la force

vive de la tranche infiniment petite d'épaisseur dx correspondant ï cette section aura pour expression , si l'on prend pour unité la densité de l'éther dans le milieu incident,

hddx sin^ aw (jp "~ t) '

Pour avoir la force vive de tout le prisme il suffit d'intégrer, par rapport à x, depuis zéro jusqu'à X, ce qui donne

hd j sin^fiiri^ — -rjdx.

Cherchons maintenant la force vive du mouvement réfléchi. Pendant que le mouvement de la molécule N vient en N', celui de la molécule M se transmet en un point M' tel que l'on ait