POLARISATION BOTATOIRE DANS LA LUMIÈRE CONVERGENTE

259. A«tl«ndu qimrte sur la lumière polarisée toM^pie les rayons sont Inelinée sur Taxe. — Fresnei n*a étudié l'action exercée par une plaque de quartz sur la lumière polarisée rectilignement que dans le cas où les rayons polarisés qui traversent une lame de quartz sont parallèles à Taxe. II restait à examiner les phénomènes que produit le quartz dans la lumière convergente et à en rendre compte. C'est ce qu'a fait pour la première fois M. Airy en i83i ^^K Dans les travaux de M. Airy la théorie a presque toujours précédé l'expérience; nous suivrons donc ici le même ordre et nous ferons connaître en premier lieu les hypothèses que M. Airy a admises en se laissant guider par l'analogie, hypothèses qui ont trouvé jusqu'à un certain point leur confirmation dans l'expérience.

Pour analyser les phénomènes produits dans la lumière convergente par une plaque de quartz taillée perpendiculairement à l'axe, il faut évidemment connaître l'action exercée par cette plaque sur un rayon polarisé rectilignement qui la traverse dans une direction inclinée sur l'axe. M. Airy, partant de ce fait que dans une direction perpendiculaire à l'axe il n'y a pas de différence appréciable entre les propriétés du quartz et celles d'un cristal quelconque à un axe, fut conduit à supposer que le passage des vibrations circulaires aux vibrations rectilignes a lieu par l'intermédiaire des vibrations elliptiques, c'est-à-dire que, de même que dans la direction de l'axe le quartz ne peut transmettre sans altération que des rayons polarisés circulairement, et dans une direction perpendiculaire à l'axe que des rayons polarisés rectilignement, dans une direction inclinée il ne transmet sans altération que des rayons polarisés elliptiquement. En regardant ainsi le phénomène qui se produit dans une direction inclinée comme intermédiaire entre ceux qui ont lieu dans une direction parallèle à l'axe et dans une direction perpendiculaire , il

<*) Camhr. Trmu,, IV, pari. i« p« 79« 198.

faut admettre que tout rayon polarisé rectilignement qui pénètre dans le quartz suivant une direction inclinée sur Taxe se décompose en deux rayons polarisés elliptiquement en sens contraire et se propageant avec des vitesses inégales. Le quartz étant un cristal attractif , si la plaque que l'on considère est dextrogyre, le rayon polarise* elliptiquement de gauche à droite correspond au rayon ordinaire, et celui qui est polarisé elliptiquement de droite à gauche correspond îiu rayon extraordinaire; c'est l'inverse si la plaque estlévogyre.

Dans les cristaux qui ne jouissent pas du pouvoir rotatoire, les vibrations du rayon ordinaire sont perpendiculaires à la fois à l'axe du cristal et à la normale à l'onde; celles du rayon extraordinaire sont parallèles à la projection du rayon sur le plan de Tonde. Tout étant symétrique dans le cristal par rapport à ces deux directions, il e6t naturel d'admettre que dans le quartz les grands axes des ellipses de vibration des deux rayons polarisés en sens contraire leur sont parallèles, et par suite que l«s grands axes de ces ellipses sont h angle droit.

Les phénomènes particuliers au quartz cessant d'être sensibles dès que le rayon forme avec l'axe un angle même peu considérable, il faut admettre que les ellipses de vibration, qui se confondent avec des cercles lorsque le rayon est parallèle à l'axe , s'aplatissent rapidement de manière à se confondre presque avec deux droites perpendiculaires l'une h l'autre dès que le rayon fait avec Taxe un angle tant soit peu considérable. M. Airy, en s'appuyant sur ce que dans le quartz la différence des indices ordinaire et extraordinaire est très-faible, supposa de plus que la transition se fait de la même manière pour les deux rayons polarisés en sens contraire , c'est-àdire que les ellipses de vibration des deux rayons polarisés ellipli- ([uement en sens contraire qui proviennent d'un même rayon incident sont toujours semblables.

Quant è la différence de marche entre les deux rayons, on ne peut plus admettre qu'elle soit la même que dans les cristaux soumis aui lois générales de Huyghens, du moins pour les directions voisines de Taxe, puisque cette différence ne se réduit pas à zéro lorsque le rayon est parallèle à l'axe. M. Airy supposa que dans le quartz la différence de marche entre les deux rayons polarisés elliptiquemenf

I sens contraire est égale à la différence de marche déduite de la i de Huyghens pour les cristaux à un axe, augmentée d'une quanté indépendante de la direction du rayon incident, mais variant I raison inverse de la longueur d'ondulation, de même que la difrence de marche des deux rayons circulaires de sens contraire li se propagent parallèlement à Taxe, ce qui revient à admettre 16 dans le quartz la surface d'onde se compose, comme dans les istaux ordinaires à un axe , d'une sphère et d'un ellipsoïde de réyotion , mais que la sphère et l'ellipsoïde ne sont pas tangents. Il faut marquer que cette hypothèse doit toujours être très-approximativeent conforme à la vérité dans le voisinage de l'axe, ce qui est suffînt puisque, dans les directions qui font avec l'axe des angles un m considérables, le pouvoir rotatoire du quartz est négiigôable visvis de la double réfraction régulière.

En admettant la similitude des ellipses de vibration et la consnce de la différence de marche en excès due au pouvoir rotatoire , 1 peut rendre compte des phénomènes que présente le quartz dans

lumière convergente.

A. — Lumière convergente polarisée rectilignement.

260. Formules sénérales pour les inieiiflitéfl des ImoiTMi MM l'onoljineur. — Nous allons nous proposer de déterminer s principales particularités que présentent les images fournies dans ïï analyseur biréfringent par une plaque de quartz taillée perpendi- Jairement à l'axe et placée dans la lumière convergente. Nous sup- >8erons en premier lieu que la lumière convergente soit polarisée tUlignement. Les appareils qui serviront à observer ces phénomènes iront les mêmes que ceux que nous avons décrits h propos de la )larisation chromatique, c'est-à-dire que tous les rayons qui trasrsent la plaque dans une direction déterminée iront converger en Q même foyer réel ou virtuel, et c'est l'intensité que présentent eh î foyer les rayons d'une couleur déterminée qu'il s'agira de calculer, omme nous n'aurons à considérer que des rayons traversant la laque dans une direction voisine de l'axe, nous pourrons, au lieu 3 considérer des rayons tombant obliquement sur une lame per- 3Ddiculaire à l'axe, supposer que les rayons tombent normalement

sur une lame inclinée par rapport à i'aie. Il n'en rtisultera aucune erreur .sensible el le calcul sera simplifié, parce qu'il suffira de tenir compte de ia diiTérence de marche produite par le passage à travers In lame.

Soient (fig. 36) PP', SS' et II' les traces, sur un plan perpendiculaire au rayon incident, du plan primitif de polarisation, de la section principale de l'analyseur et de Fiï-ib la section principale de la lame de

quartz; désignons par t et t, comme dans la théorie de la polarisation chromatique, les angles formés par ces sections principale» avec le plan primitif de polarisation.

Représentons par sin av rp l'un des mouvement vibratoires dont 1^ superposition constitue la lumière blanche , ce qui revient à prendras

pour unité, abstraction faite de la réflexion qui s'exerce h la pre ■

roière face de la lame de quartz, l'amplitude de ce mouvement vibra

toire qui est dirigé suivant OM perpendiculairement h PP', et poson^v pour abréger

Le rayon, en pénétrant dans le quartz, se décompose en deup^ rayons elliptiques de sens contraires. Sï nous supposons le quarts* dextrogyre, le rayon ordinaire est polarisé de gauche h droite et I^S rayon extraordinaire de droite à gauche.

En représentant par ? et J' les composantes du mouvement pa — rallèles à II'. par » et >j'les composantes perpendiculaires à II', etc^M désignant par k une quantité comprise entre zéro et l'unité et d&^pendant de l'angle que fait le rayon incident avec l'axe, on aura, p- ■) tenant compte de ce que les deux ellipses de vibration doivent èlK^f semblables et avoir leurs axes perpendiculaires à l'entrée du rristfw' pour le mouvement vibratoire du rayon ordinaire,

/,\ ( ri = msin{lp+n).

!t pour le mouvement vibratoire du rayon extraordinaire,

I n'=nsm{(p+v), '^ j f=^cos(<p+.).

Ces quatre mouvements devant reproduire le mouvement du rayon icident égal à sin ^ et dirigé suivant OM , la somme de leurs projetions sur OM doit être .égale à sin ^ et la somme de leurs projeclons sur OP doit être ntiUe. Ces deux conditions donnent les quations

Iiv + ri') cos t — (l+f ') sin t=sin 0, {iy+»?')sint+{|+Ç')cost=o.

Ces deux équations doivent être satisfaites quel que soit le temps, 'est-à-dire quel que soit ^. On aura donc quatre équations de conlition en remplaçant dans les équations (3) les quantités Ç, ^\ r, v' par leurs valeurs tirées des équations (i) et (9), et en égalant i zéro dans chacune d'elles les coefficients de sin ^ et de cos ^, ce [ui donne

(mcosf£-|-ncosv)cost— Imksinfx — I^^'^*') sini»= 1, (msin|ùi+nsinj;)cost-f- (»tA;cosf£— jrcosvj sint = o, (iwcosf£+»cosv)sini+ Imksin f — r sin vj cost=o, (msin/ùt4-»sinv)sini+ (wiA;cos/ùt — jrcosvj cosi=o.

De ces quatre équations on tire d'abord

mcos|ùt+wcosv=cosi, mAcos/ùt— tcosj;=o,

m sin jùt + w sin V = 0 , iwA sin a — r sin l^= — sin î ,

it enfin

cos I k sin 1

mcos/EA = Y17j^» msinfA^^ — YTT*"

A* cos I fc sin I

2û2 POLARISATION ROTATOIRE.

En substituant ces valeurs dans fes équations (i) et (9) on a, pou 1 les composantes des vibrations elliptiques,

»; = — nri(cosisin^— Asinicos^),

k $= —j^ (cosî cos ^+ Asin i sin ^) ,

ri' = I, ( 1^ cos t sin(p + k sin t cos (p ) ,

Ç' = — — Tt(/:costcos(p— -sîntsin(p).

Les deux rayons elliptiques traversent la lame de quartz avec d(^ vitesses inégales, et, si l'on désigne par G et D des épaisseurs d'a£ telles, que la lumière emploie à les traverser des temps respect î vement égaux à ceux que mettent les rayons polarisés de droite gauche et de gauche à droite pour se transmettre à travers la lannc^' de quartz, il faudra à la sortie du cristal remplacer (p dans Yeyc —

pression des composantes du rayon ordinaire par 3^(x""5r)' ^*

(t c \ T"~Iy '

Si l'on pose pour abréger

îl7r^==y, 9 7rT-=d,

il suffira de remplacer (p par (p—y pour le rayon extraordinaire et par (p — ^ pour le rayon ordinaire.

Le mouvement vibratoire du rayon ordinaire dans Tanalyseur est représenté par

{v + rj') cos(î~«)~(|+|')sin(t'-«),

en ayant soin de substituer, dans les valeurs de Ç et de »?, (p — <î à Ç, et, dans celles de Ç' et de »?', ^ — 7 à (p. On obtient ainsi pourfp mouvement vibratoire l'expression suivante :

— — p|[cosi sin((p — 5) — k sini cos(^ — <î) + A? cosi sin((p— y)

4-^ sint cos(^ — 7)] cos(i''^l + [Acostcos(^— <î)+fc^sint sin(^— <î)--icosî cosl^-?)