X -^ X coscj + y suïù), y ^ X sinw + y <*0S6i
VtnDET, VI. — Optique, II.
en désignant par œ l'angle de Taxe des x avec Taxe des x : en développant les valeurs de x et de y, il vient
x' == (a cosù)r\- h cos^sincij) sin(p + ^ sin<îsinci;cos(p, y' = ( — a sinci»H- h cos<îcosw) sin(p-f b sin<îcosci) cos(p.
Si l'on reçoit le rayon normalement sur un cristal biréfringent orienté de façon que les plans de vibration des deux rayons auxquels il donne naissance soient parallèles aux axes des x' et des y\ dont la direction est tout à fait arbitraire, les intensités de ces deux rayons seront proportionnelles aux intensités des composantes représentées par les deux dernières équations, et par conséquent égales à
m^ (a^ cos^ w H- //- sin^ (m)-\- ^ab cos S sin oi) cos ci^)
et à
n^ («^ sm^co-\-b^ cos^w — *2ab cos^sin^ycoso;),
m et n étant deux coeCGcients très-voisins de l'égalité, mais non exactement égaux. Ces expressions dépendent de l'angle <y, mais elles varient d'un instant à l'autre avec les paramètres a, t, S^ et, pour que le rayon jouisse de la première propriété de la lumière naturelle, il faut et il suffit que les valeurs moyennes, prises pendant un temps très-court, mais assez long pour contenir un nombre très-grand d'alternatives, soient indépendantes de co. Donc, en désignant généralement par M (2) la valeur moyenne ainsi définie d'une quantité quelconque z, il faut et il suffit que les expressions
M (a^) cos^û^H-M (i^) sin^û;+ a M (^ab cos<î) sine; cosey et
M (fl^) sin2<y+ M [b^) cos^û; — qM [ab cos<î) sin&>cos<y
gardent les mêmes valeurs quel que soit <y, et par suite que l'on ait
M(a2) = M(ft2), M(a6cosf) = o.
La même propriété devant subsister encore après le passage du rayon à travers une lame cristalline, et en particulier lorsque la section principale de cette lame est parallèle à l'axe des .r, il faut et
LUMIERE NATUliELLE. 83
il suffit qu'en appelfinf s la (lifl*érence de phase qui s'ajoute dans ce
cas à la difl*érence S y c'est-à-dire la quantité que nous avons désignée
O — E précédemment par îtt — t-~' ^^ ^^*' H^^' 4"^ ^^^^ s»
M [^6cos(^+e)] = o, d'où
M [ah cos^) = o, M [ah s'mS) = o.
Ainsi les trois conditions suivantes caractérisent toute succession rapide de vibrations jouissant des propriétés par lesquelles on définit la lumière naturelle :
(T) I M [ahcoaS]^ 0,
f M [ah smS) -=•■ 0.
Il n'est pas difficile de prouver que, si ces conditions sont satisfaites relativement à deux axes rectangulaires OX et OY, elles le seront aussi par rapport à deux autres axes rectangulaires OX' et OY'^'. Si, en efl*et, on représente le mouvement vibratoire décomposé suivant ces nouveaux axes par les équations
x'=-- a' sin(p', y = h' sin(^'+ ^),
on doit avoir, d'après ce qui précède,
a sin(p' = [a cos<m) + h cos<îsinci») sin^ + A sin<îsinci> cos^, 6'sin(Ç'H- y) =-- (— a sino^H- h cos^cosw) sin^-f-6 sin^cosw cosÇ,
et par suite, en vertu des règles du calcul des interférences,
a^ = n^ cos^ ci) + h'^ sin^ (i)+ ^ah cos S sin ca cos œ , h'^^ =^ a^ sin^ ci)-\-b^ cos^ co — vtab cos S sin ùj cos d»,
, , , 6 sin ^ sin 4)
tang ((p' — (p) = 7 Y . -
" ^ ^ ^ ^ a cosci; -»- h cos d sm gj
. 6sin^cosct>
tang [(p'+S- (p) : .
"^ ^^ — asm oj-\-o cos ô
cosû;
On déduit de là par un calcul facile
ab' cos y =^ ah cos<î(cos^w — sin^ci)) — (a^- - 6^) sinci) cosci;,
n'V smS' -^ ah sin^,
et il est évident, à l'inspection de ces formules, que, si les conditions (i) sont satisfaites, on a, quel que soit d», c'est-à-dire quelles que soient les directions des nouveaux axes,
M(a'2)..M(P), M(>t'i'cos^)-o, M (ah' smS') -= o.
190* Coluitituflon des •jratémes de Ylbriitioiui les plus simples qui puissent former de la lumière naturelle. —
Les conditions que nous venons de trouver peuvent être satisfaites d'une infinité de manières qu'il est inutile de spécifier, mais il est intéressant de rechercher quelle est la combinaison de vibrations la plus simple qui y satisfasse. Une vibration à polarisation constante ayant des propriétés parfaitement distinctes de celles de la lumière naturelle, il faut au moins deux espèces de vibrations diverses alternant l'une avec l'autre. Soient «i, 6] , Si et a^^ h^^, S^ les paramètres caractéristiques des deux vibrations, t la durée pour laquelle on prend la moyenne des expressions a^, 6^, ah cos S et ah sin S y m^ et m^ les fractions de cette durée qui appartiennent aux deux modes de vibrations; on aura
M (a^) = mifl? + m.2a\,
}\{h^) = m,h\ + m.,h\, M (ah cos<î) — tniO^hi cos<î| + m^aob^cosS^^ M (^nh sin S) ^ m^ a^ h^ sin S^ -\- m^a,^^ h^ sin ^2 î
et par suite, si la succession alternante de ces rayons possède les propriétés de la lumière naturelle,
( mjrtf -f- m^al -- /n, if + m2i.^, (2 ) • nij r/| 61 cos Si + m.2 «2 ^2 ^os ^2 "^ ^ »
' m,^iAj sin Si -f- m^a^h^ sin ^2 ~" o.
On déduit immédiatement de ces deux dernières équations
tang^i = lang4, c'est-à-dire
Si =^ $2 ou Jj = TT + ^2-
La première hypothèse conduit immédiatement à
et, comme les quantités m^, m2» ^j» ^2> ^i» ^2 sont positives, d'après ce que nous avons supposé plus haut, cette relation ne peut être satisfaite qu'autant que Ton a
ou
ce qui montre que les deux rayons doivent être polarisés à angle droit l'un sur l'autre, et que leurs intensités doivent être en raison inverse de leurs durées. La seconde hypothèse indique que les deux vibrations doivent être polarisées elliptiquement en sens contraires et donne de plus la condition
Wi«i6i=-m2a2^2;
en la combinant avec la première des équations (a), on trouve facilement
fnim2à\al + mla^ = m, vi^a^b^ + m^n\bf ,
(miaj + m^al) (wt2a| — mib\) -= o , d'où
wiii? == m2«2, et par suite
m^ai^^m^bl
Les équations des deux rayons dont, l'alternance peut constituer de la lumière naturelle sont donc
Xi = fli sin (p.
^^-b^yJ^^siiKp,
ll est évident que les deux vibrations ainsi définies sont polarisées
86 POLAKISATION CHROMATIQUE.
elliptiquement en sens contraires, quelles s'exécutent suivant des ellipses semblables, mais tellement orientées que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre, et que leurs intensités sont en raison inverse de leurs durées relatives. Cette solution comprend comme cas particulier la précédente, car deux vibrations rectilignes perpendiculaires l'une à l'autre peuvent être regardées comme deux ellipses semblables placées de manière que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre : en outre , comme dans des vibrations rectilignes il n'y a rien d'analogue aux deux sens de la polarisation elliptique, on peut toujours les assimiler à deux vibrations elliptiques de polarisations opposées.
En ayant égard à cette remarque on peut énoncer comme il suit le résultat des calculs précédents :
La lumière naturelle peut résulter de l'alternance de deux espèces de vibrations elliptiques seulement, pourvu :
1° Que les intensités de ces vibrations soient en raison inverse de leurs durées;
2° Que l'une des vibrations puisse être considérée comme dérivée de l'autre par une rotation de go degrés et par une réduction des axes dans un rapport déterminé;
3** Que les deux polarisations elliptiques soient d'espèces contraires.
M. Slokes a proposé d'appeler rayons contrairement pohrisés deux rayons polarisés elliptiquement qui satisfont aux deux dernières conditions. En adoptant cette définition on peut dire que le moyen le plus simple d'obtenir de la lumière naturelle consiste à faire alterner l'un avec l'autre deux rayons contrairement polarisés, les durées de leurs alternatives étant inversement proportionnelles à leurs intensités. Un nombre quelconque de couples de rayons contrairement polarisés satisfaisant à ces conditions est encore une solution du problème.
Le théorème qu'on vient de démontrer donne une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle; mais il y en a encore une infinité d'autres sur lesquelles nous présenterons quelques remarques générales.
Considérons d'abord un système de p - - i vibrations rectilignes, entièrement arbitraires. Le système satisfera toujours à l'une des
conditions caractéristiques de la lumière naturelle, puisque, S ne pouvant être égal qu'a zéro ou à ?r, on aura nécessairement
M [ab siïiS) = o.
Désignons maintenant par A, B, C les valeurs des trois expressions M {a^)y M (i^), M [ab cos^), c'est-à-dire faisons
m^a^^ -\- m.2al -{- . . . -i-m^__ia^j = A,
mib] + m^bl+ . . . -i-m^^^ ^2 ^^B,
±m^aibi±m.2(Lyb.2± . . . i 'w^«i «p^i ftp i = C;
pour que le système jouisse des propriétés de la lumière naturelle , il suffira d'ajouter à ce groupe une z)**™* vibration définie par les paramètres a^y b^, m^ et satisfaisant aux conditions
ce qui a lieu si in^ a^, m^ b^ sont respectivement les racines positives des équations
et si Ton fait S ^- o on S ^= tt suivant que C est positif ou négatif. H v a donc une infinité de manières de constituer de la lumière nalurelle avec des vibrations rectilignes, sans qu'il soit nécessaire que ces vibrations se répartissent en groupes de rayons contrairement polarisés.
Un calcul tout à fait semblable montrerait qu'il y a aussi une infinité de manière^ de constituer de la lumière naturelle avec des vibrations elliptiques d'une forme déterminée, et a fortiori a\ec des vibrations elliptiques de formes divei^ses. Il est toujours nécessaire qne dans ces divers systèmes les deux espèces opposées de vibrations elliptiques existent simultanément, car avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce on pourra satisfaire aux conditions
