X . 27r = 2 sm ^r- r

la première partie de l'expression de V*^ devient donc

— J^ r2(p(r)r/r-— J^ rv? (r) sm -j^rrfr.

Intégrons par rapport à ai la seconde partie de cette expression : comme on a

I sm^<w sin-^ — >- — floi -=- - I I i - cos r 1 sin^cjocj^

et

I sin^(y(/<w=-- I sinfiii(i — cos^4>)(iy = f - cosw + t^ cos'û;] =«

en intégrant par parties, il vient successivement

J'. , 27rrcosûi; , X . « . 27rrcosa> sm^<y cos ^; ooi = sm-'w sm > A 27rr A

X /*. . 27rrcos<y ,

+ — lsmGiicos6t;sm > doj,

irrj A

/. 27rrcos<y , A 27rrcosû;

sin ù) cos oj sm r daj = r^:. cos ai cos

27rr A

, A /* . 27rrcosci; ,

H I sma; cos ^ aa>,

27rr j A

/27rrcosû; , A . 27rrcosci;

sinûii cos ^ aw -= — — r- sm

27rr A

d'où

sin^ûi cos ç Où) = biw^œ sm

A 27rr

À X* 27rrcosfiii X^ . 27rrcosâr

i-î COSGJ cos > , i a àin ^ ,

27rV A àfr r X

/'^ • - 27rrcosû; , X' qtt . X^ . 27r

J*^ . , . «Trrcosû; , 2 , a utt X^ . 27r

0 A o 27r r A /iTT r a

En portant cette valeur dans l'expression de V^, on a

et, comme on a posé il vient définitivement

Pour intégrer par rapport à r il suffit de remarquer que l'on a

X* /// \ 27r X -/ X . 27r fZ r X* -/ V 27r 1

X* f{r) lit X' / (r) . 2W , X' /(.) . aw

4ir* r X 8ir' r X 8ir' r* X

d [ X' /(r) . 2ir ^

on obtient ainsi

Désignons par M la quantité entre parenthèses, par M^et M^ les valeurs que prend celte quantité lorsqu'on y fait r=o et r=oo. Comme /(r) s'annule pour une valeur infiniment grande de r, M^

est égal à la valeur que prend la quantité 3 r^/(^) pour r= c» , valeur que nous représenterons par » [r*y(r)J«.

Pour déterminer la valeur de M^, il faut développer en série

2T . . aTT

cos -<-r et sin ^ r, ce qui donne

87r' r VX '^ 1.3.3 X' ^"^1.3.34.0 "X^ ...y.

Les termes qui contiennent r à une puissance inférieure à la quatrième se détruisent : la limite de M, lorsque r tend vers zéro, est

donc égale à celle du terme en r\ c'est-à-dire à -r ^ [^/(O]»* ^^ portant ccîs valeurs de M„ et de M^ dans l'expression de V^, il vient

V^ = ^ (M» - M.) - ?^' [ryWJ. - A D. [ry(r)J..

Pour que la vitesse de propagation de la lumière dans le vide soit indépendante de la longueur d'ondulation, il faut que le premier terme de cette expression soit nul , et par conséquent que l'on ait

La vitesse devant avoir une valeur finie et constante, il faut, en outre, que le second terme soit positif, c'est-à-dire que l'on ait, en désignant par k une quantité constante,

(.) ['•VV-)|.=^ kK

26 THEORIE DE LA DiSPEHSIO^.

Ces deux conditions sont satisfaites si Ton admet que dans, le vide l'action mutuelle des deux molécules d'éther est répulsive et varie en raison inverse de la quatrième puissance de la distance, car alors on a

d'où Ton déduit

'•Vi'-) - - ?

quantité qui s'annule pour r= oo , et

valeur qui demeure positive et constante, lorsqu'on fait tendre r vers zéro.

La solution que nous venons d'indiquer n'est point la seule qui soit compatible avec les conditions (i) et (2); ces conditions sont en effet satisfaites lorsque, toutes les fois que les molécules réagissantes sont à de très-petites distances les unes des autres, leur action varie en raison inverse de la quatrième puissance de la distance, et que, pour des distances plus grandes, cette action conserve toujours une valeur inférieure à celle qu'elle prendrait si elle variait en raison inverse du carré de la distance.

Telles sont les conclusions auxquelles s'est arrêté Cauchy; ces conclusions, il ne faut point l'oublier, ne sont légitimes qu'autant quon admet l'hypothèse qui lui a servi de point de départ, c'est-àdire qu'on regarde l'éther du vide comme formant un milieu continu, et en aucun cas elles ne sont applicables à l'éther engagé dans les milieux pondérables.

171. Equations d*uii mouYemeiit vibratoire se propaipeant par onde* plane* dans un milieu isotrope. — Nous avons obtenu précédemment (162) les équations diffén^nlielles d'un mouvement vibratoire se propageant par ondes planes dans un milieu homogène quelconque, et, pour arriver plus rapidement à ces équations, nous avons supposé les déplacements des molécules vibrantes rcctilignes, et nous avons représenté ces déplacements en

nous fondant sur la théorie de la difTraction, par la formule

Ê = ^sin27r(R —Vf),

ce qui nous a permis d'exprimer les projections Ç, >;, Ç de ces déplacements en fonction de la vitesse de propagation V.

Nous allons maintenant, en nous restreignant au cas des milieux isotropes, exposer une autre méthode qui permet de trouver directement les équations différentielles d'un mouvement vibratoire se propageant par ondes planes sans faire d'autre hypothèse sur la nature de ce mouvement que d'admettre la transversalité rigoureuse des vibrations. Les équations auxquelles conduit cette méthode , bien qu'identiques au fond avec les équations (8), se présentent sous une forme différente et qui, dans certains cas, est plus commode pour la discussion, par exemple lorsqu'il s'agit de déterminer quelles sont les modifications qu'il faut faire subir aux équations différentielles du mouvement vibratoire dans un milieu isotrope pour rendre compte des phénomènes de la polarisation rotatoire. De plus, l'intégration de ces équations nous apprendra quels sont les mouvements vibratoires qui peuvent se propager sans altération dans le milieu , et viendra confirmer les conséquences que nous avons déduites des phénomènes de diffraction; enfin cette même intégration nous fournira une relation entre la vitesse de propagation et la longueur d'ondulation, relation qui pourra servir de base à la théorie de la dispersion dans les milieux isotropes.

Nous prendrons pour point de départ les équations (i) qui se raj)portenl à un milieu homogène quelconque et qui peuvent s'écrire

dt'

2^ j[(p(r) 4->Kr) ^J A|4- >Kr) ^ A,

A.r Az

2ft \^r) ^ A^+ [<P(r) 4- ^r) ^] Ar,

^r) ^ AÇ

4 [(?(,) + >Kr)^'|AÇ(

28 THÉOlilE UE LA DISPERSION.

Si nous développons ^-f- AÇ, i; + Ai7, Ç + AÇ par la formule de Tavlor, il vient

et deux expressions analogues pour A>; et A^.

Comme les forces moléculaires n'ont d'action sensible qu'à de très-petites distances, les quantités Ax, Ay, Ac sont toujours trèspetites, et les séries qui représentent AÇ, A»;, AÇ sont convergentes pourvu que les dérivées successives de Ç, >; , Ç par rapport à x, y, 2 conservent toujours des valeurs finies. Toute solution des équations différentielles qui ne satisfera pas à cette dernière condition sera illusoire et devra être rejelée.

Si le milieu considéré n'est pas hémiédrique , à la molécule dont les coordonnées sont x-\-Ax, y + Ay, z+àz correspondra une autre molécule ayant pour coordonnées .r — Ax, y — Ay, 2 — Az, et pour laquelle les fonctions <p(r) et >f/(r) auront les mêmes valeurs que pour la première. Si donc, dans les équations (1 i), nous substituons les valeurs que nous venons de trouver pour AÇ, Au, AÇ, tous les termes qui, par rapport aux quantités Ax, Ay, Az, seront de degré impair, disparaîtront dans la sommation, et il ne restera par conséquent, dans le second membre de ces équations, que des termes contenant les dérivées d'ordre pair des quantités Ç, 17, Ç par rapport à x, y, z, et ayant pour coefficients des sommes dont la valeur est constante et ne dépend que de la constitution du milieu.

Supposons maintenant que le milieu soit isotrope et que dans ce milieu se propage une onde plane à vibrations rigoureusement transversales : toutes les directions étant identiques dans le milieu, nous pouvons, sans diminuer la généralité de la solution, considérer l'onde plaiie comme étant normale à l'axe des z. Dans ce cas Ç est constamment nul, et, pour que l'onde se propage sans altération, il faut que Ç et >? soient des fonctions de la seule coordonnée z et du temps. Les termes qui contiennent les dérivées de Ç et de rj par

Ftipport à X et à y disparaissent donc alors dans les équations (i A), et ces équations prennent la forme

A, B, C étant des constantes qui ne dépendent que de la nature du milieu, et qui, par raison de symétrie, doivent avoir les mêmes valeurs dans les termes correspondants des deux équations (i5).

Les équations différentielles (i5) représentent le mouvement vibratoire d'une onde plane à vibrations transversales normale à Taxe des z, et se propageant dans un milieu isotrope.

Les valeurs de $ et de »; devant être des fonctions périodiques du temps, les solutions les plus simples de ces équations sont

^ * \ rj --^bsm[kz — st-{-x)'>

oii a, b, (p ci j(^ représentent des constantes indéterminées, tandis que les quantités s et k sont liées entre elles par l'équation

(17) s^=^AIc' + Bk' + œ + ....

De ce que les constantes a, 6, ^ et x ont des valeurs indéterminées, il résulte que les composantes parallèles aux axes des x et des y du mouvement vibratoire sur l'onde plane peuvent avoir des intensités quelconques et présenter des différences de phase également quelconques, ou, en d'autres termes, que dans un milieu isotrope une onde plane à vibrations transversales peut se propager sans altération, quelles que soient la forme et l'orientation des trajectoires décrites par les molécules vibrantes.

Il est facile de trouver la signification des constantes s et k qui entrent dans l'équation (17). Les formules (16) montrent en effet immédiatement qu'on a , en désignant par T la durée de la période du mouvement vibratoire,

'àTT

on voit de ni^me par ces formules (jue si z augmente d'un multiple de -T- , Ç et V reprennent les mêmes valeurs, d'où il résulte qu'en représentant par / la longueur d'ondulation dans le milieu on a

et

I STT

On déduit de là, pour la vitesse de propagation r do la lumière dans le milieu considéré ,

En portant les valeurs des quantités s et k dans l'équation (17), elle devient

OU

Cette dernière équation donne la vitesse de propagation en fonction de la longueur d'ondulation et des constantes A, B, C,. . ,; elle est de môme forme ([ue l'équation (10) obtenue précédemment par une autre méthode de calcul. On peut remarquer que v ne dépend pas des constantes a, 6, ^ et x» ce qui signifie que dans un milieu isotrope la vitesse de propagation d'une onde plane est indépendante de la forme et de l'orientation des trajectoires décrites par les molécules vibrantes.

L'équation (18) permet d'exprimer l'indice de réfraction du milieu par rapport au vide en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide, car, en désignant par n l'indice de réfraction, par V et X la vitesse de propagation et la longueur d'ondulation dans le

vide, on a

et l'équafion (18) prend la forme

La formule (19) serait fort incommode pour la comparaison des résultats de Texpérience avec ceux de la théorie; aussi allons-nous chercher à y substituer une formule approchée dans laquelle l'indice de réfraction soit exprimé par une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de X. Nous admettrons à cet effet, comme le faisait Cauchy, que les coefficients constants A, B, C, . . . décroissent très- rapidement, supposition à laquelle on est conduit assez naturellement en se reportant à l'expression des sommes que re[)résentent ces coefficients : si alors la longueur d'ondulation / est supérieure à une certaine limite que l'expérience seule pourra déterminer, le second membre de l'équation (17) formera une série rapidement convergente dont il suffira de conserver les premiers termes. En appliquant à cette équation le théorème de Lagrange sur le retour des suites, on en tire la valeur de k^ développée en une série de la forme

Pour déterminer les coefficients Ag, B2, C^, . . . , il sulFit de substituer dans l'équation (qo) les valeurs de a^, .-?*, «^, . . . déduites de Téqualion (17), savoir :

.s^^A^A'^+fîABA'^ .sO AH'« +

L'équation (-.io) devient alors

d'où l'on déduit

AAo 1, BA.,+ A^B2=^o, CA.,+ 9ABB2 + AH:,o,

et par conséquent A 1 D BA, B p CA,4-3ABB, CA-2B'

On voit par là que , si les coefficients A , B , G , . . . peuvent être considérés comme des quantités très-petites du premier, du troi-

sième, du cinquième,. . . ordre, Tï'ti'* • • seront des quantités très-petites du premier, du second, . . . ordre, et par suite les coefficients A2, Bg, Cg,. . . décroîtront très-rapidement.

De l'équation (Qo)on tire pour k une expression de la forme

mais, la valeur de k^ ne contenant que des puissances paires de s, les coefficients a , jS', 7', . . . des termes qui dans l'expression de k renferment une puissance paire de s sont nuls, et il reste

(21) k^as + fisr^ + ys^+

Pour calculer les coefficients a, j8, y, . . . en fonction des coefficients A, B, C, . . . qui entrent dans les équations différentielles, il faut dans ces équations, et par suite dans l'équation (17), ne prendre qu'un nombre limité de termes. Si l'on s'arrête après le troisième terme, l'équation (17) devient

c'est dans cette dernière équation qu'il faut substituer la valeur de k donnée par l'équation (at). Si l'on néglige les termes qui contiennent s à une puissance supérieure à la sixième , degré d'approximation qui est naturellement indiqué, puisque dans Téquation (17) on ne tient pas compte des termes oii k entre à une puissance plus élevée que la sixième, il vient

,2= A {a's^ + /S^^e + 3a/3«* + aay^') + B(a*«* + tia^^s^) + Ca«5»,

d'où

i — Aa^= o,

aai8A-fa*B=o,

(i&2 + aay)A + Aa'jSB + Ca*= 0 ,

et par conséquenl