uvres de É. Verdet

161. Historique. — L'expérience, d'accord avec la théorie, montre^que la vitesse de propagation des ondes sonores est toujours indépendante de la hauteur du son, et, par suite, de la durée des vibrations. Le phénomène de la dispersion prouve qu'il n'en est pas de même pour les ondes lumineuses, du moins quand elles se propagent dans un milieu pondérable; car, l'indice de réfraction d'un milieu par rapport à un autre étant égal au rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux, et cet indice variant avec la couleur, l'une au moins de ces deux vitesses doit nécessairement dépendrjp de la durée des- vibrations lumineuses. La difliculté qui résulte de cette différence entre les propriétés des ondes lumineuses et celles des ondes sonores n'avait pas échappé aux créateurs de la théorie des ondulations, et Euler en avait été particulièrement frappé '-^; mais, jusq\i';i Fresnel, aucune tentative ne fut faite en vue

) ^'i Ces leçons ont é[é professées en 1867 ^ l'Ecole Normale clans le cours de troisième année. Elles ont été complétées par M. Vordet lorsque, en iSGa, dans le même cours, il s'est occupé de la polarisation mafjnélique. '-' Opnscida caiii (irgiiniciili . ! , 917.

Vehdi-t, \'i. — Opliquo, II. I

de rendre compte des phénomènes de la dispersion dans l'hypothèse des ondes.

Fresnel remarqua que, dans le cas des vibrations lumineuses, la sphère d'activité des forces moléculaires, mises en jeu par le mouvement vibratoire, n'est plus nécessairement très-petite ])ar rapport à la longueur d'ondulation , comme cela a lieu lorsqu'il s'agit des ondes sonores, dont la longueur d'ondulation est incomparablement plus grande que celle des ondes lumineuses. Or, si la distance à laquelle les forces moléculaires sont sensibles n'est pas négligeable vis-à-vis de la longueur d'ondulation , il n'est plus exact d'admettre , comme on le fait dans la théorie des ondes sonores, que la propagation de chacun des ébranlements très-petits dont se compose une vibration n'est influencée en rien par la propagation des ébranlements qui précèdent ou qui suivent celui que l'on considère, et c|ue, par conséquent, la vitesse avec laquelle se propage chacun de ces ébranlements est indépendante de la manière dont ils se succèdent et de la durée des vibrations'^'. Cette explication sommaire, à laquelle Fresnel n'a pas eu le temps de donner une forme mathématique, est devenue le point de départ des inq^ortants travaux de Cauchy.

Dans son grand Mémoire sur la dispersion publié en i835'-' et qui constitue un de ses principaux titres de gloire, Cauchy s'est proposé de donner une explication complète des phénomènes de la double réfraction, de la polarisation et de la dispersion, en considérant l'éther, tant celui du vide que celui qui est engagé dans les corps pondérables, comme étant formé de molécules séparées par des intervalles finis, quoique très-])etits, et agissant les unes sur les autres par attraction ou par répulsion. Après avoir intégn-é les équations différentielles qui représentent, dans le cas le plus général, les mouvements vibratoires de l'éther, en supposant les déplacements des molécules très-petits, il monli-o ([Uf , si l'on tient compte des termes d'ordre supérieur qui ont été négligés dans la théorie de la double réfraction en supposant le rayon d'activité des forces mole-

^'^ Second snpplûmciil iiu proniioi' Mt'moiro siif iii donblo rélVaclion, Œuvres coiiiplètex dp Fresnel, t. 11.

'^' Nouveaux exercices de unilhèinalùjucs , Prague, 183'). — Lps deux promiors paragraphes ont l'ié publiés séparément on i 83o à Paris.

HlSTOHinUli 3

culaires négligeable par rapport à la longueur d'ondulation , on obtient pour la vitesse de propagation de la lumière une expression qui dépend de la longueur d'ondulation; il déduit ensuite de la forme fpie prennent les érpiatious intégrales, loi'sque le milieu est isotro|)e, une relation entre la vitesse de ])roj)agalion de la lumière dans un milieu isotrope et la longucui' d'ondulation dans ce milieu, ce qui lui permet d'exprimer l'indice de réfraction du milieu par rapport au vide en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide, au moyen d'une formule qui se prête aux vérifications expérimentales.

Caucliy considère l'éther engagé dans un corps pondérable homogène connue étant lui-même homogène; mais ici se présente une objection d'une grande importance, f/action des molécules pondérables sur les molécules d'éther doit n<'cessairement modifier la disposition de ces dernières, qui, en se condensant autour des molécules pondérables, forment nécessairement des couches de densité variable. 11 est donc impossible de regarder l'éther comme conservant une densité constante à l'intérieur d'un corps pondérable, même lorsque celui-ci est homogène. (Jauchy s'est efforcé de lever cette difficulté en montrant qu'à r('tlier de densité variable, et à la matière pondérable dont un corps est réellement formé, on ])eut substituer un étherjictij de deimté constante, pourvu (|ue cet éther présente la même constitution (pie le milieu (|u'il remplace, c'est-à-dire cju'il soit isotrope ou cristallisé suivant que ce milieu est lui-même isotrope ou cristallisé, et, dans ce dernier cas, (pi'il offre les mêmes caractères de symétrie'"; c'est de cet éther fictif (pi'a toujours entendu parler (îauchy et (pi'd sera qucsiion dans tout ce (pii va suivre '-^

'" iMcnioire sur les vibrations d'un double système de molécules et de Ti-tlier conlenu dans un corps cristallisé (Mfw. de rAcad. des se, XXII, fiiT)).

<■') M. Briot, daus son Essni mir In lliéorie malhématiquc de la Iiaiiicre, a l'ait remarquer lécemment que, si Ton altribue à l'éfber la inème structure crislalline qu'au milieu dans lequel il est engafié, il devient impossible de rendre compte de l'identilé de propriétés optiques qui existe entre les cristaux du système cubique et les corps amorpbes. Il a éd' conduit ainsi à tenir compte directement de l'action exercée par les molécules pondérables sur l'éther et des inégalités périodiques que cette action introduit dans la disiribulion des molécules de ce fluide, et, en faisant dépendre uniquement la dispersion de l'influence des jnolécules pondérables, il s'est afTranchi des difTicultcs qui subsistent dans la théorie de (uTuchy, lorsqu'il s'agit d'expliquer l'absence de dispersion dans le vide. (L.)

Ix THÉORIE DE LA DISPERSION.

Nous nous proposerons en premier lieu d'établir une formule cpu représente les lois de la dispersion dans les milieux isotropes; nous serons ainsi dispensés de conserver aux calculs le degré de généralité que leur a donné Cauchy, et nous pourrons mettre à profit les simplifications notables que M. Tovey, sans toucher d'ailleurs à aucun point essentiel de la méthode de Cauchy, a introduites dans la théorie de la dispersion "*.

162. Eqiiationsi du niotiveinent vibratoire daiiiii un milieu hoiiio^ène queleonque. — Soient, dans un étlier homogène quelcon({ue, isotrope ou cristallisé : x , y, z les coordonnées d'une molécule rapportée à trois axes rectangulaires cj[uelconques; m la masse de cette molécule; x-^^x, i/^Ay, z-{-Az les coordonnées d'une autre molécule de masse pt: r la distance des molécules m et (x: f(r) la fonction qui représente la variation de l'action moléculaire avec la distance: e le déplacement rectiligne et très-petit imprimé à la molécule m; ^, tj ,^ les projections de ce déplacement sur les trois axes; f+A|, »7-f-A»7, ^4-A^ les projections sur les mêmes axes du déplacement de la molécule f/; a, /S, 7 les angles que fait avec les axes le déplacement e; \e, \s, Ze les composantes parallèles aux axes de la force élastique qui agit sur la molécule m.

Sans introduire dans le calcul d'autre restriction que de supposer les déplacements des molécules très-petits, on arrive, comme nous l'avons vu dans la théorie de la double réfraction (131), aux équations

lUll^fri-A /('Vl-i

»> riul.Mug., (:{), Vlll,7.

TIIÉOIUK DE CAUGHY.

Eli posant, pour abréger,

ces équations deviennent

Xe = /«2f. J [(p (r) + ^^ {>') ^x] AI+ 4. (r) ^' An

Y£ = m2f.jxf.(r) ^' Ae+ [(?(/•) + .{'(r)^] A»7

+ ^(r)^Ad^.

Ze = m 2|a j xf/ (r) ^^ A^+ ;|/ (r) ^^ Ajj

En remarquant que l'on a

et que les équations (1) sont a|)j)licables à une quelconque des molécules du milieu, on voit que ces équations représentent tous les mouvements vibratoires compatibles avec la constitution de l'étber.

163. Équations d'un mouvement vibratoire se propageant par ondes planes dans un milieu liomogène quelconque. — Supposons actuellement que le mouvement vibratoire se propage par ondes planes; on a dans ce cas, en désignant par R la distance de l'onde plane sur laquelle se trouve la molécule m à l'origine, et par V la vitesse de propagation de l'onde plane, l'expression suivante pour le déplacement de la molécule m (132) :

(•3) £ = Jsin'^(R-Vf)-

Pour que l'onde plane se propage sans altération. Il laut cl il sulllt que la force élastique produite par le déplacement e, lorce que nous représenterons par lie, soil parallèle à ce déplacement; lorsque

cette condition est remplie, cette force élastique a d ailleurs pour expression (J 32)

Si donc dans les équations (i), qui représentent tous les mouvements possiljles de l'étlier. on porte les valeurs de ^, rj, K déduites de la valeur du déplacement e, et si l'on exprime que la force élastique dont les composantes sont \e. \s, Ze est parallèle au déplacement, on obtiendra un certain nombre de relations où entreront les angles a, (3, y que fait le déplacement avec les axes, et ces relations détermineront la direction que doit avoir le déplacement pour que la propaj^ation de l'onde plane soit possible.

On déduit immédiatement de l'équation (9)

^= ^cosasin^ (H - \o, »; = (5"cos/3sin --(R — V/),

^==<^cos7sin — (R~ V/j,

C+ A ^= ^ cos« sin ^ ( R + AR - VO

ocosa sin-^(R — V/ cos-^ AR

cos^^ (R — Vt) sin^ AR]

On tire de là

1 AC= ^cosa

sm^(R

Vn(cos^AR-i

R- Ansni^AR

+ cos-^ A>7 = (^cos/S sin^(R — Vf) f cos^AR — 1

+ cos^(R--VOsin^AR A'C= ^cosy [sin^(R- VO (cos^ AR-- 1)

+ cos^(R-Vnsin^ARl-

Il s'a^jit maintenant de substituer ces valeurs dans les équations ( 1 ).

TIIKOIUK DE C.UjCHV.

On |)eiit rt'Jiiar([iier d'abord que si le milieu n'esl pas héiniédrique, ^.'est-à-dire si tout est semblable de part et d'autre du plan de l'onde, les sommes (|ui |)roviendront de la substitution de la seconde partie des valeurs de A^, Ari . A^, sommes qui se présentent sous l'une des loi'uies

2f/(p(r)sin^AK, 2f^\p(/')--p-sm^AH,

A,r' . 27r . X, /') — T- sin -T- An,

^t^i' ir) -^ sin

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