L -J Sm /• rOS t 1 / -T—--: f- -T--—. r —r
\sin^'i-^r sm^;i-Hr)cos* 1-"/-
THÉORIE DK FRESNEL hil
Quant à rinteiisité, elle est représentée \)i\r ml]'^, ce qui donne
Hf, sinicos/' - . . .,.1' ros* a , sin- a 1
' sinrcos/ Lsiii- (/-+-/•) siu- /-Hncos-/ — /* |
l, en rédin'sant.
n'f • • • ros-a sin- a 1
' sin-i/H-r sin- /H-/- (OS- / — /J
3!2i. Réfraction de la lumière naturelle. — Livs cas de i lumière naturelle c( de la lumière partiellement polarisée peuvent » traiter comme les cas correspondants pour la réflexion. Toutefois, après les résultats déjà obtenus, on peut simplifier la marche du ilcul. Nous avons vu, en eifet, que la constitution de la lumière nairelle et de la lumière partiellement polarisée dépend uniquement e trois constantes A, B, C; de sorte que, si ces quantités restent ivariables, les propriétés du système demeurent les mêmes.
Pour la lumière naturelle on a A= B et C = o, c'est-à-dire qu'il a égalité entre les sommes des composantes des amplitudes suivant eux axes, l'un parallèle et l'autre perpendiculaire au plan d'incience. On peut donc concevoir le rayon naturel comme remplacé par eux autres polarisés, l'un dans le plan d'incidence et l'autre dans n plan perpendiculaire, égaux en intensité et se succédant à des itervalles très-rapprochés. Les intensités des rayons polarisés recilignement par lesquels on remplace le ra\on nalurel sont égales
-; les intensités de ces mêmes rayons après la réfraction devi<»nlent. d'après les foruiules établies plus haut,
I sin !i/sinir
i sin*(/H-r)
sin 11 sin 1/'
1 sm^(/-+-/)ros*(<--/')
Donc, quand la lumière naturelle se réfracte, l'inten^^ité de lu Ainière réfractée a pour «expression
,. I sinai sinQT 1 sin u/ sm a/*
1 «1 Kini/f i r'\
2 sin*(/H-r) 2 sin*(/-i-r)cos*(( — r)
ou bien
P« 1 sin 21 sin 2/' F , 1 l
' 7, sin*(/4-r) L ros*(i--r)J"
Les valeurs des intensités des deux composantes de la lumièn réfractée montrent qu'elle peut être considérée comme compose'^-- 0 d'une proportion de lumière naturelle ayant pour intensité
sin a/ sin ar
sm*(/+r)
et d'une proportion de lumière polarisée perpendicuLiirement a u plan d'incidence ayant pour intensité
sinaismar isinaismar
a si n* (' -♦- /') cos* (/ - /*) 2 si n* (1 h- r)
Il résulte de là que la lumière réfractée est partiellement polsn risée et qu'elle a pour plan de polarisation partielle un plan perpendiculaire au plan d'incidence. L'expression qui représente h proportion de lumière naturelle ne pouvant jamais devenir nulle, il faut en conclure que la lumière naturelle ne peut jamais être polarisée complètement par une seule réfraction.
Il n'en est plus de même si la lumière naturelle se réfracte à travers une série de milieux à faces parallèles, par exemple à travers une pile de glaces. Après n réfractions, en effet, on a pour l'intensité de In lumière polarisée dans le plan d'incidence
1 ["sin 21 sin ar]»
2 L sin*(z-4-r) J
et pour l'intensité de la lumière polarisée perpendiculairement au
plan d'incidence,
I sin2fsin2r "j«
L sin* (/ -h /•) cos- (/ ~ /•) J
-fi?
Le rapport de la première intensité à la seconde est cos"(t-''' et tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, d'où l'on conclul que la lumière naturelle transmise à travers une pile de glaces ^ j .^j rap|)roche d'autant plus d'être complètement polarisée perpennicolairement au plan d'incidence que le nombre des glaces est plus considérable.
THEORIE DE FRESNEL. ki9
L'intensité^ de la portion de la lumière réfractée qu'on peut conérer, après une seule réfraction, comme polarisée perpendiculailenl au plan d'incidence, est
1 sinafsinar isinn/sin^r
!i si n' (/ ■+■ r) cos^ (i — r) 3 si n* (* 4- r)
(jui peut s'écrire
1 sin 'ifsiu'jr | 1
3 si 11* (/ H- / ) Lcos* (i — r)
enfin
I sin ai sin ar sin* (' — ^') 3 si n* (1 + r) cos* (/ — r)
Dans le cas de la réflexion de la lumière naturelle , nous avons uvé, pour l'expression de l'intensité de la lumière qu'on peut isidérer comme polarisée dans le plan d'incidence,
1 rsin* (/—/•) lang*(« — r)1 3 Lsin*(/-4-r) tang*(iH-r)J'
[jui peut s'écrire
isin-(<— r)| cos*(/-*-/)"|
3 sin* (i H- r) L cos* (/ — /) J
1 sin* (/ - /•) fcos* (/ — /•) — cos* (* -»- /•) 1 3 si n* (/ 4- /') L cos* (I — r) J '
encore
1 sin* (i - r) [cos (/' — /•) 4- cos {i h- r)] [cos (/ - r) — cos [i -4- r)] 3 sin* (( H- /•) cos* [i — r)
enfin
I sin 31 sin sr sin*(i~r) 3 sin*(iH-r)cos*(( — rj
iression identique à celle que nous venons de trouver pour Tinsite de la partie polarisée de la lumière réfractée. Ainsi, quand la nière naturelle tombe sur la surface de séparation de deux mi- IX, les quantités absolues de lumière polarisée qui se trouvent is la lumière réfléchie et dans la lumière réfractée sont égales, is il y eu a relativement moins dans Tune (|ue dans l'autre, car
fî^O RÉFLEXION ET RÉFRACTIOiN DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
les quantités tolales de lumière réfléchie et de lumière réfractée n( sont pas égales. (iCtte remarque nous sera souvent utile par la suite.
32!2. Réflcmion totale. — Dans le cas où le second milie est moins réfringent que le premier, nous avons laissé de côté le ca.* de la réflexion totale. Lorsqu'en effet l'angle d'incidence devient su périeur h la valeur pour laquelle on a r= 90 degrés, on trouve pou sin r une valeur supérieure à l'unité; cet angle devient donc iuia ginain». el les formules (pii donnent les amplitudes et les intensité de In lumière réfractée ol réfléchie sont inapplicables.
Examinons d'a1)ord le cas où la lumière incidente est polarisé dans le plan d'incidence. L'expérience nous montre alors que, toute les fois (pie l'angle I dépasse la valeur pour laquelle r est égal 90 degrés. Il n'y a plus de rayon réfracté, et le rayon réfléchi ( égal en intensité au rayon incident et polarisé comme lui dans 1 m plan (rincidence. La théorie confirme ce résultat: le principe A. ^ Huvghens montre que dans le second milieu les mouvements vibrai ^ toires se détruisent tous à partir d'une très-petite distance de 9s surface de séj)aration. Le principe des forces vives exige que le rayoi; réfléchi soit égal en intensité au rayon incident, du moment quV/ n'y a |)lus de rayon réfracté; et enfin, pur. raison de symétrie, 1^ rayon réfléchi doit être polarisé dans le plan d'incidence.
Cependant la formule que nous avons établie pour déterminer l'amplitude du rayon réfléchi dans le cas où la luim'ère incide«tee>l polarisée dans le ])lan d'incidence, formule qui est f T
siii (/ — /•)
sin(/-i-r)
donne une valeur imaginaire pour v quand, le second miliein*ianl moins réfringent que le premier, / dépasse la valeur pour la([uello r-^-go degrés, c'est-à-dire lorsqu'il y a réflexion totale, car alors on a, en remplaçant sin r par sa valeur nsinf.
si II / V I — ti* si 0*1 — n si n / cos /
si n / \/ 1 - «* si n* / 4- n si n / cos /
Pour les valeurs de 1 suj)érieurcs à celle (jui donne r^ago deg»^
on a n 81111 r>i; donc les (|uantités placées sous les rddicuux sont négatives et l'expression de v devient ûnaginnire. On peut mémo donner à cette expression la forme ordinaire des expressions alf^ébriques imaf;[inaires ; il sullil dVcrire
nsinivosi siiiiv «^sm*/- i v - ' r = — ■ — -^ ^ — ^ — / ^ ^ - __ •
wsinicos/-i-siiu'\ /t^sin*/ — i \ - i
Puisqu'il y a là une contradiction enlre Texpérience et les conséquences déduites de la théorie, il faut que les principes sur lesquels s'appuie celte théorie aient quelque chose d'inexact, du moins dans le cas qui nous occupe. Le premier et le second principe ne sont pas attaquables et ne peuvent être en défaut. On ne peut non plus toucher au quatrième principe, qui regarde la constitution de l'éther, sans renverser toute la théorie de Fresnel, car si ce principe était inexact dans le cas d(* la réflexion totale, il devrait Fétre dans tous les autres cas.
Reste donc le troisième p/incipe, qui suppose que les changements de vitesse ont lieu brusquement à la surface de séparation, de sorte que les trois rayons incident, réiléchi et réfracté ont [)Our vitesses. au point d'incidence et au temps t,
t .ITT . /
sin "ATT .., - V sin -Y ' w sm nir q, i
«? et u ayant les mêmes valeurs au point d'incidence qu'à une distance finie de la surface de sé])aration dans les deux milieux, el alors le second ])rincipe nous donne la relation
En particulier, pour le cas <|ue nous traitons, l'amplitude u devient nulle à une petite distance de la surface de séparation dans le second milieu, et, si nous admettons que cette amplitude soit aussi nalic à la surface même, nous aurons i*=— i, c'est-à-dire que la vitesse de vibration du rayon réfléchi au point d'incidence est à chaque instant égale et de signe contraire à celle du rayon incident. Mais cette supposition, que l'amplitude u est nulle jusque sur la surface de séparation, dépasse les données de la théorie; le principe de Huyghens nous apprend seulement que le mouvement réfracté
A32 «ÉFLEMO.N ET lŒFKACTIO^N DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
cesse à une petite distance de la surface, mais rien ne prouve qu'il soit nul h la surface même. Admettons donc que le mouvement réfracté ne soit pas nui à la surface de séparation, et alors les équations que nous avons posées seront inexactes.
La vitesse du rayon réfléchi n'est plus égale à la vitesse du fayon incident , mais bien à la différence entre la vitesse du rayon incident et celle du rayon réfracté au point d'incidence. D'ailleurs, la force vive du rayon incident, qui, dans le cas général, se partage entre le rayon réfléchi et le rayon réfracté, devra, dans le cas particulier que nous examinons, revenir tout entière au rayon réfléchi, puisque le mouvement réfracté s'arrête à très-peu de distance de la surface, d'où l'on conclut que l'intensité du rayon réfléchi doit être égale à celle du rayon incident. Mais, si le rayon réfléchi et le rayon inci-
dent ont même intensité et par suite même amplitude, pour qu'an point d'incidence leurs vitesses de vibration ne soient pas égales an même moment, comme cela a lieu dans la supposition que nou; avons faite, il faut que leurs phases soient différentes, que le mouvement vibratoire, étant représenté au point d'incidence sur le ra>of
incident ])ar sin âTTr-p^ soit représenté en ce même point sur W
rayon réfléchi par sin*j7r ('T ~t) •
Dans le cas ordinaire do la réflexion, c'est le contraire qui a lirn; les amplitudes sur le rayon réfléchi et sur le rayon incident ne sont ])ns égales, mais la phase est la même sur les deux rayons au \)oivt d'incidence , et les deux mouvements vibratoires sont représentés au
j)oint d'incidence par siniîTrrj, et |)ar t;sin liTr^p* C'est de ces nouvelles données qu'il faudrait |)artir pour rendre compte des phénomènes de la réflexion totale.
323. Interprétation conjecturale de« expreMiiona M*' irinalres. — Au lieu d'aborder ainsi à nouveau l'étude de la réflexion dans le cas |)articulier de la réflexion totale et de chercher n déterminer la différence de phase entre les rayons incident et réfléch' au ])oint d'incidence, Fresnel a cherché à tirer parti des form"l<?^ obtenues [)Our le cas ordinaire de la réflexion ^^K
^•^ Aiiit. (le rhim. ot flp f/hys., (?0, XXIX , 175. — Œuvre» cûntpUlcn^ I , sôH. \j
■ THÉORIE Di: FRESNEL /i33
Dans le cas de la réflexion totale, l'aniplitude v du rayon réfléchi
prend la forme a + bs/— i . Or, dans un grand nombre de problèmes géométriques, quand on trouve sous une pareille forme la solution d'un problème dont l'énoncé a été trop restreint, on arrive à un résultat exact en interprétant cette solution de la manière suivante : les quantités a et i ne doivent pas être portées à la suite l'une de l'aulre comme si on avait h construire une ligne égale h a + b, mais on doit prendre un point 0, mener par ce point une droite quelconque sur laquelle on prend, à partir du point 0, une longueur a, puis, par le même point, une seconde droite perpendiculaire à la première, sur laquelle on prend à partir du même point 0 une
longueur égale a b, et a + b V — i représente la longueur de la ligne (|ui joint les deux points ainsi obtenus, c'est-à-dire l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont a et b sont les côtés. D'après cela le
résultat a + b\- i indique que, si on avait rectifié convenablement
les données du problème, on aurait trouvé pour solution Vfl^ + //-.
Fresnel a a|)pliqué ce mode d'interprétation à la question qui
nous occupe. Il a remarqué que, le mouvement vibratoire sur le
rayon incident étant représenté par sin îj7r»o le mouvement vibratoire sur le rayon réfléchi peut toujours être représenté par
A sin îiTr ,r, + B COS QTT rr, ^
A et B étant deux constantes. L'amplitude du rayon réfléchi est
alors égale à V A^+B*-^. D'autre part les formules générales nous conduisent, pour l'expression de cette amplitude, à une solution de la
forme « + 6v — 1 ; nous interpréterons cette solution en faisant a = A et //^B, c'est-à-dire en supposant que n-{-b\^-- i soit équivalent à vV +7^
Il n'y a là en réalité qu'une analogie avec un résultat géométrique, résultat qui lui-même n'est pas nécessaire et qui souvent ne donne aucune solution répondant à la question. En un mot ce n'est qu'une conjecture; mais nous ne devons pas moins nous assurer si elle conduit à des conséquences vérifiables par l'expérience, et si ces
conséqutMH'es sonl en effel vérifiées, auquel cas ia conjecture serai justifiée.
Commençons par mcltre l'expression (1er sous la forme //+A\ — i nous aurons
/isinicosi— sini\/n*sin*/— i \ — i
/isin/cos/H-sin/\ /ï*sin*/— i V~ * ou, en faisanl ilisparaifre le radical du dénominateur,
w-sin'/ros-/— w-sin*/-f-sin''/ — 3/isin*/cosiva*sin*/— i v — '
it* si n^ i cos" / + sin* / (w* sin* / — i )
d'oi
ou
• •wiii'i 't li i'i\u Ê % Êti^iint
n f- 1 — M/rsin=/--u/t('Osi\ /rsm'i— i \ — i
ir I
et enfin
/< - 4- 1 — 'à n^ si n- / •« Il cos i y^ w* si n* / — i
D'autre part, Texpression
\ sin *i7r rj, I B cos «^tt ,.,
peut secnn*
\ \'--rB-sin f *î7r;j;-t-arc tan{j . J
\ A--T B'- représente Tamplitude r du ra\on réfléchi et arctaiigj
est la différence de phase entre» le ravon réfléchi <»l le ravon mcidenl au poini d'incidence.
Si Ton admet que, pour avoir l'intensité du ravon réfléchi»" failh» prendre la somme des carrés de la partie réelle et du coeffici^ï^*
de V — 1 dans la partie imaginaire de l'expression de v, ce (|ui revient à rem])lacer a + h sj-- \ par \ tr + //•*, on aura pour celte int^""
site R
p __ (u--i- 1 — ^wi*sin^/)-H-.Vi^cos^/(/i^sin-/— i)
(I ou
i» iir^\ï^-k-\n> si n - / — 'i iC- (n- -h i ) si n* / /| w' cos* /
THÉORIE DE FRESNEL !i^5
;t enfin
Nous trouvons donc ainsi que l'inlensilé du rayon réfléchi est îgale à colle du rayon incident, comme le prouvent l'expérience el a théorie.
Quant à la différence de phase du rayon incident et du rayon •ëfléchi au point d'incidence, si on représente le mouvement vihra-
cire sur le rayon réfléchi par sin utt f », - t ) ' *'llo est é}jale à *?7r X • 3n a donc
i? i\ vp r.
•>7r ^ arctani;-r» unir*?~ ' k^
ou
^ uicos/ V "'siu*/— I
" A I -H /!*-•? /t* SI II*/
Telle est la formule cjue l'expérience doit vérifier quand le rayon ncident est polarisé dans le plan d'incidence.
Tout ce qui vient d'être dit peut s'appliquer au cas où le rayon
•ëfléchi est polarisé perpendiculairement au |)lan d'incid»»nce; seu-
ement il faut |)rendr<' r au lieu de r. Par un calcul analo{;;ue à
*elui que nous avons fait pour v, nous pouvons mettre c sous la
orme
siii/ cos/ — Hsiiuv 't"sin-/ — I V — ' /• -^ -; ; — /... .
sin/cos/-f /isiii/y //-sin-/ i\ — i
If//' (//'4- 1 )sin-/ •u/cos/v //-sin-/- I
(//-- ii|(//-4- nsin*/— 1 1 (//'— I )|i/r-t- nsin*/- 1 1 ^
Les quantités représentées par A et B ont donc ici pour valeur
. 1 4- //- - (/t^M- 1 )sin-/ |j •i«cosi\//i*siii^/ i
(//*- i)|(//--^-Trsin-/— I f (/«*- 1 )!(//* 4- i)sin*/—i I
L'intensité de la lumière réfléchie sera encore égale à A- + IV-. •c qui donnera, tous calculs fails. une valeur égale à Tunité.
&36 RÉFLEXION ET REKKAGTlOiN DE LA LDMIÈRË POLARISÉE.
Si l'on désigne par stt y la différence de phase entre le rayon incident et le rayon réfléchi au point d'incidence, on aura
0' Vi a/icos/\//i*sin*i- i
Ainsi, les différences de |)havse sont données, lorsque la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence , par la relation
<P 'j/icosi\/n*sin'i— 1
tanc aTT ->- ■■=-- 7^^ — i-. ^. ^
" A i-h/i- — 'i/i^sin**
et, lors(|ue celte lumière est polarisée peq)endiculaireiuent au plan d'incidence, par la relation
0' •j/tcos/\/''*sin*/— 1
tanfif »J7r < ^ ; — 7-1 — z-^—r- '
" A I -»-n*— (n*-f-i)sm*«
32/i. Polarisation elliptique ou circulaire produite par la réflciUon totale. — La difficulté qu'il y a à mesurer les différences de phase empêche de vérifier directement par l'expérience les formules que nous venons de trouver; mais elles peuvent trouver une vérification indirecte si l'on fait réfléchir totalement de la lumière polarisée dans un plan faisant avec le plan d'incidence uj angle quelconque a. Un rayon de cette lumière peut se décomposcL — en deux rayons, l'un polarisé dans le plan d'incidence et l'autn— ^ dans un plan [lerpendicuiaire. Les rayons réfléchis correspondant ^« ces deux rayons auront pour amplitude cos a et sin a , et présenteroiM t avec les rayons incidents dont ils proviennent des différences le?
phase égales respectivement à 'jTr-ret à awy • Le rayon réflécH;
résultant de la combinaison de ces deux rayons sera donc polarise elliptiquement, puisque les deux composantes rectangulaires de ce rayon sont inégaies en amplitude et ont une différence de phase.
La différence de phase entre les deux composantes du rayon refléchi est égale à ^îtt ->:--^ et nous allons chercher jï la déterminer.
Posons
tang'i7r^== ,,. tang^Ti ^ == -^-,
nous mirons
(Z) h . Cl a
cos '?.7r V '-^ ■ ^1" *Tt7r-^
et
vV-h//' ^ \a*-^h''
