I -h su
»ni / cos/\2 y* lin/' (OS// (*os'/
ou
2 sin*(i — r)-f-y*sin*/'
sîn*(i-»-r)-Hy*sin*r'
et nous avons trouvé, pour déterminer la différence de phase, Té-
quation
è 2>CQsism^r
tang 5i7r 5^ - — sin(i-4-r)sin(i~r)-4-y*8iiiV *
391 . CoBiparAis«ii des foraiules de CMiehj Avee eelles de llae C^u11m»I>« — Il est naturel de supposer que le rayon réfracté dans le métal se comporte comme dans les milieux transparents, c'est-à-dire que le rapport -j— est constant. Si Ton suppose que -^ soit aussi une quantité constante, on pourra poser
;t— = McosJ/, -:^ = Msin4/,
sm r ^ ' cos r ^ '
584 RÉFLEXION KT RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉK. M et ^ étant deux constantes qui sont déterminées par les équations
sinV/' y*
sin*/' cos*r "^ siiu'cosr
Si, dans l'expression déduite de la théorie de Cauchy |>our l'intensité de la lumière réfléchie lorsque la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, on multiplie les deux termes par
cos / , , sin i . y i i , »
qu on remplace ;: — ; et — ^— par leurs valeurs, et qu on |)0S(*
cos /
rosi cos/- ^
celle expression devient
o (fjt- Mcos\[/)-4-\Psin*\{/ M'-t-fjt*— 2fjtMcos>[/ (|Ex-»-\lcos>[/)^-i-M*sin*\|/ ~ M*-i-|i*H-2jEjtMcos>f/'
On retrouve ainsi la dernière formule de Mac GuUagh, qui est
M^-h(P'-h3M^cosx^
les lettres seules sont changées : fx au lieu de ^ et >)/ au lieu de x- On peut aussi retrouver les premières formules de Mac Cullagh
en donnant à -: — ^ et à y d'autres valeurs. La première formule de
Mac Guilagh pour l'intensité de la lumière réfléchie , lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence, est
p iy-f-cos*t— 2Dcostcos(x— X) D*-*-cos'«-i-2Dcos/cos(x— X) *
Elle s'applique aux corps transparents comme aux métaux.
La formule déduite de la théorie de Cauchy pour la même intensité peut s'écrire en multipliant les deux termes du second membre
par cos^ t ,
.. . sm*i . smicosicosr
008*1+ -r-r- cos* r— 2 ; hV*
« sm*r sinr ^
,. , sin*« , sinicosicosr
cos*i4--r-7- cos*r-f-a -. hy*
8m*r sinr ^
RÉFLEXION MÉTALI.rOCK. 585
Pour faire coïncider ces deux formules, il faut poser
1)2 ^ V--- cos*^ r + y^.
I) ros ( Y — Y ) ^ -: — cas r.
On a d'aiHenrs (386)
Pt
D ^A A»/ m* cas u;^— SI 11*/
On peut déterminer*-; — ^.el y en fonction de ;^ et de wi, car y^ — x
Rst une fonction de y^. On trouve ainsi pour ces quantités des valeur? réelles. Il est donc possible de faire coïncider la formule de Cauchy avec celle de Mac Ciillagli, mais ce n'est qu'au moyen d'une hypothèse dont on ne voit pas la signification physique. Il est probable :jue (lauchy a fait une hypothèse de ce genre, car la formule qu'il a lonnée comme résultant de la théorie est de même forme que la première formule de Mac CuUagh.
On peut également faire coïncider les formules qui donnent la Jifférence de phase.
La formule de (lauchy est, dans le cas où la lumière est polfirisée ians le plan d'incidence,
S uycosisin*/'
lanff ^TT ^ = — T—p — /. ,. — ; — , . ^ 1 " A sin(/4-r)sin(i — r)4-y'sin*r
et celle de Mac Clullagh,
Or on a
•> î^in (x - x) = y D- - ^. cos'^ r - vV =" 7'
- = -:— r cos- r + y^.
En substituait ces valeurs dans la formule de Mac (lullagh, elle
Verdrt, VI. — Optique, II. 38
586 RÉFLEXION ET REFRACTION DE \A LUMIERE POLARISEE, devient
S aycosi iaiiff 9.n^ = (—r--
cos* i — r-T- cos*r— y siii*r '
aycosism'r
ros*/siii*r— sin'/cos*/'— y^sin*/
aycosisin*/si n (/ -h r) sin (/ — r) h- y- si ii* r
sini sinr
La difficulté de déterminer pour les métaux les quantités
et y tient à ce que l'énorme proportion de lumière absorbée ne permet pas d'appliquer aux métaux le raisonnement qui conduit à la loi des sinus. De plus, les métaux étant polis à la surface, leur densité n'est plus la même parallèlement et perpendiculairement à la surface, et il doit en être de même pour la densité de l'éther qu'ils contiennent. La même chose a lieu dans les corps transparents; mais pour ces corps l'épaisseur ou l'homogénéité n'existe pas ou est insignifiante par rapport au chemin que parcourt la lumière dans le milieu, tandis que pour tes métaux ces deux quantités sont comparables.
Dans le cas de l'incidence normale, on a
hl .
désignons celte valeur de y par g, de façon qu'on ait
hl
'XTt
et substituons dans les deux équations qui font coïncider les formules de Mac Culiagh avec celles de Cauchy. nous aurons
(f?) Dcos;^=^n;
car pour l'incidence normale x ^^^ ""' <'t X" X ^X (•^^^)''^^ '^ relation
r)9 m^sinax sin2(x-x')
RÉFLEXION MÉTALLIQliE. 587
on tire pour Tincidence normale
et par suite, en tenant compte des équations (i) et (a),
m cos X = " »
?wsinx^/r-
On voit donc que cela revient à poser que le roefflcienl d'absorption est égal h m sin^, ^t fîndice de réfraction h mcos^, sous l'incidence normale.
Dans le cas où la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au pian d'incidence, la question se complique davantage à cause de la difficulté d'appliquer le principe de continuité. D'ailleurs la formule donnée par Cauchy, pour l'intensité de la lumière réfléchie dans ce cas, est identique à la première formule de Mac (lullagh, qui est
n, m^ cos* < 4- D* — aPm'^ cos i cos (x -t- X )
"^ m^cos^i-hn^-haDm^cosicosCx-^-X)
Cauchy n'a donné, ni pour la lumière polarisée dans le plan d'incidence, ni pour la lumière polarisée perpendiculairement ù ce plan , les valeurs de la différence de phase introduites par la réflexion ; mais il a publié une formule qui représente la différence de phase entre les deux composantes du rayon réfléchi, polarisées l'une parallèlement, l'autre perpendiculaii*ement au plan d'incidence.
Cette formule est
tang 37r j- = tang îiûi sin (x — X )•
où Tangle « est déterminé par l'équation
D cos /
«ang4) „.„,;
sin' /
On conclut de là
aDcosisin*!
tanfî Qw = -i—c- — ïM — r^
et
1 QDcos/sin'isin (x — X )
o X sin*i — 1>C05**
Celte formule ne coïncide pas avec celle qu'on déduit des prpmières formules de Mac Cu11h{][1i qui sont
S tiDcos/sin (y — Y i
" A D- — rosM
S' aDm* cos / sin (y -+- y)
Lorsque le coefficient m est très-grand, comme cela arrive pour les métaux (387), la formule de Cauchy coïncide à peu près aver celle qu'on déduit des formules de Mac (lullagh. En effet on a
D^ = \/m'^ -\- sin^ 1 — fum^ sin t cos x^
et, si m est très-grand, on peut, 'sans commettre une grande erreur, prendre D^ égal à w^.
De nnlme on voit par la formule
/ ,x m* sin 2 Y
tang ti ( Y — Y ) == — i ^^r-T-.
o VA. A. / m cos 2 ;(^— sur/
que X X ^^^^ ^^^^ approximativement égal à ^ quand w est fr^^ grand, et ^ approximativement nul.
Avec ce degré d'approximation la formule de (lauchy devient
1 2810^ /sin Y 'jsin f tans/sin Y tanrr !î7r >- = r^ ^ — — -^ •
ang
m cos { m
Les formules de Mac Cullagh deviennent
S ur.osisinY . S' 2 sin y
d'où
2sin X acos/ sin ^
S -S' m cos/ m 2m sin* /sin Y tang r)7r —- — = r-; .-—5 — —-r-j ^^
ou a|)pro\imativement
J — J' 2sîn / lang /sin y lang 97r — >-— ■■--■ -^
formule identique ;V celle Je Caucbv.
E. — VÉRIF1CATI0>!> K\PËRIME>ITALES des formules THEORIQUES.
