A^)^û>^==|[cosi cos(t — «) + Ai^sini sin(t— «)] cos {y— S
+ ks\ns sin {y— S) + k^ cos i cos (<— s) + sin i sin (ï - «) J + 1 — ksins cos(y— ^)+ [cosi cos(i-— «)
+ /r^sin î «in («—«)] sin {y— S) + k sin s
d'où, en développant,
( 1 +k^Y ^^= [cosï cos(i — «)+A^sinî'sin(î — «)12+ 9 A^sin'^s
+ [Ai^cosi cos(i — «) + sini sin(t — s)]^
+ 2 1 [cos i cos (î — «) + k^ sin i sin (t — «)]
X [/:^cosî cos(î — «) + sini sin(t— s)] — Ai^sin^^j
X cos(y — ^)+ 9 A;(i + /r2) sin« cos« sin(y — ^).
En remplaçant a cos (y — ^) par ù — à sin 2^- — » la somme des termes indépendants de y — ^ se réduit à [i+k^Y cos^s, et il vient
(1 +A-^)^w^ = (1 +Â?)2 cos^ 8 + îik(^i +k^) sms cos s sin (} — ^)
— 4 [cost cos(t — s) + A- sin t sin (* — «)]
X [k^ cos î cos (»— «) + sin i sin (»—«)]
— A^sin^* I sin^ 2-
En développant le troisième terme du second membre et en divisant les deux membres par (i +l^)\ il vient» toutes réductions faites,
oj*^ = cos^ s H — — n sîn 9 s sin {y — S)
(fi) ' —, YTi <^os u 8 sm^
(i - A*)* . . . /. V . qy-S — — rTTÂ sin 3 I sm 9 ( I — « ) snr
La formule se simplifie en remplaçant les deux premiers term du second membre par
cos^« ( cos^^^ hsm^ - — ) H rn sm« cos« sm
/ l«,w>2/ 1 l .^^ ^ ^r.n ^ ^.^ £ ^QS£ —
ce qui donne après réduction
9 / y — S , afc . . y-J\2
û,2 = ( cos« cos ' — —Tî sm« sm )
+ ('"] lé)^ [cos*« — sin 9tsin 9 (t— «)] sin^^^ — •
Enfin, en remarquant que l'on a
cos^ « — sin 9 1 sin 9 (t — «) = cos^ « — - [cos a « — cos ( A i — a «)]
= i[i+cos(/it— 9«)]
il vient définitivement
ûT = ( cos« COS ^ — -Tî sin« sm ^--— 1
+ (tTPJ cos2(2t~«)sin«^-
On peut soumettre cette formule à deux vérifications en cherchant ce qu'elle devient dans les deux cas extrêmes où l'on a k^o ou
LUMIÈRE CONVERGENTE. 2â5
il;= 1. Lorsque k est nul, on doit retrouver la formule qui convient aux cristaux dépourvus de pouvoir rotatoire; il vient en effet dans ce cas
ei|2 ^ cos^s cos^ h cos^ ( u i — «) sin^ - —
= cos^ 8 + [cos^ { 3 1 — «) — cos^«] sin^ ^--; — = cos-« — sm 2 1 sin a ('— «) sin-*^-; —
= cos^« — sin atsin a (i— -«)sin^7r > .
Si Ton fait k= i^ on doit obtenir la formule qui représente la propriété rotatoire du quartz dans la direction de son axe : la formule générale se réduit effectivement, dans cette hypothèse, à
cJ^=(cos8 cos^^ hsin« sin 2- — \^=cos^(s — ^ — K
expression qui est maximum lorsqu'on a
S^S ti— .«-»• I
ce qui indique que le rayon, au sortir delà lame de quartz, est polarisé reclilignement dans un plan faisant à droite du plan primitif
un angle égal à 2-— ou à tt — v —
La formule (5) montre que généralement il n'y a pas de lignes incolores, car, s étant quelconque, il n'existe aucune relation entre les angles t et s qui rende l'expression de l'intensité indépendante de y — Sj c'est-à-dire de la longueur d'ondulation.
Quant aux lignes isochromatiques, elles sont d une forme plus complexe que dans le cas des cristaux dépourvus de pouvoir rotatoire» Pour en déterminer rigoureusement la forme, il faudrait con- Qaitre la manière dont k varie avec l'incidence, c'est-à-dire savoir comment se fait la transition entre la forme circulaire et la forme t'ectiligne des vibrations quand on passe d'une direction parallèle à l*axe à une direction perpendiculaire. On peut cependant, comme
2/i6 POLARISATION ROTATOIRE.
nous allons le voir, déterminer approximativement la forme de ces courbes sans posséder cette donnée.
261. Section principale de ranaljaeur parallèle an perpendiculaire au plan primitif de polariflation. — Absence de croix au centre de rimasc* — Anneaux circulaires, — Le cas le plus simple est évidemment celui où la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation. Si l'on suppose s égal à zéro, c'est-à-dire la section principale de l'analyseur parallèle au plan primitif, la formule [li) se réduit à
et par suite on a pour l'intensité de l'image extraordinaire
Si 8 est égal à - « les deux images échangent leurs intensités.
Nous allons considérer en premier lieu l'image extraordinaire dans le cas où s est égal à zéro. Rien , dans rex{)ression de l'intensité de cette image, n'indique l'existence de lignes incolores, car pour aucune valeur de t elle ne devient indépendante de la longueur d'ondulation. Mais, si l'on suppose â: très-petit, c'est-à-dire si l'on considère les phénomènes à une certaine distance de l'axe qui n'est pas nécessairement considérable, d'après ce que nous avons dit sur la manière dont se fait le décroissement de A à partir de l'axe, il pourra apparaître des lignes incolores. Dans ce cas, en effet, on a approximativement
8^ = sin^ 2 1 sin*-* - — i
expression qui s'annule, quelle que soit la longueur d'ondulatiod^ lorsque l'angle t est égal à zéro ou à 90 degrés. Il suit de là que dans l'image extraordinaire, lorsque la section principale de l'analyseur est parallèle au plan primitif ^ on aura à une certaine &^
tance u centre une croix obscure dont les branches seront Tune parallèle, Tautre perpendiculaire au plan primitif; mais les branches de cette croix ne se prolongeront pas jusqu'au centre, et de plus elle ne sera pas complètement noire, parce que k ne peut pas être supposé entièrement nul pour une direction inclinée sur l'axe; ces deux caractères distinguent cette croix de celle que donnent les cristaux à un axe dépourvus de pouvoir rotatoire. Quant au centre de l'image, il ne pourra jamais être complètement obscur dans la lumière
blanche, parce que la quantité sin^^^ ne peut pas s'annuler simultanément pour toutes les couleurs. On aura donc, au centre de l'image, une plage colorée dont la teinte dépendra de l'épaisseur de la lame, et la croix ne sera visible qu'en dehors des limites de cette plage.
II est évident que l'image ordinaire présentera des apparences complémentaires et par suite une croix à peu près blanche. Lorsque la section principale de l'analyseur est perpendiculaire au plan primitif, les phénomènes sont renversés : la croix est blanche dans l'image extraordinaire et obscure dans l'image ordinaire.
Quant aux lignes isochromatiques, les valeurs trouvées pour les intensités des deux images , lorsque la section principale est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, montrent qu'elles sont dans ce cas de forme circulaire. On aura donc dans la lumière homogène, à partir d'une certaine distance du centre, des anneaux alternativement brillants et obscurs, et dans la lumière blanche des anneaux colorés. Les maxima correspondant à une couleur déterminée sont donnés par la condition
et les minima par la condition
N étant un nombre entier quelconque, si Ton considère l'image ex^ traordinaire dans le cas oà s est égal à zéro» Mais , comme on a
ces conditions se réduisent à
et à
Si le cristal ne possédait pas le pouvoir rotatoire, la différence d< marche serait donnée, comme nous l'avons vu dans la théorie d( la polarisation chromatique (217), par lexpression
a? + y^ élant le carré du rayon de la ligne i^ochromatique et Jl^ distance focale principale de la lentille qui fait converger les rayons L'hypothèse de M. Airy consiste à ajouter à cette différence d* marche une quantité indépendante de la direction du rayon inci — dent, proportionnelle à l'épaisseur de la lame et en raison inver&> ^t de la longueur d'ondulation; si l'on désigne par H une constantcsi * on pourra donc écrire
et, suivant que cette quantité sera égale à un nombre impair (»ti pair de demi-longueurs d'ondulation, la ligne isochromatique correspondra ù un maximum ou à un minimum. Il résulte de là nne loi simple pour les diamètres des anneaux brillants et obscurs correspondant d une même couleur: les différences entre les carrés de ces diamètres sont constantes.
En résumé on voit que, lorsque la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, chaque image se compose d'une plage centrale colorée et d'une série d'anneaui circulaires colorés qui sont coupés par une croix obscure ou blanchâtre : les branches de cette croix ne s'étendent pas jusqu'au centre et sont l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan primitif, et chaque anneau conserve la même teinte sur tout son contour.
ir
262. Section iMPinelpale de Taïuiljeeiir dans une |iMilion quelconque. — €ourl»es quadratiques et toelie eentrole eneroix. — Si la section principale de l'analyseur fait avec te plan primilif un angle quelconque, la formule (5) ne se simplifie pas; il n'y a plus alors de lignes incolores, et les courbes isochromatiques sont beaucoup plus compliquées que dans le cas que nous menons d'examiner. On peut néanmoins se faire une idée de la forme ie ces courbes, par les considérations suivantes.
Posons
d'où
a/i . (n-ft')Une4'
cos s — •-— $ sin A — — «
v/4ik'+(i + A')*taiig'>f \/W+ (1 + *•)' teng* t(/
En substituant ces valeurs dans l'équation ( 5 ) , il vient
, àj^ r r-^ , , , • 7-Sii
-^[m?J cos^(3t-"«)sm2V' d'où
cJ^ = [cos^ 8 + . ^^.tj, sin^ «J cos^ (J^ >(/j
+ {\TÎ?y cos^ai-*) sin2 2^,
et enfin
<y2 = I cos^ s + i^^i^^y sin^ «J X
4fc* „;2 Jl ^ 1 -4-cos(y— ^ — 3>(/)
1 /'"■"**\*-i 2/ • X,, i-cos(y-^)
+ VTTFJ cos2(*-^»-*)x — r —
Si l'on suppose que les différents points d'une même courbe isochromatique ne sont pas à des distances très-différentes du centre, on pourra regarder A; comme sensiblement constant sur cette courbe, et il suffira, pour avoir l'équation approchée des courbes isochromatiques» de prendre la dérivée par rapport à 7 — ^ du second
Vmdct, VI. — Optique, II. 17
â50 POLARISATION ROTATOiRE.
' luembre de Téquation précëdenle , en y regardtat k comme coDStaot. On obtient ainsi pour les courbes isochromatiques l'équatioo
(G) tancfr S j.v ^^^ ^.<' + /^')'c»'".+ jfe'sin'^ + (.-fe')'cm'(a.-.) \»} «"8^7 " V) ^"«'f^, + /i-)'(;os'î + 4fc'8in*ï-(.-ft')'cos*(a.-*)
ce qui montre que tang (y - S — -^j est loujours plus grand que tang^. Si la différence de cps deux tangentes était constante, y — S conserverait la même valeur quel que soit l'angle i, et îes courbes isochromatiques seraient cire iiht ires. Mais réqua'tion.(6) montre que celle difTérencc varie avec l'angle i; il faut en conclure que les différi'-nts points de la courbe isoclirnniatique sont à des distances inégales du centre; les plus él()i;,'nes sont ceux qui correspondent aux valeurs de i pour lesquelles [a différence entre tang (y — S—^) el tang^* csl ma\imiini, et les plus rapprochés ceux qui correspondent au.<! valeurs de t pour lesquelles cette différence est minimum. Or l'équation (6) montre que la différence est maximum lorsqu'on a
■Jt — s = c'est -à- dire
et minimum lorsqu'un a
LUMifiRE CONVERGENTE. 251
i'aur obtenir la forme des courbes isochrouiatlqiies, il faudra donc
déaire tin cercle de rayon OR (fig. 3;) et ajouter aux rayons de ce
cercle une (juanlilé variable qui
sera maximum suivant les droites
AB et CD, c'est-à-dire suivant les
bissectrices des angles formés par
la direction du plan primitif et de
la section principale de l'analyseur,
et minimum suivant les droites EF
et GH, qui font des angies de
45 degrés avec les précédentes. On
obtient ainsi une sorte de carré à
angles éniouïsés, que l'on désigne
sous le nom de courbe quadratique.
C'«sl là, eo elTet, la forme que présentent les courbes isocliroma-
tï<{ues, du moins à une distance sensible du centre.
Si l'on suppose, comme dans la figure, le plan primitif de polaristlion horizontal et la section principale de l'analyseur faisant. ■* droite de ce plan, un angle s compris entre zéro et go degrés, on voit que l'angle le plus élevé de la courbe quadratique se trouve ^ aroile de la verticale et à une distance angulaire de cette verticale "iférieure à 45 degrés. Si l'angle s est compris entre go degrés et i8o degrés, cet angle étant toujours supposé compté vers la droite. Uogle '^ est aussi compris entre 90 degrés et 180 degrés, et, ^1 désignant par if' un angle plus petit que 90 degrés, on peut poser
