ESSAIS DE THÉORIE DE LA POLARISATION ROTATOIRE
288. CSmwrtdérmtâoiui géwkéwmlM^ «^ Après avoir étudié les mncipaux phénomènes de la polarisation rotatoire, il nous reste naintenant à parler des tentatives qui ont été faites en vue de les embrasser tous dans une même théorie mathématique.
On donne souvent le nom de théorie aux calculs d'Airy, que lous avons fait connaître plus haut a propos de l'action d'une lame le quartz sur ia lumière convergente. Mais il ny a là, à proprement )arler, qu'une analyse expérimentale poussée plus loin à l'aide de |uelques hypothèses sur la nature des vibrations dans un cristal à m axe, doué du pouvoir rotatoire « quand le rayon se propage dans ine direction voisine de l'axe. Il ne se trouve d'ailleurs dans le travail d'Airy aucune trace d'une explication mécanique des phéno«nènes.
A ce dernier point de vue les recherches que nous allons exposer lans ce chapitre n'ont pas été phis heureuses. Elles ont néanmoins m mérite réel, c'est d'avoir ramené les phénomènes de la polari- ;ation rotatoire h des équations différentielles analogues à celles |u'on déduit des phénomènes de la double réfraction, mais préientant certaines particularités qui permettent de rendre compte les propriétés spéciales qui se manifestent dans les cristaux doués lu pouvoir rotatoire. Le pas qui reste encore à faire serait de trouver a raison mécanique de ces changements dans les équations difféentielles. Mac Cullagh a le premier, en i836 ^^\ examiné les modiications à apporter dans les équations différentielles de la double éfraction pour tenir compte du pouvoir rotatoire, et ce sont surtout es travaux que nous allons exposer. Cauchy a publié très-peu de bose à ce sujet; nous aurons cependant à donner quelques idées ommaires sur ses intentions de théorie.
Nous allons examiner successivement le cas des cristaux à un
') h. ïrrm»., Wll, piirl III, fi(\\.^ Provectl. nlthr h. ItW., I, .{«.t.
306 POLAIUSATIO.N UOTATOIUE.
axe, celui des cristaux à deux axes, et eiilin nous nous occuperoiibdes dissolutions actives.
A. CkISTAUX a U!^i AXE.
:289. Équations différentielle» du mouvement vibratoire dans un eriatal à un ame doué du pouvoir rotatoire, lorsque l'onde ineidente oot perpendieuiaire à i'ame. —
\ou8 examinerons en premier lieu le cas où un rayon polarisé traverse dans la dii*ection de l'axe un cristal à un axe doué du pouvoir rotatoire.
D'après ce que nous avons vu dans la théorie de la dispersion (171), si le cristal ne jouissait pas du pouvoir rotaloire, en négligeant l'influence de la dispersion ^ c'est-à-dire en ne consenaiil (|ue les coellicients différentiels du second ordre, les équations différentielles du mouvement vibratoire d'une molécule d'éthcr sur un rayon polarisé se propageant dans la direction de l'axe seraient les suivantes, en supposant qu'on prit pour axe des z la normale à l'onde, c'esl-à-dire l'axe du cristal, et en désignant par x, y, z \es coordonnées de la molécule considérée, par Ç, 17, S les projections du déplacement de cette molécule sur les trois axes, et par b la vitesse de propagation de la lumière suivant Taxe du cristal :
( * ^ ^ iN , . (N
Ces équations ont pour solution la plus, simple
• i ?=asin(L---.s/ + (p),
( >;=-,âsin(/i:~ ,v/-!-x),
les (|uantités a, jS, ^ et ;^ étant des indéterminées. Quant aux quantités k et 8, leur rapport est déterminé, et pour Tobtenir il suffit de substituer dans les équations (1) les valeurs de Ç et de v données par les équations (9). On trouve, en substituant la valeur de Çdans la première des (M[uations,
d'où l'on tire
«•■' - h-' le' et 7 - b.
Ainsi le rapport r est égal à la vitesse de propagation de la lumière
dans la direction de la normale à l'onde.
Pour représenter toutes les propriétés d'une lame de quartz dans la direction de son axe, il sulilt de modifier les équations difTércn- (ielies (i) par l'addition de deux termes de signes contraires. On ajoute h la première équation un terme proportionnel à la dérivée troisième de n par rapport à z. et à la seconde équation un terme composé avec Ç comme le précédent l'est avec >;, et affecté d'un signe contraire. Les équations (i) deviennent alors
c désignant une quantité constante. Il faut bien remarquer que cette modification que l'on fait subir aux équations différentielles est tout à fait arbitraire et ne s'appuie sur aucune raison mécanique ; elle ne sera justifiée que lorsque nous aurons montré que les coiiséijuences qu'on en lire s'accordent avec l'expérience.
Le seul aspect des équations (3) indique qu'il n'est plus possible, comme cela avait lieu pour les équations (i), de déterminer les quantités ^ et v indépendamment l'une de fautre, ce qui indique que le mouvement vibratoire de la molécule d'éther doit être curviligne et s'effectuer suivant une courbe déterminée. Nous allons faire voir que ce mouvement est nécessairement circulaire et que deux mouvements circulaires de sens contraire se propagent avec des vitesses différentes.
Intégrons en premier lieu les équations (3); les solutions exponentielles ne pouvant évidemment pas convenir à cause de la périodicité du mouvement vibratoire, nous prendrons encore pour intégrales les é(|uations
ç=-asin(/i:- -«(-h(p).
les (|uanlités a, j3, ^, ^ ^^^^^ ^^^ indéterminées. On en déduit
En substituant ces valeurs dans les équations différentielles (3) ^ il vient
^ *^ 1 (2s'^sin{kz'- sl + x)^b^k'' I3sm{k:- sl+x)
' — ck^a cos ( kz — sl + ^).
z et l étant des variables indépendantes, il faut que ces équations soient satisfaites pour toute valeur de z et de t, et par suite aussi pour toute valeur de kz — at. Les coefficients de sm[kz — 8t) et de cos(kz — 8t) doivent donc être nuls dans les équations (A), ce quî conduit à quatre équations de condition :
a if^ cos ^ =^ a b'k^^ cos ^ - cfc^jS sin x i , a*- sin^=^afr-/i-sin^+<^A'*'*/3cos;t, ^ j jS^^cosp^^jS/Z-Â'^cosp^ + cA-^asin^,
• /S^^sinpt^jSt-A-^sinpt "cA^acos^.
On peut choisir arbitrairement la phase d'un rayon, ce qui revient à changer l'origine du temps; faisons donc ^=o, et les équations de condition vont nous permettre de déterminer x* La pn^uiièrc devient
a fi^ =. a b'k^ c/c^/S sin ^ ^
la deuxième devient
o = cA^jScosx.
Cette dernière condition peut être satisfaite en posant
iS = o ou
cosx==<'-
L'hypothèse j8==o n'est pas admissible, car, si on annule j8 dans la dernière des équations (5), a devrait aussi être égal à zéro, et alors le mouvement sérail nul. Il faut donc prendre la solution
cosx=o, d'où
Alors la première des équations (5) devient et la quatrième
(i:i-'^^bH^-rk^a,
(Yoù l'on tire
d'où
ck"
rrz
(*i par suite
et
a-=ii=/3.
Suivant que l'on prendra l'une ou l'autre de ces deux valeurs de a,
on obtiendra une valeur différente pour y rapport qui représente,
comme nous l'avons vu plus haut, la vitesse de propagation du mouvement vibratoire suivant la normale ù l'onde.
Les équations du mouvement satisfaisant aux équations différentielles (i) deviennent, en y faisant, d'après ce que nous venons de trouver,
j Ç-asin(fo-*/),
310 POLAHISATlOiN HOTATOIHK.
Il faut joindre h ces deux équations )a condition
(7) «^^-//V.-2::pcA-3,
c|ui résulte des conditions (5) en y portant les valeurs de ^, de x ^' deiS.
Le signe — dans l'équation (7) correspond au signe + dans la seconde des équations (6), et réciproquement.
Les équations (6) représentent, comme on le voit, deux rayons polarisés circulairement en sens contraire et se propageant avec des vitesses différentes. Toutes les lois expérimentales de la polarisation rotatoire peuvent en être déduites.
Nous allons maintenant chercher comment la valeur de la rotation est liée aux constantes.
L'équation (7) peu! s'écrire
ou
La différence des vitesses de propagation des deux rayons circulaires étant très-petite, il faut que l'équation qui donne r ait deux
racines très-peu différentes, ce qui exige que la constante r soit trèspetite. On peut donc développer 8 en série convergente suivant les puissances croissantes de A*, et réciproquement nous pouvons nous proposer de déterminer A* en fonction de 8 : c'est le problème du re* tour des suites. Supposons donc A' développé en série suivant les puissances de 8 y et bornons-nous aux deux premiers termes en posant
(8) A'=iiw-t-tw^;
le résultat final justiliera cette restriction. En substituant cette valeur de A- dans l'équation (7) qui doit toujours être satisfaite, on obtiendra les vîileurs de m et de n en égalant h zéro les coefficients (1<* .s^ et de 8^, pourvu qu'on néglige les termes d'un ordre supérieur à s^. En prenant le signe supérieur, l'équation (7) devient ainsi
ESSAIS l)K THEORIK. ^H
tous les termes qui contiennent 8 à une puissance supérieure à la troisième étant supprimés. Cette équation devant être satisfaite pour toutes les valeurs de s, il faut que les coefficients de «^ et de s^ soient nuls, ce qui donne
On lire de \h
cm* V
26* -xh*
En remplaçant m r»l w par leurs valeurs dans IVquation (8), il vient
En prenant le signe inférieur dans Téquation (7), on obtiendra
De ce qui précède on peut déduire la valeur de la rotation produite par une plaque perpendiculaire à l'axe d'un cristal doué du pouvoir rotatoire. Supposons, pour plus de simplicité, que le plan de polarisation du rayon polarisé rectilignement qui tombe sur In plaque soit perpendiculaire à l'axe des .r. Ce rayon , en pénétrant dans le cristal, se décompose en deux rayons qui sont polarisés circulairement en sens contraire. Les mouvements vibratoires sur ces deux rayons circulaires sont représentés, pour le premier, par les équations
?-- asin.«/.
n^oL cos ftt ,
et pour le second, par les équations
f r^^ -fltsinW,
rj' ^--^- - a cos si.
312 POLARISATION ROTATOtRE.
On voit que le premier de ces rayond est polarisé de droite à gauche et le second de gauche à droite. Après que le rayon a traverse une épaisseur z du cristal, les équations du mouvement vibratoire deviennent, pour le premier rayon circulaire,
et pour le second,
$ = asin (Ârz — «/), tf^0LCos(^kz--st)^
)/' - — a cos ( /•': — .'»/).
Si Ton suppose la constante r positive, k' sera plus petit que k, et on voit que le rayon polarisé rirculairement de droite à gauche est alors celui qui se propage le plus lentement, c'est-à-dire que le cristal est dextrogyre. Si la constante c est négative, cela indique que le cristal est au contraire lévogyre.
Les composantes du mouvement vibratoire suivant les axes des x et des y seront, lorsque le rayon aura traversé un cristal d'épaisseur z,
^+^' = a[s\n{k: — st) + s\n{k'z — 8t)\,
>;+>;'= a [cos (Ar— «f) - cos (A'z — «/)j ,
k-hk \ k-k
ç-f-Ç = 3asin ( :- stj cos z.
>;+ »? = - îia sm ( z ■— atj si
k-^k \ . k-k sm z
et enfin
|^ = -tang
Les vibrations du rayon émergent sont donc rectilignes et dirige
h droite de Taxe des x, avec le([uel elles font un angle ^al '
::. Par suite, le plan de polarisation a été dévié h droite dofl
angle égal à c, ol le cristal est dextrogyre, ce qu'il s'agissait «^
vérifier.
Pour une épaisseur de cristal égaie à l'unité, la valeur de la rotation est
OU, d'après les valeurs trouvées plus haut pour k et k\
ib'
Or, en désignant par T la durée de la vibration et par X la longriieur d'ondulation dans le cristal, les équations (9) du mouvement vibratoire montrent immédiatement qu'on a
el
par suite
27r awV * T X '
^ désignant la vitesse de propagation du rayon dans le cristal. En i*^ ' Joplaçant b par sa valeur dans l'expression de la rotation, il vient
Si on suppose V constant pour tous les rayons, c'est-à-dire si on ^^^Jige la dispersion, on voit que la rotation du plan de polarisation ®st, ^n raison inverse du carré de la longueur d'ondulation. Si cette ^^ n'est vraie que d'une manière approchée, cela vient précisément ^^ ce que nous avons négligé les termes qui tiennent compte du P^xivoir dispersif du quartz.
Si l'on n'avait pas voulu retrouver la loi qui lie la rotation avec la ^^^gueur d'ondulation, on aurait pu introduire dans les équations ^^fférentielles , au lieu des dérivées troisièmes de n et de f par rapport à 2, une dérivée quelconque d'ordre impair telle que
Tz '^ Tz "" d? '^ d?' ^ïi serait arrivé alors aux mêmes résultats généraux pour la rota-
VuDiT, VI. — Optique, H. ai
au POLAHlSATIOiN ROTATOIRË.
lion du plan de polarisation, mais non pas à la relation entre la rotation et la longueur d'ondulation que donne Texpérience, au moins d'une manière approchée.
D'ailleurs, rien ne prouve que ces dérivées d'ordre impair autre que le troisième ne doivent pas réellement figurer dans les équations différentielles. La seule chose que l'analyse précédente montre, c'est que la dérivée troisième a un coefficient beaucoup plus grand que les autres, en supposant qu'elles existent dans les équations.
290. Équati^iM différeiitiellcs du m^uvemeiit vIInp»t«ire dans un cristal à un axe d«ué du peuv^ir mmîmtoire, lorsque Tonde incidente eot oblique m l'axe. —
Nous pouvons maintenant généraliser la méthode précédente et considérer le cas où l'onde incidente est inclinée sur l'axe du cristal, c'est-à-dire où le rayon ne se propage plus suivant la direction de Taxe. Remarquons à cet effet que, dans un cristal à un axe dépourvu du pouvoir rotatoire, pour qu'une onde plane incidente ne donne qu'une seule onde réfractée, il faut qu'elle soit polarisée parallèlement ou perpendiculairement à la projection de l'axe du cristal sur le plan de l'onde. Quelle que soit la direction du plan de polarisation du rayon incident, on peut toujours le supposer décomposé à sojn entrée dans le cristal en deux rayons polarisés, l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement à la projection de l'axe sur le plan de l'onde, et on pourra appliquer au mouvement vibratoire de ces rayons, qui sont le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire, les équations différentielles que nous avons établies dans la théorie de la dispersion (171)- Si l'on prend pour axe des z la normale! l'onde, pour axe des y la projection de l'axe du cristal sur le plan de l'onde, et pour axe des ûû la perpendiculaire à l'axe des y tracée dans le plan de l'onde, les équations différentielles du mouvement vibratoire seront, pour le rayon ordinaire,
et pour le rayon extraordinaire,
dt^ "" ^ d2» *
A et B sont les carrés des vitesses de propagation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, et par conséquent on a, d'après ce que nous avons vu dans la théorie de la double réfraction (lâ2),
0 étant l'angle de la normale à Tonde avec l'axe du cristal , a et & ayant la même signification que dans la théorie de la double réfraction.
L'hypothèse de Mac CuUagh pour rendre compte de la polarisation rotatoire consiste à compléter les deux équations différentielles comme dans le cas précédent, en ajoutant au second membre de chacune d'elles un terme formé de la dérivée troisième par rapport à z de la variable qui entre dans l'autre équation, ces deux termes étant d'ailleurs affectés de coefficients égaux en valeur absolue, mais de signe contraire dans les deux équations. On obtient ainsi les deux équations différentielles suivantes :
dt' ^^ dz' ^ dz' * Les intégrales de ces équations seront donc encore de la forme
$=asin [lcz—8l+^), v=^(3sm{kz — 8t+xy
En substituant ces valeurs dans les équations (i) nous obtenons, i^omme dans le cas précédent, quatre équations de condition de la
Tonne
/ mcos^«==ncos(p+j9sin>|/,
a) l m'sin^-=n'cos^+ycos>|/,
On peut disposer arbitrairement de la phase d^un des mouvements ît poser ^=0, d'où résultera, comme nous l'avons vu dans le cas précédent,
C0S>|/= Oi
Bi
Il y a donc entre les deux mouvements composants une difTérence de phase d*un quart de circonférence, et on peut écrire
fj = ±^cos[kz — st).
Au lieu de conserver le double signe, nous allons introduire dans ces équations le rapport- que nous désignerons par A, cette lettre pouvant avoir les deux signes. Elles deviennent ainsi
I Ç=asin(fa; — «(), ïi=^hacos[kz — st).
La première et la quatrième des quatre équations de condition prennent alors la forme
d'où Ton tire
,2=Bik2-£^.
De ces dernières équations il est facile de déduire séparément le$ valeurs de h et de h. Le rapport t donnera la vitesse de propagation
et la valeur de h indiquera la forme du mouvement elliptique représenté par les équations (3).
En égalant les valeurs de h tirées des deux équations (&), on obtient une nouvelle équation ne contenant plus que k et qui est
cie
Bft»-5«
ou
{i?-kk'^){^-W) = c'lfi.
On a ensuite, pour déterminer h, en retranchant la seconde des équations (À) de la première,
o = (A-B)i2-cif (A-J),
d'où
h ck
et enfin
11 faudrait bien se garder de traiter les équations (5) et (6) par ]a méthode générale, car on serait conduit à des solutions tout à fait étrangères à la question. En effet, la constante c étant très-petite , l'équation (5) diffère très-peu de celle qu'on obtiendrait en remplaçant le second membre par zéro. Il suit de là que, bien que cette équation soit du troisième degré en ^, nous ne devons y considérer
que les deux racines voisines de-rei de i? • Chacune de ces valeurs
portée dans l'équation (6) déterminera le rapport h. Mais à chaque valeur de k doit correspondre une seule valeur de A, tandis que l'équation en donne deux; il importe donc de savoir choisir entre les deux racines de l'équation (6). Remarquons qu'à cause de la forme du dernier terme du premier membre de l'équation (6), si
l'une des racines donne le rapport -» l'autre racine sera égale à — -g •
Revenons maintenant aux équations {à) : nous aurons une valeur approchée de li en négligeant d'abord dans une de ces équations le terme en c et en tirant de là une valeur approchée de k qui servira à déterminer A au moyen de l'autre équation. Si l'on fait dans la première équation
la seconde donne
Or, pour le quartz, qui est un cristal attractif, on a B<C A et par suite 1 — tZ>o. Pour que le second membre de l'équation (j) soit
positif, il faut que A soit négatif si c est positif, c'est-à-dire si le cristal est dextrogyre (289).
Donc, pour la valeur de A^ voisine de -r il faudra prendre pour h
la racine négative de l'équation (6) si le cristal est dextrogyre, et la racine positive de cette même équation si le cristal est lévogyre. La
valeur de Ic^ voisine de g correspond au contraire à une valeur de h
positive pour les cristaux dextrogyres et négative pour les cristaux lévogyres. Il ne peut donc jamais y avoir d'incertitude.
Revenons maintenant à l'équation (6) et supposons que la valeur
de k soit voisine de t^; il faudra prendre la racine négative, qui est
Si nous portons cette valeur de h dans l'une des équations (i), par exemple dans la première, on aura entre s et la valeur de k voisine de -j= une relation qui sera
d'où l'on tire
(9) ,-^ = ^A» + ^y/(A-B)-^+/icU^
A ces deux équations (8) et (9) on peut joindre les suivantes, que l'on trouve par des raisonnements analogues et qui donnent h' eik',
Ces formules générales doivent être discutées dans différents cas particuliers. Examinons d'abord le cas le plus simple» celui où I» normale à l'onde est très-écartée de l'axe du cristal. Dans ces conditions la différence A — B a une valeur très-grande par rapport au second terme du radical, et ce radical peut alors se développer suivant la méthode ordinaire. Il en résulte que h' est très-grand et que
/* diffère peu de zéro. Cette petite valeur de h montre qu'à une distance sensible de Taxe les vibrations du rayon ordinaire ont lieu sur une ellipse très-allongée dont le grand axe est perpendiculaire à Ja section principale du cristal. Quant aux vibrations du rayon extraordinaire , la grande valeur de A' fait voir qu'elles ont lieu également sur une ellipse très-allongée, dont le grand axe est dans la section principale.
Développons maintenant la valeur de s^ donnée par l'équation (9), en prenant la valeur approchée du radical; il viendra
l'où
