V/A AVA A VA
h 27r'BV c i^MTB'-AAOV*
cette expression devient définitivement
La formule ainsi trouvée est de môme forme que celle qui a été obtenue précédemment (166); mais la méthode que nous venons d'employer présente cet avantage qu'elle permet d'exprimer les coefficients constants a, p, q, qui entrent dans l'expression de l'indice de réfraction en fonction des coefficients A, B, C, qui figurent dans les équations différentielles du mouvement vibratoire.
Les coefficients a, p, q peuvent être déterminés directement par l'expérience, et les quantités A, B, C s'en déduisent au moyen des formules précédentes.
Vbrdf.t, Vf. — Optique, II. 3
:Wî THKORIK DE LA DISPERSION.
17:2. Formule de m. Oistoffel. — L'observation ne parait pas favorable à Thypothèse admise par Cancby relativement à la loi du décroissement des coefficients A , B , C , . . . . Si Ton essaye de représenter les indices de réfraction d'un milieu même peu dispersif
par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de >i» et
qu'on calcule, comme nous venons de l'expliquer, les valeurs des quantités A, B, C,. . ,, on ne remarque pas entre ces coefficients les rapports de grandeur impliqués dans l'hypothèse. La forme d'ailleurs des sommes que représentent ces coefficients, bien qu'elle suggère assez naturellement les conditions admises par Cauchy, ne les rend pas du tout nécessaires, et on peut se demander si un examen plus attentif de la nature de ces coefficients ne conduirait pas à une loi de dispersion plus conforme à la réalité : c'est ce que s'est proposé de faire M. Cristoffel ^^\
Guidé par des considérations théoriques que nous ne reproduirons pas ici, il a é!é conduit à admettre que les deux premiers coefficients A et B sont du même ordre de grandeur, mais que les autres forment une série rapidement décroissante dont le premier terme est lui-même très-petit par rapport à B. En partant de cette hypothèse, il est facile d'obtenir iine formule à deux constantes pour représenter l'indice de réfraction.
Si la longueur d'ondiilation / dans le milieu considéré est excessivement petite, il peut être nécessaire de prendre dans le second membre de l'équation (19) un grand nombre de termes malgré le décroissement rapide des coelficienls à partir de C, et aucune relation simple entre l'indice de réfraction et la longueur d'ondulation ne peut alors en être déduite; mais, dès que / est suffisamment grand pour que la série soit réductible sans erreur sensible à ses deux premiers termes, on a la relation simple
(otî) V2-=Aw2 + !^'Bw''.
C'est à ce cas expressément que M. (IrislolFel restreint ses re-
'" /?r;7. MouaUbfi\, i8Ci, p. i)oC}^ «jç)^. — Pogg. Atin., CWÏÏ, 97. — Ann, (fp jthjfs. fi fifi rhini.^ (.'^), LXIV, 370.
roiiMULE DE M. CIIISTOI FKL. 3r>
cherches, laissant à Tcxpëricnce le soin do déterminer (|iiolle est rette limite inférieure des valeurs admissibles de /. On peut mettre l'équation (*îa) sous les deux formes
la première fait voir que B est négatif, car l'expérience nous apprend
que -i diminue en même temps que X; la seconde montre que A
doit être positif.
On peut donc choisir deux quantités positives, w^ et X^, telles que
Ton ait
A a 'i7r*B XI
V* ni \' ni
et, {\ l'aide de ces grandeurs auxiliaires, l'équation (qq) se met sous la forme
/lîX'
w*--^ri2-hi=o, nî
d'où l'on conclut, pour la seule valeur admissible de n,
\An+\/T3^"'
les radicaux étant pris positivement. On ne peut effectivement attribuer le signe — à y i 4- y sans rendre n négatif, ce qui est inadmissible, et, d'un autre côté, si, en prenant ce premier radical avec le signe + , on donne le signe — au second, on obtient pour n une valeur croissante avec X, ce qui est contraire à l'expérience.
Il est bien entendu que cette formule est inapplicable au-dessous d'une certaine valeur de X que l'expérience doit déterminer. Si l'on fait, pour un moment, abstraction de cette restriction essentielle, on peut donner des grandeurs fi^ et X^ des définitions physiques indépendantes de leurs relations avec les constantes de la théorie moléculaire. /*„ est en effet la valeur de n qui correspond à X == X^, et
X^ est la limite inférieure au-dessus de laquelle X doit rester compris pour que n soit réel, c'est-à-dire pour qu'il y ait réfraction. Pour une valeur de X inférieure à X^,, il y a réflexion totale sous toutes les incidences : n^ et X^ sont donc les éléments caractéristiques du rayon au delà duquel il n'y a plus de réfraction possible.
Pour la plupart des substances dont on a étudié la dispersion, X„ est une quantité très-petite par rapport à la longueur d'ondulation des rayons visibles. La dissolution de phosphore dans le sulfure de carbone, étudiée par MM. Dale et Gladstone ^'^ fait seule exception. La valeur de X^ qui s'y rapporte est supérieure à la valeur de X que M. Esselbach attribue à la raie R du spectre ultra-violet.
On voit enfin que -f= est une limite au-dessous de laquelle ne
peuvent descendre les valeurs de n, quelque grand que soit X. Le spectre visible ou invisible d'une substance quelconque est donc limité des deux parts par les rayons dont les déviations correspondent
aux indices n^ et-p=.
La formule de M. Cristoffel s'accorde d'une manière assez satisfaisante avec l'expérience ; elle donne cependant des résultats moins exacts que la formule de Cauchy à trois termes ^^K
(') Ann. de chim. etdephys., (3), LVIII, laO.
(') M. Redieiibacher, dans Touvrage intitulé : Da* Dynamiden System^ qui a paru en 18^7 à Mannheim, propose, en se laissant guider par des vues théoriques particulières, de représenter les phénomènes de dispersion par la formule à trois constantes
L^expérience s'est montrée moins favorable à cette formule qu^à celles de (iauchy et de M. Cristoffel, dont elle difière par Taddition d'un terme proportionnel au carré de la longueur d'ondulation.
M. RHot, dans son Ettaisur la théorie mathématigue de la lumière , attribue les phénomènes de dispersion à l'action exercée sur Téther par les molécules pondérables.
Il remarque que cette influence peut se manifester de deux manières, soit en modifiant le mouvement vibratoire de Téther, soit en changeant, avant la vibration, la distribution de Tétlier dans le milieu et en introduisant dans cette distribution des inégalités périodiques. Ces deux hypothèses ont été soumises par M. Rriot à l'épreuve du calcul. Il a trou>é que l'action directe des molécules pondérables sur Téther en vibration introduit dans l'expression de la vitesse de propagation un terme proportionnel au carré de la longueur d'onde, ce qui est contraire à l'expérience.
Si l'on tient compte uniquement des inégalités périodiques produites dans la distribution
BIBLIOGRAPHIE. ol
BIBLlOGnAPHIE.
1766. ËULER, Nova theoria lucis et coloriim, Opuscula varii argumenti, I,
i8aa. Fresnel, Second supplëment au j)i*enn*er Mémoire sur la flouble réfraction, Œuvres complètes, t. II.
18^7. RuDRBRG, Leber die Dispersion des Lichles, Pogg, Ann., IX, 683. —
Ann. de chim, ctde phys,, (3), XXXVI, kZ^. i8q8. Bigeon, Note sur In dispersion de la lumière, Ann. de chim. et de
phys., (3),XXXVIl, 4/10.
i83o. Challis, An Atternpt to Explain Tbeoretically the différent Refrangi-
bility of tlie Rays of Ligbt, according to tbe Hypothesis of Un-
dulations, Pliii Mag.y (q), VIII, 1G9.
i83o-35. Cauchy, Mémoire sur la dispersion de la lumière, Nouv. Exerc, de
mathétn., Prague, i835. (Les deux premiers paragrapbes ont
paru en i83o à Paris.) i83i. AiRY, Matliematical Tracts, p. 985.
1 835-38. Baden Powell, Researcbcs toward Establishing a Theory of the Dispersion of Ligbt, PhiL Trans., i835, p. 369; i836, p. 17;
1837, P- *9î *^38, p. 67. — Inst., II, 130, 33 0; III, 179,
35o; V, 136; VI, ii5, 368.
1 835-38. Badeiï Powell, On Cancby's Tbeory of tbe Dispersion of Ligbt, PhiL
Mag., (3), VI, VIII, X, XI 1836-37. Baden Powell, On tbo Formulœ for tbe Dispersion of Ligbt, P/iiV.
.If/i^., (3), VIII,IX,X.
i836. Cauchy, Sur la dispersion de la lumière, C. /?., II, 183 , 307. i836. TovEY, On tbe Tbeory of tbe Dispersion of Ligbt, Phil. Mag., (3),
vin, 7.
(le rétber par la présence des molcciiles pondérables, on amve à une formule analogue à celle de Cauchy,
De plus, M. Briot, en égalant à zéro le ternie qui indiquerait Texislence de la dispersion dans le vide, obtient une condition d'où il résulte que les molécules d^éllier se repoussent en raison inverse de la sixième puissance de la distance, loi à laquelle il était déjà arrive dans ses recherches sur la double réfraction.
De même, en égalant à zéro le terme proportionnel au carré de la longueur d'ondulation qui représente Tinfluence directe des molécules pondérables sur le mouvement vibratoire de Téther, terme qui, d'après l'expérience, doit avoir une valeur insensible, il arrive à ce résultat remarquable que la force qui s'exerce entre les molécules pondérables et i'élbcr varie en raison inverse du carré des distances. (L.)
i836. Kella.nd, On (he Dispersion of Light as Explained by the Hypolliesis
ofFinite Intervais, Cambr. Tratis., VI, i53. — Inst,, IV, ao.'i.
i838. Baden Powell, Hemarks on the Theory of Ihc Dispersion of Light as
connected wilh Polnrization . Phil. Trans., i838, *i53; 18A0. 157. — InsL, IX, 3i5.
i838. Hadicke, Berecbnung und Interpolation der Breckungsverhâllnisse
nacU Cauchy's Dispersiontheorie und deren Anwendung auf doppeitbrechende Krystalle, Pogg* Ann., XLV, a 46, /i5o.
1839. Baden Powell, On some Points in the Theorv of the Dispersion of
Light, P/*i7.¥fl^.,(3),\IV.
1 84 1 . Baden Powell , A gênerai aiid elementary View of the Undulatory Theory
as Applied to tfie Dispersion of Light, London.
i84i. Baden Powell, On the Dispersion of Light. 1 1'* Rep, of Brit, Assoc.
— Inst,, IX, 3i5.
i84â. Caucuy, Mémoire sur les lois de la dispersion plane et de la dispersion circulaire, C. R,, XV, 1076.
1860. M0S8OTTI, Sulle propriété degliSpettri di Frauenhofer fortnati dai reti-
coli ed Analisi délia Luce che somministrano , Pisa.
1866. Broch, Théorie der Dispersion des Lichts, îhve's Repert. der Phys.,
