MN=M']N'=X
Le volume auquel est transmis le mouvement du prisme d'éther considéré dans le mouvement incident est donc encore X hd; l'amplitude seule a changé dans le rapport de i à t^^ de sorte que la force vive du mouvement réfléchi est égale à" '
hdv^£ smHn{^-^)èc./
Passons maintenant à la lumière réfractéct Lorsque le point N aura transmis son mouvement en N'^, le point M aura transmis le sien en M^, et, comme dans ces deux trajets la partie NW est commune, M"N'' doit avoir été parcouru dans le même temps que MN; or MN = X, donc M''N''=X', X' étant la longueur d'ondulation dans
cosr
le second milieu. La dimension K"M* a pour valeur d :» i et r
1 cn^ I
désignant les angles d'incidence et de réfraction; la dimension h n'a
pas changé. Quant à la densité de l'éther dans le second milieu,
d'après le quatrième principe, elle est égale à 57^; enfin l'amplitude
du mouvenient réfracté est représentée par u. On a ainsi pour valeur
(le la force vive du mouvement réfracté
L'équation des forces vives peat donc s'écrire
hd I sin* 27r \f~\)^^'=' ^^^ ) sin^ air {jf. — j-j àx
d'où
Si l'on pose v"=y> on a
/o sin*2T(|-J)-xj]'8in«a»(i,-y)%
en sorle que iVquation des forces vives se réduit à
X cosr çj
d'oïl, en remplaçant vpar -j-—»
( t — r-) sin r cos t = u^ sin t cos r.
Cette équation, avec la première, détermine v et ti; on en lire successivement
( I — «) ( i + »^) sin r cos i=u^ sin i cos r. ( i — v) sin r cos t = m sin t cos r,
en tenant compte de la relation i +v=u, et enfin
(i — r)sinrcos î = (i +r) sintcosr,
àOà RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
d'où
sin r cos i — sin i cos r si n (i — r)
sin r COS 14- sin I COS r sin(;-i-r)*
Telle est l'amplitude du rayon réfléchi. Quanta son intensité, si
on la désigne par R, celle du rayon incident étant prise pour unité,
on a
p sin* (i-r) Mn»(n-r)
On voit que le signe de la vitesse ed vibration v du rayon réfléchi est semblable ou contraire au signe de la vitesse de vibration du rayon incident, suivant que le second milieu est moins ou plus réfringent que le premier.
Supposons d'abord le second milieu plus réfringent que le premier, c'est-à-dire i>r, et cherchons comment varie v. Pour f*=o, c'est-à-dire pour l'incidence normale, la valeur de v se présente
sous la forme -• On lève cette indétermination, soit en prenant le
rapport des dérivées et en passant à la limite, soit en remarquant que, lorsque t tend vers zéro, les sinus des angles i — r et i+r tendent vers les arcs t — r et i + r, de sorte que l'on a, dans le cas de l'incidence normale,
!' = — lim ' — = — lim
Mais, comme
n étant l'indice de réfraction du second milieu par rapport au premier, il vient
n-hi
A mesure que l'angle d'incidence t croît, le numérateur augmente et le dénominateur croît pour décroître ensuite, en sorte qoe, pour voir comment varie r, il faut chercher le signe de la dériva»
ui est
cos(£ — r) (i — -p) sin(£4-r) — cos(i + r) (n-^j sin (i—r)
sin*(i-i-r)
u, en remplaçant -r- par "^— .» ce qui résulte de la relation in I = 11 sin r^
— cosfi — r) I sin(£4-r)-i-cos(i-*-r) { i h sin (i— r)
sin*(i-t-r)
u, plus simplement,
— sin 2r-\ sin ai
ncosr
sin*(i-i-r) t, en remplaçant n par sa valeur,
li enlin
— sin ar sin i cos r -f- cos i sin r sin ai
sinicosrsin*
2 5ini(C08*i-
•cos*r)
sini
-; — cos r sin'
sm r
asini (cos*i —
cos*r)
/icosrsin*(i-t-r)
ietle expression est toujours négative; v décroît donc quand t auglente, et, comme v est négatif, sa valeur absolue augmente avec incidence. Donc, quand la lumière incidente est polarisée dans le lan d'incidence, l'intensité du rayon réfléchi augmente avec Tincience. Sous l'incidence rasante, 1 = 90 degrés et Ton a t; » i ; dans e cas, le rayon réfléchi a même intensité que le rayon incident
Tous les résultats précédents s'appliquent au cas où le second lilîeu est moins réfringent que le premier, seulement le signe de r »i positif. De plus, n étant alors plus petit que l'unité, il arrive un loment où sin t devient égal à n. Si l'on dépasse cette limite, on a In r ^ 1 , et l'angle r devient imaginaire. L'expression de v, qui ontient cet angle, est donc aussi imaginaire et a besoin d*étre in-
terprétée, comme nous le ferons plus loin. Ainsi le cas de la Téflexion totale se trouve écarté de la discussion précédente.
313. RélleiLloii de la lumière polarisée perpendieiilairement au plan d'ineidence. — Lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence , ses vibrations sont dans ce plan d'incidence, et, comme il n'y a pas de raison pour qu'elles en sortent, il doit en être de même des vibrations des rayons réfléchis et réfractés. Donc, quand les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, les rayons réfléchis et réfractés sont aussi polarisés perpendiculairement à ce plan.
Pour déterminer l'intensité de la lumière réfléchie , il faut suivre la même marche que dans le cas précédent. Le principe des forces vives y en désignant par u' et v' les amplitudes du rayon réfracté et du rayon réfléchi, conduit encore à l'équation
( 1 —v'^) sinr cos t = u'^ sinicos r.
Mais les vibrations des trois rayons, incident, réfléchi et réfracté, bien qu'étant contenues toutes trois dans le plan d'incidence, ne sont plus parallèles comme dans le cas précédent. Il faut donc deux équations pour appliquer le principe de continuité. On peut, par exemple , prendre dans le plan d'incidence deux axes , l'un parallèle à la surface de séparation, l'autre perpendiculaire, décomposer les vibrations suivant ces axes et écrire les équations qui résultent pour chaque axe du principe de continuité. On a ainsi deux équations incompatibles , et l'une d'elles doit être écartée. Fresnel a supposé qu'il suffisait d'appliquer le principe de continuité aux composantes des mouvements vibratoires parallèles à la surface de séparation. Cette hypothèse s'appuie sur la transversalité des vibrations lumi^ neuses, d'où il résulte qu'il peut se produire, dans le sens longitadinaU une discontinuité quelconque, sans que les ondes cessantes se transmettre. C'est l'inverse de ce qui se produit pour le son. Ponf la transmission d'un son d'un milieu dans un autre, de l'air dans l'eau par exemple , il importe peu que les molécules d'air glissent ou non sur la surface de l'eau; il suffit , pour que le son passe dans Teani
qu'il se produise sur la surface de l'eau une pression normale régulière et continue ; le principe de continuité n'est nécessaire que pour la composante verticale de la vitesse. Dans l'éther, c'est l'inverse, et il doit suffire, pour la transmission de la lumière, que les vibrations aient lieu d'une manière continue parallèlement à la surface de séparation.
En appliquant le principe de continuité aux composantes parallèles à la surface de séparation des trois rayons, incident, réfléchi et réfracté, on a immédiatement l'équation
(i — t?') cos I = tt' cos r.
e/ devra être pris positivement ou négativement, suivant que sa composante parallèle à la surface de séparation tombera du côté opposé à la composante de la vitesse du rayon incident, ou du même côté, ce qui aura lieu suivant que la vitesse du rayon réfléchi et celle du rayon incident coïncideront ou seront dans le prolongement l'une de l'autre lorsqu'on fera tourner le rayon réfléchi de manière à l'amener sur le prolongement du rayon incident.
Nous avons donc, pour déterminer v' et u^ les deux équations,
(i — v'^) sin r cos i = u'^ sin i cos r, (i — v') cos t = v! cos r.
In remplaçant u' dans la première équation par sa valeur, tirée de a seconde , il vient
roù
ît enfin
(i + 1/) cos r sin r = (i — v') cos t sin i.
, sin i cos i — sm r cos r sm ai — sm ar
sin i cos i -4- sin r cos r sin ai + sin ar
^^/^tang(t-r) tang(iH-r)
L'intensité R' du rayon réfléchi a donc pour expression , quand la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence,
l^,^tang«(t-r) tang* (i-^r)
Supposons le second milieu plus réfringent que le premier et considérons d'abord le cas de Tincidence normale, c'est-à-dire fai-
sons t «= 0. On aura encore lim v' = lim -r- — = . Dans ce cas
particulier v' a la même valeur que la vitesse v qui correspond à la lumière polarisée dans le plan d'incidence. Gela se conçoit facilement, car, lorsque l'incidence est normale, le plan d'incidence n'a plus de direction déterminée, et tout plan normal à la surface peut être regardé comme plan d'incidence. Si les signes des valeurs de o et de V sont différents, cela tient purement à une convention différente, et il est facile de vérifier que, dans un cas comme dans l'autre, la vitesse du rayon réfléchi est de signe contraire à celle du rayon incident.
A mesure que l'angle d'incidence i augmente, la vitesse v' diminue, comme on peut le prouver en prenant la dérivée de v\ qui est toujours négative. C'est du moins ce qui a lieu, jusqu'à ce que l'on ait t + r = 90 degrés; la direction du rayon incident est alors donnée par la formule tang i = ii, et le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté. Mais, si l'on fait t + r= 90 degr^, la vitesse v' du rayon réfléchi devient nulle, et ce rayon est complètement éteint. Si l'angle d'incidence augmente au delà de la valeur qui correspond ài+r== 90 degrés, la vitesse v' change de signe et augmente en valeur absolue. Enfin, sous l'incidence rasante, on a t = 90 degrés, et la vitesse v' est égale et de signe contraire à la vitesse du rayon incident. L'angle d'incidence , donné par la formule tang t = n, et pour lequel le rayon réfléchi s'éteint complétementt est ce qu'on appelle Vangle de polarisation complète.
Si le second milieu est moins réfringent que le premier, la vitesse v' change de signe. Dans ce cas, l'angle r atteint la valeur 90 degrés avant l'incidence rasante, lorsque l'on a sint = n. Si l'angle i dépasse cette valeur, r devient imaginaire ; c'est l'angle de la réflexion totale. Nous laisserons de Côté, pour le moment, tout ce qui est relatif à la réflexion totale.
Dans le cas où le second milieu est plus réfringent que le pf^ mier, nous avons trouvé que l'angle de polarisation complète était donné par la relation tang 1 = n. Supposons maintenant que la '""
rayon incident. Si l'on désigne par j8 Tangle de polarisation da rayon réfléchi avec le plan d'incidence, on a
sma
tang(/-^-r lang /S = — 7—-. ;
cos a
sin {i -br) d'où
/2 * cos II -+■/•;
tang/3=-tang«^^^..^y C'est celte dernière formule que nous avons à discuter. Le rajiport
ue larigp a laiig a ut^peiiu ue la vaieur uu la (juaiuuu ,. '-
Cette quantité est toujours moindre que l'unité; cela est évident tant que t + r est plus petit que 90 degrés; mais, si 1 + r dépasse
90 degrés, cos (t-h^') devient négatif, et l'expression ^TTItL
reste encore plus petite que l'unité. En effet, l'inégalité
cos(i + r)
cos (/—/•)
é(|uivaut H
— cos(/ + r) <Z cos(i— r)
ou à
— cosi cosr+sinisinr <cos* cosr-f-sint sinr
ou enfin à
— acostcosr^o,
ce qui est évident.
On voit par là que la réflexion a pour effet de rapprocher le plan de polarisation du plan d'incidence. Mais, dans la manière donl^^ fait ce rapprochement, il y a deux cas à considérer, suivant que l'angle d'incidence est plus petit ou plus grand que l'angle de '^ polarisation complète. Dans le premier cas, on a i-hr<d90 degréîî. et tangjS est de signe contraire à tanga; le plan de polarisation du rayon réfléchi passe donc de l'autre côté du |)lan d'incidence. S'« nu contraire, on a Z+r^go degrés, les deux plans de polari>ation du rayon réfléchi et du rayon incident sont du même côlé d" plan d'incidence. Dans le cas intermédiaire oij l'angle 1 est celui ue
la polarisation complète, c'est-à-dire où Ton a t + r = 9.o degrés, il vient iS= o, c'est-à-dire que le plan de polarisation du rayon réfléchi se confond avec le plan d'incidence.
Lorsque , le second milieu étant moins réfringent que le premier, l'angle d'incidence est celui de la réflexion totale , et que , par conséquent, on a r= 90 degrés, ou lorsque, le second milieu étant plus réfringent que le premier, on a 1 = 90 degrés, il vient
tang j8 = tang a ;
dans ces deux cas, le plan de polarisation du rayon n'est donc pas dévié par la réflexion.
Ce qui précède montre la marche du plan de polarisation du rayon réfléchi depuis l'incidence normale jusqu'à l'incidence de la réflexion totale, ou jusqu'à l'incidence rasante. Pour l'incidence normale, on a tang j8 = — tang a; le plan de polarisation du rayon réfléchi fait donc avec le plan d'incidence et de l'autre côté de ce plan un angle égal à celui que fait le plan de polarisation du rayon incident avec ce même plan d'incidence. A mesure que l'incidence augmente, le plan de polarisation se rapproche du plan d'incidence; il se confond avec lui lorsque l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, et vient se confondre avec le plan de polarisation du rayon incident lorsque l'angle d'incidence est celui de la réflexion totale, dans le cas où le second milieu est moins réfringent que le premier, ou lorsque l'incidence est rasante , dans le cas contraire.
Après une première réflexion , on a , en désignant par a^ l'angle du plan de polarisation du rayon réfléchi avec le plan d'incidence ,
. . cos(n-r)
^g^i-^-^Pg^cosd-r)'
Si Ton fait réfléchir une seconde fois la lumière, en conservant le même plan d'incidence et la même valeur de l'angle d'incidence i, on aura
cos(i-hr) ^ cos*(i-+-r)
tang «., = - tang ai^^.^) = tanga^,^.^.j,
et, en général, après n réflexions successives, s'opérant toujours
/il2 RÉFLEXION ET RÉFIUCTION DE LA LUMŒRE POLARISÉE, dans les mêmes conditions, on a
, cos" (t>r)
tanga, = ±tanga^^^,^.,^^>
Il faut prendre le signe + si n est pair, le signe — si n est impair.
cosf - )) *^"^ ^®^^ ^^^^ quand n augmente indéfiniment. Le plan de polarisation du rayon réfléchi tend donc, lorsque le nombre des réflexions augmente, à se confondre avec le plan d'incidence.
315. Réllexloii de la lumière polarisée eirettlaire»et on elliptiquemeiit. — Un rayon polarisé circulairement ou elliptiquement peut toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux rayons polarisés rectilignement, l'un dans le plan d'incidence , l'autre dans le plan perpendiculaire , et ayant des phases différentes. Si on applique à chacun de ces rayons polarisés rectilignement les formules que nous avons trouvées pour les deux cas dont il s'agit, nous aurons les composantes du rayon réfléchi suivant le plan d'incidence et suivant un plan perpendiculaire, et on en déduira facilement la nature et l'intensité du rayon réfléchi. La discussion des formules auxquelles on arrive ainsi sans aucune difliculté ne présente guère d'intérêt, et nous nous bornerons a examiner un seul cas , c'est celui où. un rayon polarisé circulairement se réfléchit sous l'incidence normale. Dans ce cas, le rayon réfléchi est encore polarisé circulairement, mais le sens de la polarisation est renversé : le rayon réfléchi est polarisé de gauche à droite si le rayon incident est polarisé de droite à gauche, et réciproquement. En effet, la vibration circulaire du rayon incident peut être considérée comme la résultante de deux vibrations rectilignes s'effectuant, l'une dans le plan d'incidence, l'autre dans le plan perpendiculaire. Après la réflexion, les vitesses de chacun de ces mouvements ont avec les vitesses du mouvement incident un rapport qui ne dépend pas du temps. Les vibrations du rayon réfléchi seront donc encore circulaires; seulement, comme, parmi les deux vitesses des mouvements rectilignes, l'une aura changé de signe dans» réflexion , le sens dans lequel le cercle est parcouru sur le rayon
THÉORIE DE PRESNEL. &13
réfléchi résultant sera également changé. Cette conséquence de la théorie, déduite par Earnshaw, a été vérifiée expérimentalement par Powell<^).
316. Réllexloii de la lumière naturelle. — Nous avons vu précédemment (189) quelle est la constitution de la lumière naturelle. Nous allons ici donner aux conditions que doit remplir un système de vibrations elliptiques pour constituer de la lumière naturelle une forme qui nous sera plus commode pour étudier la réflexion et la réfraction de la lumière naturelle. Ce qui caractérise cette lumière, c'est qu'elle donne, dans un analyseur biréfringent, deux images de même intensité, quelle que soit la position de cet analyseur. Soient a et b les axes d'une vibration elliptique î\ un instant donné, et ai l'angle de l'axe b avec la section principale de l'analyseur. Les équations du mouvement vibratoire rapportées à ces axes seront
Ç=asin97rrp» ); = écos37rr-p«
Pour avoir le mouvement vibratoire sur les deux rayons dans lesquels se décompose le rayon incident en pénétrant dans le prisme , il faut décomposer le mouvement qui se fait suivant chacun des axes de l'ellipse en deux autres, l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à la section principale de l'analyseur, ce qui donne, pour le rayon ordinaire ,
a cosûi sm ùtt j — osincj cos qtt ;p »
et pour le rayon extraordinaire ,
a sincj sm 27r ^^ + o cos ai cos qtt rp •
D'après les règles connues des interférences les intensités de ces deux vayons seront, pour le rayon ordinaire,
a^ cos^ey + b'^ sin^<y, 0) ffc^.A/og., (3), XXII, 93,369.
AU RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE, et pour le rayon extraordinaire,
a^sin^ûi+i^cos^ûi.
Telles sont les valeurs de ces intensités pendant une première période où les quantités a^ b ei oj restent constantes, c'est-à-dire où les vibrations elliptiques ne changent pas. Pendant une seconde période, a, J, co changent de valeur et deviennent a', b\ û>', et ainsi de suite.
Nous avons vu que chacune de ces périodes, quoique trèscourte, peut comprendre un grand nombre de durées de vibrations. Dans un temps très-court par rapport à nous, il y a un grand nombre de ces périodes, et la sensation produite pendant c temps, que nous supposerons toujours le même sans le préciser, davantage, sera la moyenne des intensités qui correspondent c' chaque période.
Pour que les images données par l'analyseur soient de mém intensité, il faut donc qu'on ait pour le temps considéré
(i) 2 {«^cos^ûi+i^sin^fiy) =^ (fl^sin^oi+i^cos^ûi).
Cette équation doit être satisfaite, non-seulement pour une valear particulière de ûi, mais encore pour toute position de l'analyseur, c'est-à-dire pour toute valeur de cj.
En désignant par 9 un angle quelconque , on doit donc avoir
2 [a2cos2{û,-0)-f é2sin2(ûi-0)]
En développant le premier membre il vient
V [a^{cosùJCOs9'i'S\ncjs\n9Y+b^[siï\ù)COs0—-cosa>s\n6f]
OU
cos2 e^ {a^cos^oj + bHin^ù)) + sm^9^ {aHin^ù)+ bhos^a») + ùsin9cos9^(a^ — b^)sinù) cosûi.
On trouve de même, pour le second membre,
— îîsinôcosô^ {(!'- lr)s'\nojcosGi).
En tenant compte de Téquation (i) il reste
y" [a- — 6-) sin w cosw=-- — ^ (<(- - fr^)sin w cosûj, d'où
Z^ (fr — 1)^ ) sin w eus o) ^ o .
Donc, pour (|u un système de vibrations elliptiques donne de ia lumière naturelle, les deux conditions suivantes doivent être satisfaites :
V (a^ cos^ck) + /j^sin'-çj ) =^ («-sin'w + ^'^cos-w), ^ {tr— i2)sinciicos<y=o.
Ceci posé, revenons à la réflexion de la lumière naturelle et cherchons d'abord à calculer l'intensité de la lumière réfléchie. Représentons par 1 l'intensité de la lumière incidente, par a et & les axes de la vibration elliptique et par c^ l'angle du petit axe avec le pian d'incidence. Le rayon elliptique incident peut se décomposer en deux rayons polarisés rectilignement, l'un dans le plan d'incidence, Tautre dans un plan perpendiculaire. Le calcul que nous venons de faire donne pour les intensités de ces rayons pendant un temps très-court, pris pour unité,
V (rt^cos*-fiy-|- fr-sin^6;) et V («-sin^û)+ ft^cos-ûi).
Si la lumière est naturelle, d'après ce qui a été dit plus haut, ces deux quantités doivent âtre égales, et par conséquent l'intensité de
chacun des rayons polarisés rectilignement est égale à - • Les intensités des rayons réfléchis correspondants seront, d'après les for-
/ilG nÉFLEXlON KT RÉFKACTION DK L\ LUMIÈRE POLARISEE, mules trouvées |)récéd<»iiiiueat,
1 sin* (/ /•)
et
1 laiiff- (/ — /•)
2 lang* {i + r)
On a donc pour Tinlensité du rayon résultant , r'est-à-dire du rayon réfléchi ,
^,„ ^ } sin* t-r) \ tang» (i-r)
:isin*(«H-r; 2tang*(/-hr)
On arriverait au in<?me résultat en remplaçant le rayon de lumière naturelle par deux rayons égaux en intensité et polarisés à angle droit, Tun dans le plan d'incidence, l'autre dans un plan perpendiculaire. Ce peut ^tre là un moyen de se rappeler la formule, mais en réalité ces rayons polarisés à angle droit n'existent pas, car il faudrait les supposer indépendants l'un de l'autre, incapables de se combiner pour no donner qu'un seul mouvement, et de tels rayons n'evistent pas.
317. Polar Umtloii totale ou partielle de la liuaiére naturelle par la réflexloii. — Etudions maintenant les propriétés ((u'acquiert la lumière naturelle lorsqu'elle a été réfléchie
Lorsqu'on a i'-|-r= go degrés, la quantité . . i-, s'annule,
et il ne reste plus que la composante polarisée parallèlement au plan d'incidence; la lumière réfléchie est donc dans ce cas particulier complètement polarisée dans le plan d'incidence.
Dans tous les autres cas, les vibrations sont encore ellip(i(]0<^ après la réflexion, et ces ellipses ont été modifiées d'une manière qui n'est plus la même pour toutes, mais qui agit toujours dan:»
le même sens. En efl'et, le rapport de tangllnhr) ^ sin(!>ri ^
1 — p — ^, (juantité plus petite que l'unité. La composante de U^'
plitude parallèle au plan d'incidence a donc été diminuée par » réflexion plus (|ue la composante perpendiculaire à ce plan; ^
deux composantes n'étant plus égales, la lumière réfléchie ne peut être de là lumière naturelle: elle ne peut être que partiellement polarisée.
Pour vérifier qu'il en est bien ainsi, cherchons l'efl'et produit sur cette lumière réfléchie par un analyseur biréfringent. Pour plus do simplicité, supposons la section principale de cet analyseur dans le plan d'incidence. Alors le rayon polarisé dons le plan d'incidence donnera seul le rayon ordinaire, et le rayon polarisé perpendiculairement à ce plan donnera seul le rayon extraordinaire, de sorte qu'en désignant par 0 l'intensité du rayon ordinaire, par E celle du ravon extraordinaire, on a
^ i sinM'- ') i,. 1 tangM'-')
2Sin*(/-h/) atang*(t + r)
L'image ordinaire étant plus intense que l'image extraordinaire. ce résultat s'accorde bien avec l'expérience. On peut écrire l'identité
^ 1 sin* (i — r) 1 lang* (i — r) 1 'sin*(/--r) tang*(/ — r) 2 sin' (i -+-/•)" :i tang* (/H-r) a
sin*(iH-/*) tang*(/4-r)
ou
0==F-4-i rsinM'-/') tang^(/-rn ^ "^"^a LsinM'>r) tang* (/-h r) J '
En ne prenant que le premier terme de l'expression de 0 et en le combinant avec le rayon extraordinaire, on a de la lumière naturelie, et il reste en plus le second terme de 0 qui représente de la lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence. On peut donc regarder la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle comme composée d'une certaine proportion de lumière naturelle et d'une autre proportion de lumière com|)létement polarisée dans le plan d'incidence. Mais ce n'est là qu'une convention utile pour abréger les raisonnements, car ces deux mouvements, s'ils existaient, se composeraient aussitôt en un seul.
Lorsqu'on fait arriver sur un analyseur biréfringent un rayon de lumière partiellement polarisée, on trouve deux positions de la section principale de l'analyseur pour lesquelles les intensités des
418 RÉFLEXIOiN ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
deux images sont égales et deux autres pour lesquelles la différence d'intensité est un maximum. On dit que le plan de polari$alion par^ tielle est parallèle à la section principale de lanalyseur lorsque cette section occupe la position pour laquelle l'image ordinaire est maximum. Entre ces quatre positions, les intensités des deux images varient d'une manière continue.
Sur un rayon de lumière partiellement polarisée, les conditions nécessaires pour que la lumière soit naturelle ne sont pas réalisées. On peut donc poser, en appelant n et ^ les axes de la vibration elliptique et (m) l'angle que fait l'axe b avec la section principale de l'analyseur pour une certaine position de cette section, celle où elle esi parallèle au plan d'incidence,
2^ {fi^ — i'^)sinfit)cosci) = C.
Considérons maintenant une autre position de la section principale faisant avec la première un angle 9: si on désigne par A** et par B'^ les intensités du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, on aura
A'^=^ An-os-^ô+B^sin^e+^jCsinflcosô,
B'^-Asin^e + B^cos^e- aCsinôcosÔ.
Chacune de ces expressions est essentiellement positive et t\e^ jamais ni nulle ni infinie : elles ont donc chacune un maximum ^l un minimum. Appelons plan de polarisation partielle la position tic la section principale de l'analyseur pour laquelle A'^ est un vaBUmum. On a, en égalant à zéro la dérivée de A'^,
9(B-— A*'^)sin9cosô+aCco5atf= o, d'oij
On a ainsi pour 6 deux valeurs différentes de i8o degrés, ceq^i
donne deux plans rectangulaires dont l'un est le plan de polarisation partielle et l'autre le plan correspondant au minimum de l'image ordinaire. 9 est l'angle dont il faut faire tourner la section principale de l'analyseur pour la faire coïncider avec le plan de polarisation partielle. Si donc C = o, on a aussi ô= o, et la section principale de l'analyseur coïncide avec le plan de polarisation partielle. Revenons maintenant à la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle. Il est facile de voir que C est nul. En effet, l'intensité du rayon réfléchi polarisé dans le plan d'incidence, au lieu
d'être y^(a^cos^<y+i^sin^w) comme dans la lumière incidente, est
-^-"TT-r-^^ V (a^cos^fii^ + i^sin^ûi). Si l'on change «y en ai— ô, le multiplicateur de sin 9 cos 0, au lieu d'être, comme dans la lumière partiellement polarisée , ^ (q^— i^)sinflJCOs&?, facteur qui a été
désigné par C, sera •^)'^ {^{à^^b^)smojcosù). Ce terme sera
encore nul puisque la lumière incidente est naturelle, et, par suite, le terme qui dans la lumière réfléchie est représenté par C est nul, d'où il résulte que le plan de polarisation partielle de la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle est le plan d'incidence.
En résumé , lorsque des rayons de lumière naturelle se réfléchissent, la lumière réfléchie est toujours partiellement polarisée dans le plan d'incidence, sauf le cas où l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, et, dans ce cas, la lumière réfléchie est entièrement polarisée dans le plan d'incidence.
L'intensité de la lumière réfléchie est égale à
isin*(i — r) itang*(i — r) 2sin*(i-4-r) a tang* (i-+-r)
et cette lumière réfléchie peut être considérée comme composée d'une certaine proportion de lumière polarisée complètement dans le plan d'incidence, dont l'intensité est égale à
1 /8in*(i — r) tang*(£ — r)\
a Vsin*(i-4-r) tang» (i-hr)/ '
ou à
1 sin* (i — r) r cos* (i4-r)1
3sin*(i-Hr)L cos'(i — r)J'
/i20 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
et d'une certaine proportion de lumière naturelle dont l'intensité est
égale à
tang»(t-r)
tang* (i-f-r)'
En désignant par m^ la proportion de lumière naturelle contenue dans la lumière réfléchie et par n^ la proportion de lumière polarisée dans le plan d'incidence , on a
Supposons maintenant que ces premiers rayons réfléchis se réfléchissent une seconde fois sous la même incidence et dans le même plan , on aura , après la seconde réflexion ,
a2 /^9 , m}\sin*{i'-r) p2 m'tang* (t-r)
C'est donc encore de la lumière partiellement polarisée dans le plan d'incidence.
L'intensité totale de la lumière réfléchie est, après deux réflexions,
/ ^ m*\sin*(t — r) m*tang*(i — r) V'* ■^T/sin*(i-+-r)'^Ttang»(i-+-r)'
La proportion de lumière naturelle a pour intensité
^tang»(i-r)
tu 7 77": : »
tang* (i-hr)
et la proportion de lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence
2 sin' [i-r) m} Tsin' (i — r) tang* (i — r)l sin*(iH-r) a Lsin*(i-hr) tang* (i-hr)J *
On voit que par la seconde réflexion la quantité de lumière naturelle diminue, tandis que celle de lumière complètement polarist^e augmente; il en sera de même si on fait réfléchir la lumière une troisième, une quatrième fois. Donc, par une série de réflexions successives, la lumière naturelle tendra à être complètement polarisa dans le plan d'incidence.
318. Réfraetion de la lumière polarisée dans le plan ineideiice. — L'étude de la réfraction de la lumière polarisée l tout à fait analogue à celle de la réflexion. Considérons d'abord
cas le plus simple, celui où la lumière incidente est polarisée ms le plan d'incidence. Le rayon réfracté sera alors également porisé dans le plan d'incidence. Pour déterminer son amplitude u, )us pouvons nous servir des deux équations que, dans le cas delà flexion, nous avons déduites du principe de continuité et du prinpe des forces vives et qui sont
(i — v^)sinrcosî = w^sintcosr.
En éliminant v entre ces deux équations, il vient successivement
(i — v)sinrcost = ttsintcosr, (2 — tt)sinrcost = usintcosr,
enfin
2 sin r cos i
sin (i-+-r)
Sous l'incidence normale, c'est-A-dire pour 1 = 0, l'amplitude u
! présente sous la forme -; mais en remplaçant les sinus par les
"cs, comme nous l'avons fait plus haut, on voit que la vraie vaur de u pour l'incidence normale est
Si le second milieu est plus réfringent que le premier, pour l'injence rasante, 1 = 90 degrés et u devient nul; par conséquent il Y a plus de rayon réfracté. Si le second milieu est moins réfringent le le premier, lorsque l'angle d'incidence a la valeur limite qui corspond à la réflexion totale, on a r= 90 degrés, et par suite
tt=3.
»ur une incidence supérieure à cette limite, il n'y a plus de rayon fracté.
Pour avoir l'intensité du rayon réfracté, il ne suffît plus d'élever tt
au carré; a^ ne mesurerait l'intensité du rayon réfracté qu'autant
que l'éther aurait 'la méroe densité dans les deux milieux , ce qui
n'a pas lieu. Si nous nous reportons aux prismes d'éther qui nous
ont servi à établir les formules dans le cas de la réflexion , si nous
prenons pour unité la masse du prisme qui se trouve dans le premier
milieu , et si nous désignons par m la masse du prisme situé dans le
second milieu auquel se sera transmis le mouvement au bout d'un
temps donné, l'intensité du rayon réfracté sera évidemment mu^.
Or l'équation
(i — t;^)sinrcosi = M^sintcosr,
qui contient les carrés des vitesses multipliés par les masses, montre que les masses des deux prismes dont nous venons de parler sont entre elles comme sinrcost est à sintcosr, c'est-à-dire que l'on a
sin I cos r
smrcosi
Il vient par conséquent pour l'intensité Ri du rayon réfracté
jj „ sin i cos r 4 sin* r cos* I
^ smrcosi sm*{n-r)
P sinai'sinar
^i"" sin* (i + r) *
On aurait pu du reste arriver à cette expression en mettant l'équation des forces vives sous la forme
et en remplaçant v par sa valeur ■ /. v ^ ce qui donne
2 sin* (t — r) 8in*(i-4-r) — sin*(i — r)
^^ ^ ^"~8in*(i4-r)"" sin*(n-r)
[sin(i-^r)4-sin(t— r)] [sin ( 1 4- r)— sin (t-r[]
8in*(i4-r)
4 sin I cos r cos i sin r sin ai sin a r
sin*(i-hr) 8in*(i-hr)
expression identique à la précédente»
Nous pouvons ainsi discuter plus facilement la valeur de R]; car, connaissant les variations de Vy nous en déduirons ironiédiatement relies de i— y^ ou de mu-, c'est-à-dire de l'intensité Ri. Ainsi, pour
=^ 0 , on a
lonc
n , fn-\\2 fin
' \n-h i J [Il -h I )*
Telle est la valeur de l'intensité du rayon réfracté sous l'incidence lorinale.
Lorsque le second milieu est plus réfringent que le premier, )Our Tincidence rasante , l'intensité devient nulle et il n'y a plus de •ayon réfracté. 11 en est de même, si le second milieu est moins réringent que le premier, lorsque l'angle d'incidence atteint la valeur imite de la réflexion totale, car alors on a r= ()0 degrés. Il semble lu premier abord contradictoire que le rayon réfracté soit nul dans :e dernier cas, puisque nous avons trouvé pour son amplitude une râleur égale à <j; mais si l'intensité est nulle, cela tient à ce que la nasse m du prisme d'éther du second milieu est nulle dans ce cas.
319. Kéfraction de la lumière polarisée perpendiciilaipement au plan d'incidenee. — Lorsque le rayon incident est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, il est évident, par raison de symétrie, que le rayon réfracté sera également polarisé perpendiculairement à ce plan. Pour déterminer l'amplitude de ce rayon réfracté, reprenons les deux équations qui nous ont servi pour le cas analogue de la réflexion : ces deux équations sont
( 1 +v') cos / -.^ ti cosr, (i — r'-)sinrcos/-= u'^sintcosr.
On en déduit, en divisant la seconde équation par la première,
(i - r')sinr=-M'sini*,
et, en remplaçant v par sa valeur tirée de la première équation.
/ ,cosr\ . / • •
Q —u r ) sinr=tt sint,
V cosi / '
U2li RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
, ^ sin r cos i 4 sin r cos i
Il =
sinicosi-hsinrcosr sinai + smar et enfin
, a sin r cos <
sin [i-\-r) cos(/ — /•;
Dans le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, nous avons trouvé pour l'amplitude du rayon réfracté
1 sm r cos /
sin [i-hi".
On voit que le rapport - est très-simple et a pour valeur — pn*
Ici encore l'intensité du rayon réfracté est égale à mu'^ : elle a donc pour expression
1^ , si n I cos /• /| sin* r cos* i ' sin /• cos / sin* { i -h /•) cos* ( i — /•; '
d'où
|j, sin a/ sin ar
^ " sin* ( ( -4- r) cos* ( / — r) *
On [)eiit encore obtenir cette expression au moyen de l'équation
qui donne
1 r^ =- mu ^y
,., tang* / -r:
mu^=^ 1 — , — "1,-, . »
d'où, |)ar des transformations faciles.
.4 sm ai sm ar mn ^ = . — •
sin*'/ + r) cos* (/ — /•) La discussion de la valeur de R,' se réduit donc à celle de la
quantité ];<!;;;;:•
Pour l'incidence normale, c'est-à-dire lorsque i'=o, on a, en remplaçant les tangentes par les arcs pour la quantité -^ ^r^'
la valeur p — ^/ et par suite, pourtw»/^ ou RJ, la valeur tjj-^.*!"^
THÉORIE DE FRESNEL A2o
nous avons déjà trouvée dans le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence.
Lorsque l'angle d'incidence t croît depuis zéro jusqu'à la valeur
I 11 • j ' 1 .'1' tantç^ii — /)
pour laquelle on a / + r= 90 degrés, la quantité . " , . r va en
décroissant, et par suite l'intensité du rayon réfracté va en croissant. Lorsque l'angle t varie depuis celte valeur jusqu'à 90 degrés, si le second milieu est plus réfringent que le premier, ou jusqu'à la valeur
pour laquelle r=-^ 90 degrés si c'est l'inverse, la quantité ' J • — :^
va en croissant, et par suite l'intensité du rayon réfracté va en diminuant, et elle s'annule pour «==90 degrés ou pour r=90 degrés, suivant la nature des deux m'ilieuv. On voit donc que, lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, le rayon réfracté a son intensité maximum quand l'incidence est celle de la polarisation complète. Cette intensité est égale à l'unité et le rayon réfléchi est complètement éteint.
320. Réfraction de la liintiére polarisée dans un plan f|iieiconqiie. — Le cas de la lumière polarisée dans un plan quelconque se ramène aux deux précédents. On décompose le rayon inrident en deux rayons ])olarisés l'un dans le [dan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan, et dont les amplitudes sont, en prenant pour unité l'amplitude du rayon incident et désignant par a l'angle du plan de polarisation avec le plan d'incidence, cos a et snn a. Les composantes de l'amplitude du rayon réfracté sont donc respectivement ucosa et ?/sina : comme le rapport de ces composantes est indépendant du temps, le rayon réfracté est polarisé rectilignement et l'angle de son plan de polarisation avec le plan d'incidence, angle que nous a[)pellerons y, est donné |)ar ré(|uation
n . faiip[a
tang> = ^ylanga
cos 1 / — /• I
4angy est de même signe que tanga, car i — r est toujours compris entre — 90 et + 90 degrés, et par suite cos (/- r) est toujours positif; donc le plan de polarisation du rayon réfracté est toujours du même côté du plan d'incidence que le |)lan de polarisation du ravon inci-
Vkbdit, Vf. — 0|»li(|in', II. .j«
'i3(> RKKLEXION ET UÉKKVCTlON DE LA LIMIÈKE POLAIUSÉE.
(leiiL et, coiuiiie tang y esl plus grand que (ang a, on volt que par l'eflet (le la rélVartion le |)lan rie ])olarisation s^éioigne du plan d'incidence et se rapproche du [)lan perpendiculaire, C'est l'inverse de ce qui a lieu pour la réflexion.
Sous l'incidence normale, on a /-^ o et r = o et par suite y^ a: le plan de polarisation n'est pas dévié.
Quand l'incidence / augmente depuis zéro jusqu'à 90 degrés, si le second milieu est plus réfringent que le premier; jusqu'à la valeur correspondante à la réflexion totale, dans le cas inverse. cos (i — r) diminue et tang 7 augmente. La déviation du plan de polarisation du ra\on réfracté va donc en augmentant avec Tincidence et atteint sa valeur maximum pour l'incidence rasante ou pour celle qui correspond à la limite de la réflexion totale, suivant la nature des milieux.
L'angle } ne peut jamais, par une seule réfraction, devenir droit, car, pour aucune valeur de 1. on n'a /— ''=90 degrés; la lumière, après une seule réfraction, ne peut donc jamais être polarisée dans un plan perpendiculaire au |)lan d'incidence. iMais, si on fait passer la lumière à travers une série de milieux à faces parallèles, par exem()le à travers une pile de glaces, l'angle y, que fait le plan (!«' ])olarisation du rayon réfracté (|ui a traversé w glaces a\ec le plaJi d'incidence est donné par la relation
tang a
tangy,-
cos'" '1 — r
donc l'angle y,. t<Mid vers 90 degrés quand le nombre des gla<*<î^ augmente, dette remarque est utile p!)ur expliquer l'action des pil^î» de glaces sur la lumière polarisée dans un plan quelconque.
tllierclions maintenant l'amplitude l et l'intensité RJ du rayon réfracté. On aura é\idenHnent
I ^. \/m*-î cos- a -r "''^ sin*- a,
d'où, d'après les valeurs trouvées plus haut pour u et u\
fi . • / cos* a sni* a
