M (/(2) = M (/;2) . M ( «6 COS ^) = O

mais non à la condition

M{(ibsmS)=-- 0,

absmS étant toujours positif ou toujours négatif suivant que, <^ étant compris entre zéro et n ou entre tt et qtt, les vibrations sont polarisées de gauche à droite ou de droite à gauche.

191. Imitation des propriétés de la lumière naturelle à l'aide de la rotation d'un rayon polarisé. — L'impossibilité d'obtenir de la lumière naturelle avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce fournit l'explication des résultats obtenus par M. Dove dans ses expériences sur la rotation des rayons polarisés ^^K Si l'on fait tourner rapidement un prisme de Nicol sur lequel arrive de la lumière naturelle, le faisceau émergent a toutes les propriétés de la lumière naturelle; mais si Ton fait tourner avec la même vitesse et dans le môme sens que le prisme de Nicol une lame de mica, le faisceau émergent, formé de vibrations elliptiques identiques dirigées dans tous les azimuts, produit les mêmes phénomènes de polarisation chromatique qu'un faisceau polarisé circulairement. Pour obtenir de la lumière naturelle, il aurait fallu laisser le prisme de Nicol immobile et faire tourner la lame de mica, ce qui aurait changé le sens de la polarisation elliptique à chaque demi -révolution.

Au point de vue d'une théorie tout à fait rigoureuse, ces expériences de M. Dove sont plutôt une imitation des propriétés de la lumière naturelle qu'une reproduction exacte de sa constitution. Un rayon polarisé dont le plan de rotation tourne avec une vitesse uniforme doit être, ainsi que l'a fait remarquer M. Airy^^^, considéré comme étant réellement la superposition de deux rayons polarisés circulairement en sens contraires, dont les périodes de vibration ne sont pas les mêmes. Soient en effet

x = rtC0sci)sin37r f^ + a y = asin<ysin27r f^ + a

les équations d^une vibration rectiligne qui fait avec l'axe des x uû angle <y ; si l'on suppose que ù) varie proportionnellement au temps «

<'ï Pogg, Ann., LXXÏ, 97.

f») Undulatory Theory ofLighly arl. i85 (3' édition j.

en sorte (jue àj=(jL-{-vt, on aura

y = « sin (^ + vl) sin qtt (?p + a j ->

et, par une transformation connue,

x = - sîn ("f" + ^) '+ a7ra+^ +-sin (-^p vj t + fi7ia -fiU

y=— -cos l"f"+>'J '4-97ra+|ùt +-COS ( -7p v\ f + 27ra— jùt •

Ces deux dernières équatiotis représentent évidemment la combinai^ son de deux vibrations circulaires de périodes différentes définies» par les deux groupes d'équations

or, ==-sin \~Y~^^) ^+2'^« + ft r

yi = — -cosj \^ + v) ^+27ra + ^ et

x^=- sin {-Y — int+ ^ita — ft h

y2 = - cos [^ (^-^ — t/J f + 97ra - |tz

Les mêmes remarques s'appliquent aux deux composantes d'une vibration elliptique et, par suite, à la vibration elliptique elle-mérac.

Mais, dans toute expérience du genre de celle de M. Dove, la décomposition d'un faisceau polarisé tournant en deux faisceaux de périodes diverses, et, par conséquent, différemment réfrangibles et différemment colorés, est absolument inappréciable. Les nombres

de vibrations de ces deux faisceaux sont représentés par ^ H et

TT. ^ c'est-à-dire, si l'on suppose que le prisme de Nicol fasse

looo révolutions par seconde, sont entre eux comme 6oo billions plus l'unité et 6oo billions moins l'unité, pour une longueur d'ondd égale à o""",ooo5. 11 n'y a aucun moyen d'établir entre de pareils

rayons une séparation sensible. Une vitesse d'un million de tours par seconde serait encore très-ëloignée d'être suffisante.

192. IneompAtibilité des diansemeiits eontinus dans les vlbrAiions avec rhomosénéité de 1» lumière. — Les

développements précédents conduisent à une conséquence curieuse, (jue M. Airy a sommairement indiquée sans la démontrer en détail, c'est que les changements qu'éprouvent dans la lumière naturelle la forme et l'orientation des ellipses de vibration ne peuvent être supposés continus si la lumière est absolument homogène. Tout changement continu d'une vibration elliptique consiste en effet en une série de rotations infiniment petites des axes de l'ellipse, accompagnées d'altérations infmiment petites simultanées du rapport des grandeurs de ces axes, et chacune de ces altérations elles-mêmes peut être censée résulter de la combinaison de mouvements vibratoires de périodes différentes. L'homogénéité absolue de la lumière n'est donc compatible qu'avec des changements tout à fait brusques et discontinus : une homogénéité sensiblement équivalente à l'homogénéité fibsolue exigerait des changements continus très-lents par rapport aux vibrations de la lumière, mais des changements continus qui s'accomplissent avec une vitesse comparable à celle du mouvement vibratoire résulteraient en réalité de la superposition de rayons différemment réfrangibles en même temps que différemment polarisés.

193. Constitution de la lumière partiellement polarisée. — Lorsque les conditions caractéristiques de la lumière naturelle ne sont pas satisfaites, on a, en prenant pour axes deux droites rectangulaires (|uelconques dans un plan perpendiculaire au ravon ,

M(^/6cos<î)--- C, M(^fisinJ)--D,

les quantités A, B, (1, D ayant des valeurs (|uelconques. et la lumière esl dite alors partlellemcfil pohmsfv.

LUMIÈRE PARTlELLEMEiST POLARISÉE. 91

Si Ton désigne par A', B', C, D' les valeurs que prennent respectivement les expressions M(a^), M (6^), M (abcosS), M((ibsinS) lorsqu'on passe du système donné d'axes rectangulaires à un autre système défini par l'angle œ compris entre l'axe des a?' et l'axe des x, on aura, en vertu des calculs développés plus haut,

A'= Acos'-^^y + Bsin^o;— âCsin6;cos6i>, B' = Asin^^y + Bcos^û;— aCsinwcoso;, C = G (cos^ w — sin^ (w) - (A — B) sin (wcos a; ,

Si le système des vibrations traverse une lame cristalline biréfringente, on peut toujours supposer la section principale de cette lame parallèle à l'axe des:r' dont la direction est arbitraire; le passage à travers la lame n'altère pas les valeurs des coeflîcienls A' et B', mais la différence de phase <y devient égale à <y+e, et, si l'on désigne par C* et D" les nouvelles valeurs de M (abcosS) et de M (^absinS), on a

C"--= C'cose — Dsine, D'^-=C'sine + Dcose.

Les changements que peut subir un système de vibrations par suite d'une réflexion ou d'une réfraction simple ou double se traduisent toujours, soit par une variation dans le rapport des grandeurs des deux composantes du mouvement vibratoire [)arallèles à deux axes rectangulaires, soit par une altération de la différence de phase de ces deux composantes. On voit donc que, si les valeurs des coefficients A, B, G, D sont connues pour un système de vibrations, toutes les modidcations que pourra éprouver ce système par réflexion , réfraction, double réfraction sont entièrement déterminées, et deux systèmes pour lesquels ces coellicients ont les mêmes valeurs jouissent de propriétés tellement identiques qu'aucun des phénomènes que nous venons d'énumérer ne permettra de les distinguer.

Les valeurs des coefficients A, B, G , I) étant données par rapport à deux axes quelconques, on peut toujours trouver deux valeurs de co, différant entre elles de yo degrés, telles que G - o : il suffit pour

cela de résoudre Téquation

iang^ù) + —ç— tangw — 1 =o.

Donc, quelle que soit la constitution d'un système de vibrations, on pourra toujours trouver deux axes rectangulaires tels, que, par rapport à ces axes, la quantité M (ab cosS) soit nulle : c'est évidemment pour ces axes que les coefficients M (n^) et M (6^) ont leurs valeurs maximum et minimum. Si Ton désigne par Oa;} et par Oyi les axes pour lesquels C est nul, par Aj et Bj les valeurs que prennent respectivement M (a^) et M (b^) lorsqu'on rapporte le mouvement vibratoire à ces axes, enfin par Wj l'angle formé par l'axe Oa?i avec l'axe Ox, il vient

A, = A cos^û;, + B sin^^i ,

B, = Asin^û;, +Bcos^û)i.

Supposons que les quantités A^ et B^ soient inégales; on appelle alors plan de polarisation partielle le plan qui passe par le rayon et par l'axe Oarj ou par l'axe Oy^, suivant que l'on a Ai<c;Bi ou A,>B,.

Si les quantités Aj et Bi sont égales, il en résulte que A est égal à B, quelle que soit la direction des axes, et, par suite, que le coefficient C est toujours nul. Il est donc impossible que l'on ait par rapport à deux axes quelconques

sans avoir en même temps

M (abcosS)=- 0.

Cherchons maintenant ce qui se produit lorsque. Ai et B^ ayant des valeurs différentes, la lumière partiellement polarisée tombe sur un analyseur biréfringent dont la section principale fait avec le plan de polarisation partielle un angle égal à 9. On aura dans ce cas pour l'intensité de l'image ordinaire

Aisin^e + Bjcos^e,

LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 93

et pour celle de l'image extraordinaire

Ajcos^ô + Bisin^ô.

Les intensités de ces deux images dépendent de l'orientation de l'analyseur : l'intensité de l'image ordinaire est minimum quand 0 = 90% c'est-à-dire quand la section principale de l'analyseur est perpendiculaire au plan de polarisation partielle, et ce minimum est égal à Bi ; l'intensité de l'image extraordinaire est minimum quand ô=o, c'est-à-dire quand la section principale de l'analyseur est parallèle au plan de polarisation partielle , et ce minimum est égal à Aj. Aucune de ces intensités minima ne peut être nulle, à moins que l'on n'ait Aj= 0 ou Bj = o, c'est-à-dire à moins que toutes les vibrations du système ne soient reclilignes et contenues dans un même plan.

Si l'on a A= B et par suite Ai = Bj , les intensités des deux images dans l'analyseur sont indépendantes de l'orientation ; C est alors nul, quelle que soit la direction des axes. Cependant si, en même temps que l'on a A=^B, D n'est pas nul] le système de vibrations ne cons^ titue pas de la lumière naturelle. Si, en effet, on fait traverser à ces vibrations une lame cristalline, i devient égal à ^+5; G cesse en général d'être nul, et par suite l'égalité entre les quantités Aj et Bj ne subsiste pas, de sorte qu'après son passage à travers une lame cristalline cette lumière donne, sauf pour certaines valeurs particulières de l'épaisseur de la lame, deux images d'intensités variables dans un analyseur biréfringent. Si, au contraire, la lumière est naturelle, D est toujours nul, et par suite, après le passage de la lumière à travers une lame cristallisée d'une épaisseur quelconque, C reste nul et l'égalité entre les quantités A^ et Bj subsiste toujours, d'où il résulte que la lumière naturelle conserve après son passage à travers la lame la propriété de donner dans l'analyseur deux images d'intensités constantes. Gomme nous le verrons plus loin, lorsque A = B sans que D soit nul, la lumière peut être considérée comme résultant de l'addition d'une certaine quantité de lumière polarisée circulairement à de la lumière naturelle.

y/i POLARISATION CHROMATIQUE.

19/|. Claiislflcatioii des différentes espèces de lumière partiellement polarisée. — Une sculo question nous reste encore à examiner, celle de savoir si les divers systèmes de vibrations caractérisés ])ar des valeurs diverses des coellicients A, B, C, 1) peuvent se répartir en un petit nombre de groupes, présentant chacun un ensemble de propriétés communes, ou s'il faut se borner, dans chaque cas particulier, à déterminer, par une application des méthodes précédentes, les propriétés des divers systèmes qu'on rencontrera.

Il faut remarquer d'abord qu'à tout système de valeurs numériques des coefficients A, B, C, D ne répond pas nécessairement un système possible de vibrations diversement polarisées. Il est bien évident, par exemple, que les coefficients C et D ne sauraient être tous deux très-grands par rapport aux coefficients A et B. II est même facile de démontrer (pi'on a nécessairement, dans tout système réel de vibrations,

AB-(C2-fD2)>ô.

En effet, si l'on reprend les notations précédentes (189), on a

AB == (wiifl^f -h fWsfl^H ) (mi A? 4- m^bl H ),

O + D^^lniia^biCosSi + m^^iK^^^^i'^ )^

+ (^miaibis\nSi + m^a^ 1)2^11^ S^-i f,

et on groupe aisément les termes de ces deux expressions de manière à leur donner la forme suivante :

+ tn^m^npb^a^hpCOsiSp—S^)-h--

Il en résulte que AB — (C^ + I)^) se réduit à une somme de termes de la forme

m,, m^ [al A^ + aj 1,1 ,^^ f,^ ^,^ f,^ ^^^ (^^ - ^J]-

LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 95

Or cbacun do ces termes est évidemment plus grand qinî

c'est-à-dire qu'une quantité qui est toujours nulle ou positive.

AB — (C^ + D^) est donc nécessairement nul ou positif. Si d'abord on suppose AB — (C^-f-D^) égal à zéro, le système est équivalent h une vibration unique, invariable de forme, de grandeur et de position; car en faisant

tang^==^,

on a

ah cos<î= \/^AB ^r— =. '■ (^ ■

ah sin J = t /ÂB ^^ - 1).

Si AB est plus grand que C^ + D^, il y a une infmité de systèmes satisfaisant aux conditions

M («2) = A , M (i2) =^- B, M {ah cos ^) =^ C , M [ah sin S) -^ D.

En effet, AB étant plus grand que C^ + D^, on peut trouver une infinité de groupes de nombres A' et B' tels que l'on ait

Les nombres A', B\ C, D peuvent être considérés comme caractéristiques d'une vibration elliptique déterminée, et si l'on suppose que cette vibration alterne avec un système de vibrations qui satisfait aux conditions

M [ah cos^) = o , M [ah sin<î) = o ,

on aura obtenu un des systèmes caractérisés par les valeurs données de A,B, CD.

Parmi les systèmes en nombre infini qui jouissent tous des mêmes propriétés, il en est un qui, par sa simplicité, offre un intérêt par-

liculier : c'est ie système pour lequel A — A'=B — B', et qui, par conséquent, peut être représenté par. un faisceau de lumière naturelle et par un faisceau de lumière elliptique. Ces deux faisceaux sont l'un et l'autre entièrement déterminés. En appelant H la valeur commune de A— A' et de B — B', on a en effet

d'où

H = ^±iy/(A-B)2+/i(C2+D2).

Ces valeurs sont toutes deux réelles et positives; mais la plus grande étant supérieure à A et à B, la plus petite répond seule à la question, de sorte que

Le double de cette expression est l'intensité du faisceau de lumière naturelle qui peut être censé entrer dans la constitution du faisceau que l'on considère : cette intensité n'est nulle que dans le

cas où l'on a