I TT

AV

lj5r»2f (P(rj + 4'(r)-

Ax«

Nous obtenons donc pour V* une expression de la forme

c'esl-à-dire une série ordonnée suivant les puissances croissantes de yi» les coefTicients a, b,c, d,. . . étant des constantes qui ne dépendent que de la constitution du milieu. Les valeurs de ces constantes, qui sont

montrent qu'elles décroissent très-rapidement, car Ax est une quantité qui reste toujours très-petite : si donc la longueur d'ondulation n'est pas excessivement petite, si elle dépasse une certaine valeur que l'expérience seule pourra assigner, les termes du second membre de Téquation (lo) auront aussi des valeurs très-rapidement décroissantes, et on obtiendra une expression très-approchée de V^en ne conservant que les premiers de ces termes. 11 résulte de là que a doit toujours élre positif; de plus, comme l'expérience montre que les rayons les plus réfrangibles sont ceux qui ont la plus petite longueur d'ondulation, et que, par suite, V décroît avec X, il faut que le coedicient b du second terme soit négatif.

166. Ia dispersion o*exl0te pas dans le wide. — Pour pouvoir comparer à l'expérience l'expression que nous venons do trouver pour la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu isotrope , il est nécessaire d'en déduire une formule donnant l'indice de réfraction de ce milieu par rapport au vide en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide, et, à cet effet, il est indispensable de savoir si dans le vide, comme dans les milieux pondérables, la vitesse de propagation des rayons lumineux dépend de leur couleur.

Le phénomène de l'aberration paraît, au premier abord, propre à décider la question : si, en effet, les rayons de différentes couleurs se propageaient dans le vide avec des vitesses différentes, comme l'angle d'aberration dépend du rapport qui existe entre la vitesse de la lumière et celle de la terre, les étoiles apparaîtraient sous forme de petits spectres colorés, ce qui n'a pas lieu; mais cette remarque n'a rien de décisif, car de petites différences entre les vitesses des rayons de différentes couleurs ne produiraient pas de coloration sensible.

Newton imagina une méthode plus précise pour reconnaître si la dispersion existe dans le vide : dans une lettre adressée à Flamsteed, il engage cet astronome à observer attentivement les immersions et les émersions des satellites de Jupiter et à chercher si ces phénomènes sont accompagnés de coloration. En effet, si dans le vide, comme dans les milieux pondérables, la vitesse de propagation n'était pas la même pour les rayons de différentes couleurs, et si cette vitesse était d'autant plus grande que les rayons sont moins réfrangibles, au moment de l'immersion les rayons rouges cesseraient de nous arriver avant les rayons violets, et le satellite, avant de disparaître, devrait prendre successivement une série de teintes passant du blanc au bleu et au violet; au moment de l'émersion, au contraire, les rayons rouges nous arriveraient avant les autres, et le satellite, au moment de sa réapparition, devrait être coloré en rouge et passer ensuite au blanc par l'addition successive des couleurs prismatiques. Flamsteed n'observa rien de semblable, et lorsque, cinquante ans plus tard, Melville^'^ et Courtivron ^^^ appelèrent de nouveau l'at-

^'J Eê$ay» and Ohsrrrnlvm» ^ (. If, p. in. ^^' Traité </' (^phtfiip , Pa ri s , 1 7 .5 u .

THÉORIE DE CALCIIY. 15

teniion des astronomes sur celle question, les résultais furent encore négatifs.

Arago eut l'idée de substituer à l'observation des immersions et des émersions des satellites de Jupiter, observation que le faible éclat de ces astres par rapport à la planète et la courte durée du phénomène rendent nécessairement peu exacte, celle des éclipses de soleil produites à la surface de Jupiter par ses satellites. Dans celle méthode, au lieu de chercher à reconnaître les changements de coloration d'un astre très-peu brillant, on compare la teinte de la tache obscure qui se projette sur le disque de la planète à celle du reste de ce disque; les conditions sont donc beaucoup plus favorables; néanmoins Arago ne put apercevoir aucune coloration du cône d'ombre au commencement ou à la fin de l'éclipsé.

La lumière n'employant qu'un temps très-court pour venir de Jupiter à la terre, de petites différences entre les vitesses de propagation des rayons de différentes couleurs pourraient passer inaperçues; aussi, pour démontrer que tous les rayons lumineux se propagent dans le vide avec des vitesses rigoureusement égales ou du moins ne différant que de quantités bien au-dessous de celles que nous pouvons mesurer, Arago eut-il recours à l'observation des étoiles changeantes. L'éclat de certaines de ces étoiles varie très-rapidement : c'est ce qui a lieu pour Algol^ qui passe en trois heures et demie de la seconde à la quatrième grandeur. Quelle que soit la cause qui produit ces changements d'intensité, qu'ils soient dus ù un mouvement de rotation de l'étoile ou à l'interposition d'un satellite opaque, ils seraient accompagnés de changements de coloration si les rayons de différentes couleurs employaient des temps inégaux pour parcourir la distance qui sépare l'étoile de la terre : l'aslre prendrait une teinte violette au moment oii son éclat s'affaiblit, une teinte rouge lorsqu'il devient plus brillant. L'étoile Algol ne présente aucune trace de ces variations de teinte; or, sa parallaxe étant inférieure à une seconde, la lumière met au moins quatre ans pour venir de cet astre jusqu'à nous, et, par conséquent, si les vitesses de propagation des rayons rouges et des rayons violets différaient d'une

quantité égale à tô^ ^'® '^"^ valeur, les temps employés par ces rayons pour franchir la distance qui existe entre Téloile et la terre

(lifféreraiciil au moins d'un quarl d'heure, et la coloration au moment où s'opère l(» chanjfemenl d'éclat serait très-sensible. Cependant, pour tirer de là une conclusion entièrement légitime, il est nécessaire de répéter l'observation à différentes époques de l'année; car il pourrait se faire, par suite d'une coïncidente fortuite, que les rayons violets envoyés par l'étoile au moment oii elle s'éteint arrivassent à la terre en même temps (jue les rayons rouges qui partent de l'étoile au moment de la réapparition suivante, ce qui, malgré l'inégalité des vitesses de ces deux espèces de rayons, empêcherait la coloration de se montrer; mais cette coïncidence ne pourrait exister (jue pour une position particulière de la terre, et, si les vitesses des rayons de différentes couleurs étaient réellement inégales, la coloration serait visible pour toute autre position.

L'observation des étoiles changcîantes ayant montré que les variations d'intensité de ces astres ne sont pas accompagnées de colorations passant régulièrement du blanc au violet et du rouge au blanc, on peut regarder comme un fait d'expérience que dans le vide les vitesses de propagation des rayons de différentes couleurs ne diffèrent pas de -—3— de leur valeur, et admettre sans erreur sensible 1 100000 '

(jue ces vitesses sont rigoureusement égales ^^^

Le pouvoir dispersif de l'air et des autres gaz, s'il n'est pas entièrement nul, est du moins extrêmement petit, et, par suite, la vitesse de propagation dans ces milieux ne varie que très -peu avec la couleur; aussi ne commet-on pas d'erreur appréciable en admettant que les indices de réfraction d'un milieu solide ou liquide pour les différentes couleurs conservent entre eux un rapport constant, lorsqu'on prend successivement ces indices par rapport au vide et par rapport à l'air.

167. Relation entre rindiee de réfraetion d'un milieu par rapport au wide et la longueur d'ondulation dans le vide. — Soient, pour les rayons d'une couleur déterminée :

t') Les colorations qu'oui préseiilées certaines étoiles temporaires, par exemple celles qui ont été observées par Tyclio-Brahé et par Kepler, variaient d'une manière tout à fait irrégulière et ne peuvent être attribuées qu'à de grands phénomènes physiques ou chimiques «'opérant à la surface de ces astres (très-probablement, d'après les dernières recherches speclroscopiques , à des conflagrations où l'hydrogène joue un rôle actif). (I- )

V la vitesse de propagation dans le vide; X la longueur d^ondulation dans le vide;

V la vitesse de propagation dans un milieu solide' ou liquide; / la longueur d'ondulation dans ce milieu;

n l'indice de réfraction du milieu par rapport au vide. D'après ce que nous venons de voir, la vitesse V ne dépend pas de X, et on a, quelle que soit la couleur de la lumière,

V étant une constante.

On tire de là

et, en portant cette valeur dans la formule (i o) qui, pour te cas actuel , prend la forme

il vient

îr = a + -VI- + -vT + -To- +

d'où

Cette équation donne l'indice de réfraction n en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide; elle ne peut être résolue que par approximation. Les coefficients a, b, c, rf, ... décroissent trèsrapidement, et par suite, si X n'a pas une valeur excessivement petite, il en est de même dans l'équation (i i) des termes contenus dans la parenthèse. On aura donc une première valeur approchée de n en s'arrétant au premier terme, ce qui donne

en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation (t t), on obtient une seconde valeur plus approchée

ViMDKT, VI. — Optique, 11. a

en continuant de même, on voit que, quel que soit le dejrn^ d'approximation auquel on s'arrête, on aura toujours pour -^ une expression de la forme

où les cocllicients A,, B,, C, décroissent très-rapidement, de mênn» que a, 6, c, .... On en déduit pour l'indice de réfraction une expression de même forme

Dans cette formule les coefficients A', B', C\ ... ne dépendent que de la constitution du milieu; ces coefficienls doivent décroître rapidement, mais l'expérience seule pourra faire connaître leur valeur pour chaque milieu et indiquer combien de termes il faut prendre dans le second membre de l'équation (i»>) pour avoir une valeur suffisamment approchée de l'indice de réfraction.

On peut remarquer seulement que, l'indice de réfraction allant en augmentant à mesure que la longueur d'ondulation diminue, le coefficient B du second terme doit être positif.

168. ir^rlflcatlons expérimenteles des formules de dftspersioo. — Pour comparer à l'expérience la formule (12), il faut s'arrêter après un certain nombre de termes et déterminer les coefficients des termes conservés, soit au moyen d'un nombre d'observations égal à celui de ces termes, soit en faisant concourir toutes les observations au calcul des constantes par la méthode des moindres carrés ou par la méthode d'interpolation que Cauchy a développée dans son Mémoire sur la dispersion. En prenant un nombre croissant de termes dans le second membre de l'équation (12), on peut trouver ainsi combien dé termes il faut conserver pour cpie les résultats du calcul et ceux de l'expérience ne diffèrent que do quantités qui soient de l'ordre des erreurs d'observation.

Cauchy s'est servi, pour vérifier sa formule, des indices de réfraction déterminés par Frauenhofer. 11 s'est cru obligé de prendre quatre termes pour obtenir des résultats concordants: mais il est

THÉORIE DE CAIJCHY. 19

facile do voir (|ue, pour le degré d'exactitude que coiiiporte en général la détermination des indires de réfraction, il est plus que suffisant de s'arrêter après le troisième terme; la formule (13) devient

alors

Lorsqu'on n'a pas besoin d'une très-grande précision, on peut même se contenter des deux [)remiers termes, c'est-h-dire réduire la formule à

La formule ainsi simplifiée se prête à une méthode de vérification peu compliquée et qui a été indiquée par Beer^'l Soient, en effet, X,, X2, X3 les longueurs d'ondulation dans le vide de trois rayons de couleurs différentes; w, , Wg» "3 '^s indices de réfraction correspondants. En admettant la formule (i3) comme exacte, on aura

n^—n^ Xi AJ

X?~Xî

Pour s'assurer de l'exactitude de la formule (i3), il suffira donc de chercher si les différences des indices de réfraction sont proportionnelles aux différences des carrés des inverses des longueurs d'ondulation. Béer a reconnu que les indices de réfraction déterminés par Frauenhofer suivent cette loi d'une manière suffisamment satisfaisante.

Avant que Cauchy eût publié ses travaux théoriques sur la dispersion, Baden Powell^^^ avait cherché à représenter par une formule

I) Iniroduction à la haute Optique ( trad. de M. Forlliomme), p. 176. '«) Pkii Tram., i835, p. 2/19.

d'oi

OU

empirique l'ensemble des mesures de Frauenhofor : il s'(5tail arrêté

à la relation

SinTT T

n^^' ÏT'

OÙ C et D sont deux constantes. Cette formule se ramène facilement à celle de Cauchy : en effet, si on développe sinTry en ne conservant que les deux premiers termes, ce qui est permis, parce que y est toujours une fraction très-petite, il vient

d'où l'on déduit pour w, en s'arrêtant aux termes en X^. une expression de même forme que celle de l'équation (i 3).

169. liOfts de la dlspersioo dans les milieux MréfrftnseoUi. — Les simplifications qui s'introduisent dans les équations du mouvement vibratoire lorsque le milieu est isotrope, et en vertu desquelles les équations (5) se réduisent aux équations (8), sont dues uniquement à ce que, dans un milieu de ce genre, la normale à Tonde plane peut toujours être regardée comme un axe de symétrie du milieu, quelle que soit la direction de cette onde plane. Il résulte immédiatement de là ([ue les équations (8) sont applicables, dans le cas d'un milieu cristallisé à un axe, lorsque l'onde plane est parallèle ou perpendiculaire à l'axe unique du milieu, et, dans le cas d'un milieu cristallisé à deux axes , lorsque l'onde plane est perpendiculaire à l'un des trois axes de symétrie du milieu. La formule (lo) se déduisant des équations (8), cette formule peut servir à représenter dans les cristaux à un axe les vitesses des rayons parallèles ou perpendiculaires à l'axe, dans les cristaux à deux axes les vitesses des rayons parallèles à l'un des trois axes de symétrie. L'indice ordinaire et l'indice extraordinaire des cristaux à un axe , les trois indices principaux des cristaux à deux axes s'exprimeront donc à l'aide de formules analogues à la formule (i 22). Seulement les coefficients constants A', B\ C\. . . auroni des valeurs différentes dans

les cristaux à un axe pour Tindice ordinaire et pour Tindice extraordinaire, dans les cristaux à deux axes pour les trois indices principaux. C'est ce que Béer a vérifié au moyen de la méthode que nous avons indiquée plus haut, en faisant 'usage, dans le cas des cristaux à un axe , des indices du quartz et du spath déterminés par Rudberg, et, dans le cas des cristaux à deux axes, des indices de l'aragonite et et de la topaze mesurés par le même physicien ^^K

170. Conséquences déduites pur Cauehy de Tabsenee de dispersion dans le vide. — Dans un corps quelconque les molécules pondérables doivent ôlre regardées comme beaucoup plus écartées les unes des autres que ne le sont en moyenne les molécules de Téther engagé dans ce corps. Si donc on admet avec Cauchy que le système formé par les molécules pondérables et les molécules d'éther puisse être remplacé par un éther fictif, cet éther devra présenter une discontinuité beaucoup plus grande que l'éther du vide, ou, en d'autres termes, les molécules doivent être incomparablement plus rapprochées dans l'éther du vide que dans cet éther fictif. C'est probablement en se basant sur cette considération, bien quli n'en fasse pas explicitement mention, que Cauchy a été conduit à admettre, pour expliquer la différence qui existe sous le rapport de la dispersion entre l'éther du vide et celui des milieux pondérables, que l'éther du vide peut, sans erreur sensible, être regardé comme formant un milieu continu, et à chercher quelle doit être,, dans cette hypothèse, la forme de la fonction qui lie les forces moléculaires à la distance pour que la vitesse de propagation dans le vide soit indépendante de la longueur d'ondulation.

Si, en effet, on suppose l'éther continu, les sommes composées d'un nombre de termes fini, quoique très-grand, que nous avons considérées jusqu'à présent, se transformeront en intégrales, et l'expression de la vitesse de propagation prendra une forme simple que nous allons déterminer en suivant la marche indiquée par Cauchy.

Rappelons d'abord que, dans un milieu isotrope, on a pour la vitesse de propagation d'une onde plane normale à l'axe des x, et

(') Introduction à la haute Optique ((rad. de M. Forthomme), p. aSo et 3a8.

sur laquelle les vibrations s'effccluenl parallèlenicut à Taxe des ;/,

V^ = |.2^[<p(r)+4'(r)^']s.VfA.-.

Pour faciliter rintégration, nous nous servirons de coordonnée polaires : nous prendrons pour origine la molécule m, dont jusqu' présent nous avons désigné les coordonnées par a:, y, z; nous repré senterons par r la distance de cette molécule m à la molécule (x don les coordonnées sont jj+Ax, y-\-Ay, z-\-àz, par oj Tangle que fiii la ligne mfi avec Taxe des x, par 6 Tangle du plan (xnix avec le pla des xy. Nous aurons alors

Aa: = r cos ûj , Ay — r sin cj cos 6.

Pour exprimer en fonction des coordonnées polaires Télément d masse fi, nous considérerons l'élément de volume limité par deu surfaces sphériques de rayons r et r-{-dr ayant pour centre Tori gine, par deux plans passant par Taxe des x et faisant avec le plai • des xy des angles égaux à 6 et à O + dO, et enfin par deux surface coniques ayant pour axe commun Taxe» des x et dont les généra trices font avec cet axe des angles respectivement égaux à ew et ù) + ddû. Cet élément de volume est égal à

r^ sin GjdOdrdûj,

et l'élément de masse correspondant [x est représenté |)ar

Dr^siïiGjdOdrdù),

D étant la densité du milieu éthéré.

Si l'on porte ces valeurs dans l'expression de V*^, et si l'on sup pose le milieu continu, ce qui permet de remplacer la sommatioj par une intégration, on a

^'^ ^X^'iT fo'^'^ [?(r)+>Kr)sin26. cos'-^ô] siney sin^ ^^^^ d6d^.

L'intégration doit s'étendre à tout le milieu, et ses limites sont, pa conséquent : pour 0, zéro et air; pour w, zéro et tt; pour r, zéro e

+ oo.

L'intéfjration par rapport à 6 s'effectue iininédiatenient et donne

V^ -= — 9 I I H(p(r)sin(y sin^ — ^ — dcodr

+ I I r-^\(/(r)sin^ai sin^ — ^ — dcjdr

Si l'on intègre ensuite par rapport à <y, on a

sinewsin-^ — t — a<y = I ( i - cos c j sincûda)

I , X . aTrrcoswN^

--=- — cosû> H sm >