POUVOIR RÉFLECTEUR TOTAL
I^moe Lampe
^^ (levanl laquell**
I »«.i.iu ^to^l un' l»oe de verre
de a"*" d e[MiMeur.
Métal des miroirs o,835 0,7^0
Argent 0.955 0,910
Platine 0790 o,655
En résumé, si la lumière incidente est naturelle, le pouvoir réflecteur des métaux décrott depuis l'incidence normale jusqu'à une incidence comprise entre 5o et 60 degrés, pour croître ensuite jusqu'à l'unité pour l'incidence rasante.
Si la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence , le
Verdit, VI. — Optiqiip physique. 3(i
55/i RÉFLEXION ET RÉFRVCTIOiN DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
pouvoir réflecteur croît depuis Tincidence normale jusqu'à rincidence rasante.
Si la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au pian d'incidence, le pouvoir réflecteur décroit depuis l'incidence normale jusqu'à une certaine incidence qui donne un minimum très-dtfl'érenl de zéro, pour crotlre ensuite jusqu'à l'incidence rasante.
C MrSURB des changements DR PHASE.
La mesure directe des changements de phase produits par la réflexion métallique sur chacune des composantes du rayon incident est très-difficile et n'a pas encore été réalisée.
380. Kxpériemces «le De SeMArat^iti. — Do Scnarmont^^^ a proposé ot essayé, pour mesurer les changements de phase, un procédé qui en réalité est inapplicable. Il se servait d'un double miroir composé de deux lames juxtaposées, l'une métallique et l'autre de verre noir, dont la ligne de jonction était horizontale. On place ce miroir à une certaine distance de l'appareil de Fresnel pour la production des franges d'interférence. Les deux faisceaux réfléchis par les miroirs de Fresnel tombent d'abord sur la lamo de verre, s'y réfléchissent et donnent des franges d'interférence ; on note la position de la frange centrale. Puis on fait arriver les faisceaux réfléchis par les miroirs de Fresnol à la fois sur la lame de métal et sur la lame de verre, en laissant l'angle d'incidence constant. Le miflal produit dans la réflexion des changements de phase sur les dem composantes du rayon réfléchi , et il en résulte un déplacement de la frange centrale. Le changement de phase que produit le verre esl connu et le déplacement de la frange» centrale fait connaître la variation que subit ce changement de phase par l'addition du métal, c'est-à-dire la différence entre le changement de phase produit par le verre et le changement de phase produit par le métal. On peut donc connaître l'effet dû au métal.
Ce procédé n'est que théorique; dans la réalité il est imprati* cable, car il suppose (|ue les deux lames sont rigoureusement dans le même plan. Or, supposons qu'cm ait réalisé cette condition : elle
t») C. W., X\IV, 3!»7. — Aun. //i» chim. H d^ phyn., (.1), X\, 897.
nÉFLEXION METALLIQUE. S55
cessera d'exisler dès (jiie les rayons viendront frapper le miroir. Il faudrait que la distance des plans des deux lames fât très-petite par
rapport à ~^ de millimètre, et on ne peut répondre d'inégalités
moindres que ~ de millimètre. Ce procédé ne peut donc servir qu'à constater le déplacement de la frange, mais non a mesurer le changement de phase.
De Senarmont a employé une autre méthode, qui n'a pas non plus donné des résultats très-précis. Il recevait sur un analyseur biréfringent la lumière polarisée elliptiquement par réflexion sur un miroir métallique, et faisait (ourner cet analyseur jusqu'à ce que les deux images fussent de même intensité. La section principale de l'analyseur se trouvait alors à 45 degrés des axes de l'ellipse. Le rapport des axes de l'ellipse se déterminait en faisant tomber la lumière polarisée elliptiquement sur une lame de mica d'un quart d'onde. Cette lumière sort de la lame polarisée rectilignement . et la tangente de Tangle que fait le plan de polarisation de la lumière transmise avec la section principale de la lame est égale au rapport des axes de l'ellipse de vibration. Connaissant la direction des axes de Tellipse et leur rapport, il en déduisait par le calcul la différence de phase, et le rapport des intensités des deux composantes du rayon réfléchi polarisées parallèlement et peqjendiculairement au plan d'incidence.
Ce procédé ne donna que des résultats peu précis, j>arce que la lame d'un quart d'onde agit d'une manière différente sur les rayons des différentes couleurs.
381. Jflétiiafie de lVeiiiii»nn« — Neumann a indiqué un procédé indépendant du rapport des intensités des deux comj)Osantes (lu rayon réfléchi. C'est un(* fonne nouvelle donnée aux expériences de Brewster sur le rétablissement de la polarisation rectiligne après un nombre m de réflexions dans le même plan et sous la même incidence. De là on peut déduire la différence de phase produite par une réflexion unique entre les deux composantes.
En effet, pour que, après m réflexions opérées sous la même incidence et dans le même plan, la polarisation rectiligne soit rétablie ,
il faut que cette différence de phase soit égaie à un nombre entier n de demi-longueurs d'ondulation, et, comme chaque réflexion produit le même changement de pliase, le changement de phase introduit par une réflexion unique sera égal à -- - •
Pour les corps transparents, la composante polarisée dans le plan d'incidence change de signe par la réflexion ; la composante polarisée perpendiculairement au plan d'incidence ne change pas de signe tant que l'angle d'incidence est inférieur à celui de la polarisation complète; mais si l'angle d'incidence est supérieur à cet angle de polarisation , elle change de signe. Lorsque l'incidence varie de zéro jusqu'à l'angle de polarisation complète, la différence de phase introduite par la réflexion entre les deux composantes est
donc -; lorsque l'incidence dépasse l'angle de polarisation complète,
cette différence change brusquement et devient égale à zéro ou à
a -1 valeur qu'elle conserve jusqu'à l'incidence de 90 degrés.
On sait que les métaux n'ont pas d'angle de polarisation complète, que la composante polarisée perpendiculairement au plan d'incidence est toujours en retard sur la composante polarisée dans ce pian; qu'enfin la différence de phase entre les deux composantes est égale
à - sous l'incidence normale et nulle sous l'incidence rasante. A ces a
deux limites la différence de phase est la même que pour les corps transparents; mais dans l'intervalle la variation de la différence de phase est continue pour les métaux, tandis qu'elle se fait brusquement pour les corps transparents.
Ceci posé, prenons une incidence qui rétablisse la polarisation rectiligne après m réflexions sous le même angle , et qui par suite
produise à chaque réflexion une différence de phase égale à --•
Cette incidence n'est pas la seule qui produise cet effet, car, puisque pour une réflexion la différence de phase varie, comme nous venons
de le voir, de - à zéro quand l'incidence varie de zéro à 90 d^prés,
ni-. 11 m— 1 X m— 2 X 2X1^
elle doit passer par les valeurs , , • . . , — 1 -■:
* ^ m2m2 mant'
en parlant de l'incidence normale, et alors les différences de phase
pour m réflexions deviennent (m~ i) -"> (m— a) -» * ' ' ' y ô'
Il y a donc, en laissant de côté l'incidence normale, m — i angles d'incidence pour lesquels la polarisation recliligne sera rétablie après m réflexions. Réciproquement , si Ton détermine à partir de la normale les m — 1 angles d'incidence pour lesquels la polarisation rec-
tiligne est rétablie, les difiérences de phase produites sous ces m— i
incidences seront respectivement
fil a m 3 ma
En choisissant convenablement m on aura donc l'angle d'incidence
qui donne une différence de phase égale à une fraction donnée de -- •
Si l'on veut, par exemple, avoir une différence de phase égale à
r de -» il faut faire réfléchir cinq fois le rayon et déterminer la
valeur du premier angle d'incidence à partir de l'incidence normale pour lequel la polarisation rectiligne se rétablit.
Pour m=3, c'est-à-dire s'il y a deux réflexions, il n'y a qu'une seule incidence qui rétablisse la polarisation rectiligne. Cette incidence correspond à une différence de phaMK égale à ^ â ^^ ^ Â *
L'expérience montre qu'elle est égale à l'angle de polarisation maximum, c'est-à-dire à l'incidence pour laquelle la composante du rayon réfléchi polarisée perpendiculairement au plan d'incidence a son intensité minimum.
On peut donc définir l'angle de polarisation maximum un angle tel , qu'il introduit entre les deux composantes du rayon réfléchi une différence de phase d'un quart de longueur d'ondulation.
382. Expérieiices de SI. ^muIii. — M. Jamin a fait des expériences sur la mesure des différences de phase introduites entre les deux composantes du rayon réfléchi par la réflexion métallique <^^
Au centre du cercle horizontal de l'appareil de M. Jamin (378) est un support pouvant tourner autour du centre dans le plan du cercle. Sur ce support deux lames du métal sur lequel on veut expérimenter sont placées vis-à-vis l'une de l'autre. Elles sont appliquées
**^ Ann, de chim. et dp phyn., (3), XIX , 5196.
ûô8 RÉFLEXION ET KÉKJtACTIO.N DE LA LUMLÈKB I>0LAK1SÉE.
avec de la cin^ sur deux iaïues de laiton parallèles ni li\éi>s vertiraleiuenl sur le sup|iort.
L'une de ces lames de lailoii esl tixc, l'aulre est mise on iiiouvcment par une vis mirrométrique qui la déplace parallèlement a elle-même, de iai;on que la dislance des deux lames puisse varier à volonté. On s'assure d'abord du parallélisme des deux lames réfli-chissantes en amenant ces lames au contact par le mouvement de la vis et en constatant <|u' elles se touchent sur toute leur étendue. Pour mesurer les incidences correspondant à des valeurs données de la différence de phase , on opère de In manière suivante : on place un polariseur sur le trajet du raton incident et un analyseur »ur h trajel du raum réfléchi. On met d'abord les deux lames à une distance assez grande pour que le rayon incident ne se réfléchisse que deux fois sur ces lames (lif>. 73), et on fait tourner le sup|>ort sur lequel sont fixées les lames jusqu'à ce qu'on trouve un angle d'incidence pour lequel la polarisation rcctiligne est rétablie ; cet angle
eorrespund, comme nous l'avons \ii. à une différence de phase égale à - entre les deux composantes dn rajon réfléchi.
Pour avoir quatre réflexions (li|;. 7^) il fnul. fi l'aide de la vis, rapprocher les deux lames jusqu'à ce que le rayon réfléchi, ayant disparu, reparaisse de nouveau. On détermine alors,, en faisant tourner graduellement le support des deux lames et en parlant df l'incidence normale, les trois angles pour lesquels la polansalion rcctiligne est rétablie. On a ainsi les Incidences correspondant à 6es
%-n-i I I •■ ,3X3A,lA .^AXa
différences de phase égales « 7 -• . et - -. ou a y /' û"
Ku faisant encore a\ancer lu larne mobile on pourra obtenir sji réflexions et déterminer les cini| angles d'incidence qui rétablIsscJil la polarisation rcctiligne. (a's rlnri angles, à partir de l'inciHcnrt
normale , correspondent à des différences de phase égales à g - ^ ^ - ^ 3XaXiX 5XXXXX
Toutes les fois que le nombre des réflexions <»st pair, le rayon réfléchi est parallèle au rayon incident sous toutes les incidences, et par conséquent on n'a pas à déplacer l'amilyseur. Il n'en est plus tie même lorsque le nombre des réflexions est impair : dans ce cas.k direction du rayon réfléchi varie avec l'incidence, et il faut déplacer l'analyseur en même temps que l'on fait tourner le support des deux lames. Remarquons d'ailleurs que la direction du rayon réfléchi varie d'un angle double de la variation de l'angle d'incidence; il suflBra donc, pour maintenir l'analyseur sur le trajet du rayon réfléchi» de lier le mouvement de cet analyseurs celui du support des deux lames, de façon qu'il tolirne d'un angle double de celui dont tourne le support.
Voici quelques-uns des résultats obtenus par M. Janiin :
DIFFéRENCES
ea fradioni de - . , . » . . » ■»•
.} Acier. Argent pwqun. Zioc.
0,9 ho'^i 37S0' 43'à7'
0,8 o8»37' 5o«37' Go'ig'
0,7 ♦ Go* 10' ^9*5'
0,6 79' 7GvVj' Ba'-io'
0,3 // 80' ao' V
o,a 8/r 8o"*oo' 86" '40'
Pour les différences de phase 0,9, 0.7, o,3, on n'a fait qu'une détermination; pour les différences de phase 0,8, 0,6, o,&, on a pris la moyenne de deux déterminations, et pour la différence de phase 0,5 on a fait cinq séries d'expériencrs avec îî, ^1, 8 et to réflexions.
Ces résultats montrent que la différence de phase introduite entre les deux composantes du rayon réfléchi par la réflexion métallique
est sensiblement constante et diffère peu de - jusqu'à une assez
grande distance de l'incidence normale. Au voisinage de l'angle de
polarisation maximum, les variations deviennent plus rapides, et à mesure qu'on se rapproche de l'incidence rasante la différence de phase tend vers zéro.
383. Inlhieiice de 1» eouleur de 1» lumière mup les différeneee de pliaiie des eemp^Miiitee du rajou wéÊÊMÊià par les métaux. — L'influence de la couleur sur la différence de phase introduite par la réflexion métallique entre les deux composantes du rayon réfléchi est beaucoup plus sensible que l'influence qu'elle exerce sur les changements d'intensité de ces deux compo* santés.
M. Jamin a déterminé, pour un assez grand nombre de métaui, les angles de polarisation maximum des différents rayons du spectre en cherchant l'incidence sous laquelle deux réflexions rétablissent la polarisation rectiligne^^^ Il est arrivé à ce résultat que les angles de polarisation maximum, comptés à partir de la normale, vont en décroissant du rouge au violet. La relation tang i=n montre que c'est précisément l'inverse pour les milieux transparents. La loi de Brewster ( 327) ne peut donc servir à mesurer l'angle de polarisation maximum à la surface des métaux.
Les variations trouvées par M. Jamin sont assez considérable». Pour les raies B et H du spectre, l'eau et le sulfure de carbone donnent les angles de polarisation maximum suivants :
EAU. SULFURB DB CABBONE.
Raie B 53*5' ôS'iy'
Raie H 53'ai' 59'34'
Pour les métaux les différences sont beaucoup plus grandes, comme le montre le tableau suivant, qui donne les angles de polarisation maximum pour les différentes couleurs :
lliTAL WttkL
coDLiuns. AkciNT. des «ciir. imc. àm conu. URW
«loch«R. miroirs.
Rouge exirêmc -jb'kb' 7r)''i6' 77*5a' 75'/i5' 76'65' # '
Rouge 75* 7/j*i5' 'jfW 76' 'j6''th' 7i'bi' 7i'3'
Jaune 7q«i5' 73"2a' 76''36' 73Vj3' 73*36' 69*3' 69*38
Bleu 68»! 1' 7o'/i7' 75'a3' 7t*/i5' 7»' efUk' 66*ii
Violet // 7o''ir 76*3' 7o'à9' 7i*a«' 66*56' 64'i6
Violet exlrémo 6.V rtp'Si' 73''i9' -jo^W 7o*4a' # '
^'^ Ann. dprhm. pt dfphyn., (3), XXII, 3i i.
38&. Emplicatl^ii de divenmi expteleiiees de Brewstero
— On peut, en partant de ce que nous venons de voir, donner l'expiication de plusieurs phénomènes se rapportant à la réflexion métallique et découverts par Brewster, qui n'était guidé par aucune théorie.
Soit a Tangle du plan de polarisation du rayon incident avec le plan d'incidence ; les amplitudes des composantes du rayon incident polarisées parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence seront cosa et sina, et les amplitudes des composantes du rayon réfléchi m cos a et n sin a. D'autre part, la différence de phase introduite entre les deux composantes par la réflexion métallique varie
de - à zéro depuis l'incidence normale jusqu'à l'incidence rasante,
et l'incidence qui est égale à l'angle de polarisation maximum donne
une différence de phase égale à -î il est donc toujours possible de
trouver deux incidences, l'une plus grande, l'autre plus petite que Tangle de polarisation maximum, qui produisent des différences de
phase dont la somme est égale à -> c'est-à-dire des différences de
phase égales à/ - et à m — /-) » /étant plus petit que l'unité.
Si l'on fait réfléchir le rayon polarisé dans l'azimut a une première fois sous l'incidence qui donne la différence de phase/ -i et une seconde fois dans le même plan sous l'incidence qui donne la différence de phase i —f-, la différence totale de phase sera - et
le rayon réfléchi sera polarisé rectilignement. Si l'on appelle /3 l'angle du plan de polarisation du rayon réfléchi deux fois avec le plan d'incidence, on a
m' et n' se rapportant à la seconde réflexion. Si l'on a
il viendra
(i) tang/3 = -(JJ tanga.
Cette dernière relation a été vérifiée par l'expérience, d'où Ton peut conclure que, sous les deux incidences telles quen se réfléchissant successivement sous Tune et sous Tautre le rayon réfléchi reprenne la polarisation rectiligne, le rapport des intensités des deux composantes du rayon réfléchi est le même.
M. Jamin a vérifié par l'expérience que les deux incidences qui donnent la polarisation rectiligne correspondent à des différences
de phase dont la somme est --•
Brewster a cherché une relation empirique entre la différence de phase et l'angle d'incidence; dans cette relation il a été conduit h introduire le rayon vecteur d'une ellipse, et ce qui est assez singulier, c'est que de là est venue Texpression de polarisation elliptique appliquée à la polarisation produite par la réflexion métallique, expression vérifiée plus tard sous l'influence d'idées plus exactes.
Une vérification assez ingénieuse est due à M. Jamin : il a cherché
quelle position du plan de polarisation du rayon incident donne
pour les vibrations du rayon réfléchi une ellipse ayant se^ axes i
&5 degrés du plan d'incidence. Â cet effet le rayon réfléchi est reju
sur un prisme biréfringent et on fait varier l'azimut dn plan de
polarisation du rayon incident jusqu'à ce que les deux images soient
égales; on u alors
m cos a ---- H siii a
„ " tang a.
C'est le moyen le plus précis de déterminer le rapport des intensités des deux composantes du rayon réfléchi sous une incidence donnée et de vérifier la relation (i) trouvée par Brewster.
11 est encore facile d'expliquer ce fait observé par Brewster, que si p réflexions rétablissent la polarisation rectiligne et si l'on fait réfléchir la lumière un nombre de fois égal à un multiple entier de />. le rayon réfléchi sera polarisé dans un plan qui se rapprochera de plus en plus du plan d'incidence à mesure que ce multiple augmentera. En effet, après/? réflexions on aura, pour l'angle du plan de
polarisation du rayon réfléchi avec le plan d'incidence ,
tang^^^±(^)'tan{îa;
après !ij? reflexions cet angle devient jS' et Ton n
tanf{/S'^±(£)"'taiig«,
et ainsi de suite. On voit que , — étairt fi^ petit qw Tuttîtë, |ie pkn
de polarisation se rapproche du plaii4*îi$<^<leiioe. Ce m^y|Mrocll0iMnt
est d'autant plus sensible que le mj^pert - est plus pitit^^'eit^À-
dire que l'angle d'incidence est |)li|« yomn de Taûgle de b polarisation maximum.
D. — Théorie ok la hbklb\io\ MKTALueiUK.
Nous allons maintenant faire connattre les tentatives faites en vue d'établir la théorie mathématique de la réflexion métallique. Ces tentatives sont dues surtout è Mac Cullagh et à Cauchy, qui n'ont ni l'un ni l'autre fait connaître leurs méthodes dans tous leurs détails. Mac Cullagh a donné les résultats qu'il a obtenus comme fournis par l'induction et par l'analogie ; il a établi deux groupes de formules, réductibles l'un à l'autre, en se fondant principalement sur l'analogie de la réflexion à la surface des métaux avec la réflexion totale.
385. Aii»l«9le de 1» réflexloii niétollique et de 1» réflexien totale» — Dans la réflexion métallique comme dans la réflexion totale, il n'y a pas de rayon réfracté, ou plutôt les rayons réfractés, quoique existant dans le second milieu, se détruisent à partir d'une distance si petite de la surface de séparation qu'ils restent inappréciables pour nos yeux.
Fresnel a prouvé expérimentalement que, pour les corps transparents, lorsqu'il y a réflexion totale, le mouvement vibratoire existe dans le second milieu jusqu'à une très-petite distance de la surface de séparation ^^). Il fait réfléchir totalement la lumière sur
^'' OEuvrei complétée ^ 1, V17, 707. — l/i/i. ilr vhim. el fie //%#., (a), XLVÏ, aa5.
D6â BÉFLEXION ET RÉFHACTlOiN DE LA LDMIÈBE POLARISÉE, la face AB d'un prisme (fig. 76) et approche peu à peu de cette Face, à l'aide d'une vis , une lame de verre CD parallèle à AB. Il voit alors la surface AB, qui en l'absence de la lame CD étail brillaote, se parsemer de taches obscures. On peut croire que ces taches sont ducs au contact des deui surfaces AB et CD qui ne seraient pas bien planes; mais il n'en est rien, car.
si on incline moins le rayon incident, on voit bientôt, à la place de ces taches obscures, apparattre des lâches colorées qui permettent de calculer l'épaisseur de la lame d'air interposée entre les Fig. 75. deux lames en ces points. Il fanl
donc qu'il y ait un mouvement vibratoire entre les deux lames aui points où l'on voit les taches colorées; il y a en ces points un rayon réfracté, du moins jusqu'à une très-petite distance de la surface, et par suite l'intensité du rayon réfléchi se trouve diminuée, ce qui explique pourquoi la surface AB paraît moins brillante en ces points.
La même chose a lieu pour les métaux, car sous de très^etites épaisseurs ils laissent passer sensiblement la lumière , et l'on est autorisé à assimiler la réflexion métallique à la réflexion totale sur les corps transjiarents.
386. Pr«Milér«a faraMUles de RIhc CuUach. — Fresnel t déduit le cas de la réflexion totale à la .surface des corps transparents du cas où le rayon réfracté existe , en interprétant la forme ioHginaire que prend alors l'amplitude du rayon réfléchi.
Si celte forme est n + è \/~ ' ' Fresnel admet que l'amphtude Jd rayon réfléchi est \/a^+b'' et que , si on désigne par air ? la différence de phase entre le rayon réfléchi et le rayon incident au poiol d'incidence , cette différence est donnée par la relation
tang97.^ = --
De là Mac Cullagh^'^ conclut que si, dans les formules de Fresnel sur la réfraction de la lumière, on met l'expression de Tamplilude du rayon réfracté sous une forme imaginaire semblable, dans laquelle entreront certaines quantités indéterminées, et si on peut ensuite fixer la valeur de ces quantités par une interprétation analogue à celle dont Fresnel s'est servi pour la réflexion totale, on trouvera probablement des résultats concordant avec l'expérience.
Il prit, pour représenter le sinus de l'angle de réfraction dans le cas de la réflexion métallique, une expression imaginaire de la forme
i) smr==-^(cosj^+V-i sï^X)»
en n'attribuant aucun sens aux quantités m et.;^, qui sont alors des indéterminées. 11 choisit cette forme de préférence à toute autre pour avoir une forme analogue à celle de la fonction qui représente Tangle de réfraction dans les milieux transparents, fonction qui est
sini
smr =
et qui peut s'écrire
sin V = ^^^^ (cos^x + s'"^ x)'
sin i
Gomme on a toujours, même lorsque l'angle r est imaginaire, cos^r+sin^r= i, on en conclut que, dans la réflexion métallique, cosr est aussi imaginaire, et Ton pose
a) cosr = -^(cosx 4-\/- i smx).
Dans le cas oii la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, la théorie de Fresnel donne, pour l'amplitude v du rayon
réfléchi, l'expression
sin (i—r)
8ni(t-4-r)
qu'on peut écrire
sin I cos r — sin r cos i
suH cos r -4- sm r cos i
(») Proeeed. o/ïr. Acari, I, ù, top; II, 875. — Ir. Trant.y XXVIII, pari. 1.
7)66 RKFLFAION ET llÉFRACTION I)K lA r.lIMIÈRK POLARISKK. ou bien
cos/* sinr
cos I sin f
cos /• sin /•
ros / sin /
sin /' cos / En remplaçant, dans le cas de la réflexion métallique,-:— et ^^.
par leurs valeurs imaginaires (i) et (9), il vient
-*^, (casx'4-V- » sinx) - -]^ (rosx-^v " » si»ix)
d'oij
(m'cosx— 'wcosx')-+-V— * (m sinx— y^>^inx') (m'cosx^-'"cosx')-+-V— * (^w sinx-^wisinx')
En multipliant les deux termes de la fraction qui forme le second membre par la différence des termes du dénominateur, on a
m'— «r H- 2 mm 8m(X"X)V~ *
ni'-i-m'*-i-!iw/m'cos(x X^
Cette expression est de la forme a + b\—-i. En Tinterprélanl
comme dans le cas de la réflexion totale et en désignant par R Tin-
S tensité du rayon réfléchi, par 27rr la différence de phase du rayon
réfléchi avec le rayon incident , on a
., ('" *~ m*)*-4-/im*m ^sin*(x— X. ^
\ni*-h m'*^- imm' cosIy — y' )1*
[m* -h m'*^- imm' n)s(x— X ^]'
et
S 'xmni'^ni y- Y ) tanfî aTT ^ = ,. ^. ^ •
o A ni-- m-
En simplifiant l'expression de R, on trouve
^ m^4-m^H-'im*m ^-- 'im*'H'^cos*(x— X^
[»<'^- n/'-f- 2 mm cos (x-X^l*
(m^-f-m'')^— /im'm'*cos*(x— X )
[m*-4-/ï*'*H-2mm'cos(x— X )]* |m'*-hm'^-+-'imm'cos(x— X )] [wi*H-m'*— amm'cosix- x ■
[m*-^m'*-H2mm'cos(x— X )]*
RÉFLEMON MKTALLIOIJE. 567
et enfin
m*-i- m ' -h n mm' cos(;^—;t')
Il reste à déterminer les valeurs des quantités m, m. X' X • l^'î^près la relation
sin^ r + cos- r =^ i ,
m! et X sont des fonctions de m et de x\ cherchons d'abord quelles sont ces fonctions. En élevant au carré les valeurs de sin r et de cosr et en les ajoutant, on obtient l'équation
sin*i cos* I , /sin*i . cos* i .
d'où l'on tire les deux équations
sin* I , cos* / ;
— r cos 9 Y H 7T- cos 9 y ~ t •
cinz I cos /
r ^î"**X + ^n^ sin^x'^o,
OU
m'*^ sin^ î cos ^X'^ ^^^ ^^"^ * ^^^ ^X "^ '"^ '"^' m'^ sin^ I* sin 9^ + m^ cos^ / sin ^x -^ o .
On déduit de là
sin ^x ^= - -^ tang*^ i sin -j^
et
m'*(m*- sin* t cos 1 y)
cos 2 Y =^ ; — r
'^ m*cos*i
et par suite
sin*/8inax
o X m- — sin* /cos ax
On a également y en remarquant que
sin^ 'XX + ^^^ ^X ^^ * •
III k
1 »= — j — :-. (m^ + sin* t — îim^ sin^ t cos a y) /w* cos* / V ' ^^
et
,a nr cos^ I
\ //< * -h si n * / ~ a m* si n* / cos a ^
En posant
D* = m* + sin* I — am^ sin^ t cos a;^,
il vient
/n /?i* cos* i
S d'autre part, l'expression de tang qttt contient le facteur sin(x— xOî
il faut donc calculer sin(x— x) ®^ fonction de x« On a
sin'isinax
, f. iaLUg^x—iàtig^x' *D X m*— sin*ico8ax
6 \X~"X; ~" i-j taneaYtaneaY' , sin*isinay
d'où
I ,x siii 2;(,(m*— sin* /cos ax) -^sin'i'sin ax^os ay
S vX~'Xj cosaxC'n'— sin^icosax)— sin*isin*ax
/ ,v m'sinax
o^\^"X) m^cosax— sin'i
et
/ ,. m'sinav m*sinax
sm 9 (x — X ) = "^ — rS"^'
^ ' wni*-i-sin*i — am*sin*ico8aY ^
En remplaçant, dans l'expression de l'intensité R, m' par sa valeur,
on a
, ,cos*i , cosicos(x— x)
ou enfin
et
, ,co8>i , ,cosicos(x— xV
P [yH-cos*!— aDcosicos(x—X) lV-4-cos*i-haDcosicos(x-x')
S aDcosisin(Y—x')
D et X— X ^^^^^^ ^^s fonctions connues de m et de x-
Pour le cas où la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, les calculs se font comme dans le cas précédent. En désignant par v' l'amplitude du rayon réfléchi, la théorie de Fresnel donne
, tang(t-r) tang(i-hr)
KKFLKXlON MÉTALIJQIIK. 569
foîi l'on .déduit
siiiîi/-
sinrcosr
sinai-
si 11 icosi
sina/-+
-sîniir
sinrcosr
sni 1 ros i
s!, en reniplaçtint sinr ni ces r par Inurs valeurs Imaginaires,
* - ::^' [cos(x-4-x)^-\^^sin ix-^x')]
mm
* ~^ .tt:? [cos(x-^x')-^v'"- * ^»" (x^-x'il
mm
ou
, mm'-cos(x-4-x')-\/- i sin(x-hx')
mm'-i-cos(x-HxVv^- > ^'"^X-+-X) En multipliant les deux termes du second membre par
mm' + ces (x - x ) — V'^ sin (x + X ) ♦ il vient
, m* m'*— 1 — 3mm' sin (x-^-X)V~ *
m*m'*-h 1 -h 3mm'ros(x-i-X )
On déduit de là, en désignant par R' l'intensité du rayon réfléchi,
j,, (m^m*— i)*-4-4m*m'*siu*(x^-X )
[m'' m* -h ï -h a mm' ros (x^-x)l'
m^m'*-^ 1 - 2 mm' cos(x-+-X)
m^m'*-h 1 -+-2mm'cos(x-»-xV
et pour la différence de phase,
S' îimm'sin(Y4-y')
En remplaçant m' par sa valeur et en donnant h D la même signiication que dans le cas précédent, on a
m*cos*i a m* 005 « ,
ly + » + — fr *^*(x+x ) d'où
p, m*cos*f -^-ly— aPm'cosi cos (X-^X )
m* cos* / -h D* 4- 2 Dm* cos i cos (X"»" x') * Ybedit, VI. — Optique, U. 37
570 RKFLKXION CT RKFKACTION 1)K LA LUMIÈRK POLARISÉE. Quant il la difforenco de phase, elle esl donnée par la relation
S' !il)m*(*os/sin(;^-+-Y')
En résumé on a, pour le cas de la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence.
.. I y -KM »s* / — 2 1 ) cos i ros (x ~ X^
I V -+- cos' i-h ;! t ) cos K*os (x — x' > '
S 2l)cos/sin(Y — y ) lane -itt r , ^t ^
et pour le cas où la lumière esl polarisée peii)endiculairenient au plan d'incidence.'
1^, m'cos*f-hiy- •iDm*rosicos(XH-x ^
/;* ^ cos* / -H t )* -h a Dm* cos I cos (x H- X • '
S' ul)m*cosisiu(Y-+-Y')
" A m^cos*! \y
Dans ces expressions. I) et x' sont donnés en fonction de m et d«>x par les relations
I) * — m' -f- sin* / !«m*^ sin*- i cos «jx ^
m* sin nx
smoix Xj
Telles sont les premières formules de Mac (iullaf][li. Celles qui donnent les intensités des rayons réfléchis coïncident avec les fo^ mules de Cauchv : mais il n'en est pas de même des formules relatives aux différences de phase.
387. Slmpllflcatl^ii dM ffpraiulM précédentM pMr l« emm de te rélle&l^ii métolllque. — Les formules trouvées psf Mac Gullagh peuvent se simplifier notablement dans le cas où h réflexion a lieu sur une surface métallique. 11 est facile de prouver que pour les métaux la quantité m doit avoir une valeur tthgrande. En effet, sous l'incidence normale on a i «= o, et par suite
1)2 = in^
RÉFLFAION MÉTAI-MO'ÎK. 571
If ^ OU
En portant ces valeurs dans l\ oX R'. on voit que ces deux intensités ont une valeur commune, qui est
m* H- 1 - amcosx m*-hn-amcosx
D'ailleurs, Texpérience montre que sous Tincidence normale le pouvoir réflecteur des métaux est très-voisin de l'unité ; le terme amcosx doit donc ôtre petit par rapport à im^+ i, ou iw petit par rapport à m^, c'est-à-dire que m doit être grand en valeur absolue.
De là résulte que x' doit être très-petit, car, en remplaçant sinV et cos^r par leurs valeurs dans l'équation
sin^ r + cos^ r = i .
nous avons trouvé (386) les deux équations
sin*/ , cos*i ,
rsm ÏÎX + — TTsmax — o.
Les deux premiers termes de ces deux équations sont très-petits
