COS I
de l'unité et -jj^r sin ax' doit être très-petit. La deuxième condition
exige que m'^ soit très-grand ou sin qx' très-petit, mais la première n*est pas satisfaite si m'' est grand; donc sin ax' ^^t très-petit, et il en est de même de x'* Si l'on néglige x', on a
cos I
cosr = — r-' m
572 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POURISÉE. (1*011 l'on tire
, cos l
cos /'
En remplaçant m par cette valeur dans les expressions des intensités et des changements de phase on a, pour le cas où la lumière est polarisée dans le plan d'incidence,
, , cos* i cos i
m* H ; am cos y
P cos*r cosr ^
. . cos* I , cos I
/)»• H + 2/n cos Y
cos*r cosr ^
cos i .
c» 2 m sm Y
— in
cos*r
et, pour le ras où la lumière est polarisée perpendiculairement à ce plan,
. cos* i , cos i
m* — r— + 1 — 2wi cos Y
n, cos*r cosr ^
. cos* I , cos I
m* — r-4- i-+-2m cos Y
cos r cosr ^
cos i .
^, am sm Y
d cosr '^
tane 97r t-= r-r
" A . cos* I
cos* r
Ces dernières formules ont été données en second lieu par Mac dullagh» et ce sont celles qui lui parurent les plus probables.
On peut du reste retrouver ces formules par un autre genre d'induction , moins mathématique , mais de même valeur que le précédent, et qui est dû également à Mac GuUagh. Cette induction consiste à chercher comment il serait le plus simple de modifier les formules relatives aux corps transparents , de manière à donner une signification plus étendue aux coefficients qui y entrent et à les rendre propres à expliquer les phénomènes de la réflexion métallique.
Dans le cas des corps transparents, si la lumière est polarisée
RÉFLKMON MÉTALLIQUE. 573
dans le plan d*incidence. on a pour l'intensité R du rayon réfléchi
o (sirij cos r — cos i si n ry
(sin i cos TH- cos i sin r)» '
d*où, en développant et en divisant par sin^ rco»*^ r,
siiijj cos* I siii / cos I \*r cos'
snvr cos'r snircosr
Sin* / . cos* £
— - - , - sni i cos /
— -4- -^ ji .^__
siii*r cos*/- sin r cos r
On a
el en [>osant
il vient
sni (
sni r '
cos ( ^
cos /' ^
On trouve de même, pour le cas où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence,
~~n*^*-hH-2w^*
L'induction de Mac (iuUagh consiste à supposer que pour les métaux les coefficients de ^ et de <p ont des valeurs différentes de n^ et de n. Soient M'^ et N ces coefficients ; Mac (Jullagh sup|)ose que leur rapport est encore égal à n, c'est-à-dire que l'on a
Le cas des corps transparents ne ser»plus alors qu'un cas particulier, celui où M = N. Les intensités R el R' prennent la forme
^, M'g'-n-aN(g ^ M*^-f- 1 -h aN^ '
574 RÉl'LEMO.N KT UKKKACTIOiN DE LA LUMIÈRE POLAIUSÉE. L'expression de R peut se mettre sous la forme
cil multipliant les deux termes de la fraction par le dénominateur. En ajoutant et retranchant au numérateur le terme &M'^*^. on arrive à l'expression
Si l'on suppose M-^N*-^, R est la somme de deux carrés, et par suite peut être considéré comme provenant d'une expression de la
forme a + b\/—i interj>rétée h la manière de Fresnel, c'est-à-dire (|ue R serait égal ê'i a' + b- et que la différence de phase serait donnée par la relation
S h tangriTTj^^^^.
D'ailleurs, puisque M- est plus grand que N^ on peut écrire
[\ =-M cosx*
el 1\ devient alors
Pour la ditlerence de phase on a
S uMCsinv
On trouve de même, pour le cas oii la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence,
y.f ^ M'^--h i - QiM^cosx ^^ W^+ 1 -f- aM(p cosx'
S' sM^siiiy
(les formules sont tout à fait identiques à celles (|ui ont été trouvées plus haut.
On peut en déduire facilement l'expression de la différence do
RÉFLEAlOiN MÉTALLIQLE. ; 575
)hase des deux composantes du rayon réfléchi polarisées paraiièenient vi perpendiculairement au plan d'incidence. Ou a en eftet
'i\l^sin;^ 'i.\l(^sin;^
ou
, S^l aM^sinx(M'+i)((p'-i) .;
Ces formules avaient d'abord été déduites ^mp ||f|p (iu%fril^ié^/ béorie qu'il n'a pas fait connaître. On peut Qfypftl^bUlt W^WltWttfe ;e travail d'après quelques indications que ^yt|li|P | QMMMnRÉlé' Mac Cullagh admettait qu'à la surface des iq^tUK t| iHDllàfi ffraclée est absorbée à une très-petite profond||||(| fi| qqi^ WHfimi* ;e fait mathématiquement il donnait pour expfmjjgg §|| 9}Q|1¥9SI)I^
vibratoire du rayon réfracté le produit de sin '4f(Bl|ij|f Dj^ft MM9SR~
ielle à exposant négatif très-grand, proportiorlMwà 4«i^tiinee-à-fa. iurface. Il admettait aussi le principe des forces vives; quant au principe de la continuité, il le restreignait, sans expliquer pourquoi, )ux composantes du mouvement vibratoire parallèles à la surface de >é{)aralion , ce qui était contraire à sa théorie des corps transparents. Mais ce qui l'a surtout empêché de publier sa théorie de la réflexion nétallique, ce sont les diiTicultés qu'il a rencontrées pour expliquer es propriétés du diamant; il aurait fallu lui attribuer un pouvoir ibsorbaht considérable pour rendre compte de l'analogie qu'il prélente avec les métaux.
388. Théerle de Cauchy* — E&tensioii du principe de MMtiiiuité. — Gauchy-*^ a, de son côté, donné des formules lui pour la plupart s'accordent avec celles de Mac Cullagh. Il n'a pas publié sa théorie, mais il en a fait connaître les principes, et cela mffit pour retrouver ses résultats dans tous les ras où ces principes s'appliquent directement.
0) C. /?., I!,à97; ¥111,553,658; IX, 727; \\VI, 86. — Jom»-,i. r/r /./o«r///e, VII. 538. — /««r, VII, 1^5, 162, jar).
576 RÉFLEXION ET HÉPR ACTIO.N DE LA LUMIÈRE 1f>LARlSÉE.
Le princi|ie sur lequel repose la théorie de Gauchy est celui de la continuité du mouvement, auquel il a donné plus d'evtensioo que Presnel. Fresnel et Mac Cullagh définissaient la continuité en admettant que deux molécules placées de |)art et d'autre de la surface de séparation à une distance infiniment petite ont des vitesses de vibration qui ne diffèrent que de quantités infiniment petites. Caurhy a développé ce principe de la manière suivante : considérons, tout '" e normale à la surface de séparation SS'(fig. 76), et ù un instant donné, les molécules les plus voisines de cette normale, et menons des ordonnées perpendiculaires à cette normale et proportionnelles aux composantes d«s vitesses suivant la normale; la courbe ainsi déterminée sera une courbe sinusoïde. Deui molécules qui sont à une distaoee infiniment petite l'une de l'autre ne peuvent avoir des vitesses dont les composantes parallèles à la normale diffèrent de quantités de mén» ordre que ces vitesses, car il en résultprail des forces infinies par rapport à celles qui font mouvoir tes molécul«, et ces forces détruiraient cet excès de vitesse ; mais ces vitesses composantes ne peuvent pas non plus être rigoureusement égales, m alors le mouvement vibratoire ne pourrait plus se propager. Les composantes des vitesses de deux molécules infiniment voisines diffèrent donc, mais de quantités infiniment petites par rapport k ces vitesses. Il doit en être de même pour deux molécules m et m' infiniment voisines .situées de part et d'autre de la surface de séparation dans les deux milieux , c'est-à-dire que la courbe ne doit présenter aucune discontinuité au point oi^ elle traverse la surface.
Cauchy va plus loin : pour lui il y a différence infiniment petite non -seulement entre les composantes des vitesses Je deux molécules infiniment voisines, mais encore entre les dérivées de ces compo* santés, ou, ce qui revient au m'orne, entre les composantes des forces paraHèles à une direction donnée. Car, s'il en était autrementces forces varieraient de quantités Unies en passant d'une molécule î'i une autre molécule infiniment voisine, ce qui est impossible.
RÉKLKMON MÉTALLIQUE. 577
On a donc deu\ «•([uations pour exprimer la continuité du mouvement vibratuire suivant la normale, et, pour exprimer que le principe est complètement vrai. Il faudra encore poser des l'quationï scmblables pour deux autres aves perpendiculaires au premier, c'est-à-dire parallèles A la surface de séparalîon et perpendiculaires entre eux.
