AR

2^xf.(r)^sin^AR,

A.rAv . 37r .T, — j-~ sni^AR,

sont toutes identiquement nulles, comme étant formées de termes (|ui, deux à deux, sont égaux et de signes contraires; car à des valeurs de Ax, Ay, A:, égales et de signes contraires, correspondent des valeurs de AR qui sont aussi égales et de signes contraires. Si de plus

on reujplace cos — AR par 1 — 2 sin- -< AR, et ^sin ^ (R — V<)

par £, les éipiations (i) prennent définitivement la l'orme

cosaSf/

sin-^^AR

+ cos/22f>t4/(r) -^'sin^^ AR H- cos72(Mi|/(r) — x~ sin^ y AR,

cosa2f;t 4^ (r) ,., • - sin'^ y AR

cosy2|u4/(r) ' ,0 " sin-^ AR,

sin^^AK

y^r--~-^osa2ix4^(r)

AxAz ■ .,71-

sin-

AR

AyAr

+ cos/32/^txf/(r) ^^^ sin-^ " AR

+ cos72f^ (pirj + xf/Cr'

sin^^AR.

16^. Ellipsoïde de polarisation. — Pour que 1 onde plane se propage sans altération il faut et il sutlit que la force élastique soit parallèle au déplacement, c'est-à-dire que l'on ait

cosa cos /S cosy ou

^ '' cos a cos p cos y

Si dans les équations (5) on remplace AK par

Ax cos / -h Ay cos 7)1 -|- Ar cos n ,

l, m, H étant les angles que fait avec les axes la normale à l'onde plane, et si l'on substitue dans les équations (6) les valeurs de Xj , Yj , Zj ainsi obtenues, on aura deux relations qui , jointes à l'équation

cos- a -f- cos^/S 4- cos^7 = i ,

détermineront les angles a, (S, y que doit faire le déplacement avec les axes pour que la propagation de l'onde plane soit possible.

En remarquant que le coetiicient de cos /S dans la première des équations (5) est le même que celui de cosa dans la seconde, que le coefficient de cos 7 dans la seconde de ces équations est égal à celui de cos /S dans la troisième, et enfin que le coefficient de cosa dans la troisième est égal à celui de cos 7 dans la première, et en raisonnant comme dans la théorie de la double réfraction (13/î), on voit que, si l'on conserve les expressions rigoureuses des forces moléculaires, à chaque direction de l'onde plane correspondent encore, pour les dé[)laceinents moléculaires , trois directions rectangulaires telles que l'onde puisse se propager sans altération , et que ces trois directions sont parallèles aux axes d'un ellipsoïde.

L'équation de cet ellipsoïde, auquel nous continuerons à donner le nom d'ellipsoïde de polarisation , est

œ^^(x [(p {,') + ^l^ (r) ~ ] si n"-^ ^ AR + y-2pi \(p{r)^^ [r) ^ | sin'-^ l AR -i- z^^fji I (p (r) + ^ {>') ^ ] sin-^ j AR + y: 2,av{/ (r) -'^ siu'^ y AR + ^x2^>|/ (r) ^^ sin^ ^ AR + .x7/2^v|/(r) ^'-sin'^ ^ AR 1 .

THEORIE DE (JAUCHV. 9

(îoiume d'ailleurs on a

AR =- A^ cos / H- Ay cos m -h A^ cos tt ,

on voit que les coefficients de cette équation dépendent à la fois des angles I, m, h qui déterminent la direction de l'onde plane, de certaines constantes qui définissent la constitution du milieu, et enfin de la longueur d'ondulation. La vitesse de propagation de l'onde plane est en raison inverse de la longueur de l'axe de l'ellipsoïde de polarisation auquel les déplacements moléculaires sont parall(Mes ; cette vitesse dépend donc aussi de la longueur d'ondulation , lorsqu'on conserve les valeurs rigoureusement exactes des forces moléculaires, au lieu de développer les variations A^, Ar;, A^ du déplacement suivant les puissances croissantes de AR, et de négliger, comme nous l'avons fait dans la théorie de la double réfraction, les termes qui contiennent AR à une |)uissance supérieure à la première : ainsi se trouve expliqué d'une façon générale le phénomène de la dispersion.

Lorsque les équations (G) sont satisfaites, en posant

cos a cos/S cos y on a

^ 2 ni

el , par suite, en vertu de l'équation (3),

expression de la vitesse de propagation dont il sera fait usage plus loin.

Il faut remarquer enfin que toutes les conséquences que nous avons déduites, dans la théorie de la double réfraction , de l'existence de l'ellipsoïde de polarisation, et en particulier celles qui sont relatives à la transversalité des vibrations, sont encore vraies dans la théorie rigoureuse que nous venons d'exposer, et suivant hupielle, à chaque valeur de la longueur d'oiululation , rorres|)ond un ellipsoïde d<' polarisation parfaitement détcrniirn'.

165. Relation entre la vitesse de pro|iagation et la longueur d'ondulation «lans les niilieu^iL isotropes. — Nous allons maintenant nous occuper exclusivement des milieux isotropes f't chercher quelle est la relation qui existe dans ces milieux entre la vitesse de ])ropagation d'une onde plane et la longueur d'ondulation.

Toutes les directions étant identiques dans un milieu isotrope, il suffit de considérer le cas où l'onde j)lane est normale à l'un des axes des coordonnées, par exemple à l'axe des .v. On a alors

AR=Ax;

les é([uations du mouvement vibratoire se simplifient beaucoup dans ce cas, car, par raison de symétrie, on a évidemment

2fz\|/ (/•) -^^2"- sin"-^ j- Ax =- 0 ,

y,fjL-<l^ (r) —j^ sin- ■>- Ax = o ,

2f/\{/ (/') • .., ' sin- ^ Ax

Les équations (5) prennent donc la l'orme

ix'

■ oTT

Xi = cosa2f>t (2(/-) + 4'('")^-^ sin-^A^,

, Ay-

• Yi=-cos/S2|U <p{r]^-^(r) -^ sin-^ A.r

Zi = cosy'Si(jL (p ( r ) — \{/ (/') -4-- sin-^ A^.

L'é(|uation de rellij)soïde de polarisation se réduit à

.r^2f.[ç(r)4-vî/(r)~]sin^^A.r + .y-^2f/[(p(r) + 4.(r)^Jsin^5A.r

sm-^ A.r = 1

Comnif (I ailleurs (ouïes les dneclions pei-pciidiculaires à Taxe

des X sont identiques par rapport à l'onde plane , on a

2^1 \(p (r) + ^ {r) ^\ sin-^ ^ Aœ = 2^ |> (r) + ^ (r) ^ ] sin^ ^ A^ :

l'ellipsoïde de polarisation est donc de révolution autour de l'axe des x, d'où il résulte que, dans un milieu isotro[)e, une onde plane normale à une direction donnée peut se propager sans altération, toutes les fois que le déplacement moléculaire est parallèle ou perpendiculaire à cette direction. A une direction quelconque de pro[)agation normale correspondent dans un milieu isotrope une infinilé d'ondes à vibrations transversales se propageant toutes avec la même vitesse et sur lesquelles les vibrations peuvent être dirigées d'une manière quelconque dans le plan de l'onde, et une seule onde à vibrations longitudinales se propageant avec une vitesse différente de celle des ondes à vibrations transversales. Ainsi, si l'on se borne à considérer les vibrations transversales, on ne trouve plus dans les milieux isotropes cette relation nécessaire entre la direction d'une onde plane et sa polarisation qui existe en général dans les milieux biréfringents et qui peut être regardée comme étant la cause de la double réfraction et de la polarisation qui accompagne toujours ce phénomène.

Pour l'onde à vibrations longitudinales on a

Xi = 2fz I 0(r) + 4/(r) ^ I sm--^ ? A.r . Y, =--Z, = o,

et, j)ar suite, en désignant par V\ la vitesse de propagation de celle onde, il vient, d'après l'équation (7),

Pour les ondes à vibrations transversales la vitesse de])ropagation est indépendante de la direction du déplacement; on peut donc

supposer ce déplacement parallèle à l'axe des y : on a dans ce cas

X, = Z, = o, Y, = 2^[(p(r)+vf.(r)^]sm^^A^-..

et. en représentant par V la vitesse de propagation des ondes à vibrations transversales,

(9) V-^ = è 2^t [(p(r) -^Mr) ^] sin^ ^ Ax.

Cette vitesse est la seule dont nous ayons à nous occuper; pour transformer l'expression qui la représente en une série ordonnée suivant les puissances de A, remarquons que l'on a

Ax == - 1 — cos -^ ilx 1

et développons cos ->- Ax en série , ce qui donne

= 1 —2-^2 Aa;^ + 3 X'

4 7r" . . 2 tt'* . „ 4 1) A j 1 0 A

série (pii est toujours rapidement convergente, car, les forces moléculaires n'exerçant leur action qu'c\ une distance qui , si elle n'est pas négligeable vis-à-vis de la longueur d'ondulation, doit être re-

gardée comnje très-petite par rapport à cette longueur, -y- dans

toute l'étendue de la sphère d'activité de la molécule considérée, est une fraction de beaucoup inférieure à l'unité.

On dc'diiil (le la valciii' trouvée pour cos^A.r

• ., Tî" A '^' A -i 1 '^ A ', 1 2 7r . ,. I T A B

Mil- >; A:v == TT A.r^ — ^ Vf ^^ + 7^ ■^. ^^^ ~ --r^ T« Aa;S-t- A A .> A '1 .1 A • .) I 5 A

- -65-o?2cb('H'K'-)^]A-'-' + --.

Nous obtenons donc pour V^ une expression de la forme

c'est-à-dire une série ordonnée suivant les puissances croissantes de -^1 les coefficients a, h, c, d, . . . étant des constantes qui ne dépendent que de la constitution du milieu. Les valeurs de ces constantes, qui sont

montrent qu'elles décroissent très-rapidement, car Ax est une quantité qui reste toujours très-petite : si donc la longueur d'ondulation n'est pas excessivement petite, si elle dépasse une certaine valeur que l'expérience seule pourra assigner, les termes du second membre de l'équation (lo) auront aussi des valeurs très-rapidement décroissantes, et on obtiendra une expression très-approcbée de V^ en ne conservant que les premiers de ces termes. 11 résulte de là que k doit toujours être positif; de plus, comme l'expérience montre que les rayons les plus réfrangibles sont ceux qui ont la plus petite longueur d'ondulation, et que, par suite, V décroît avec X, il faut ([ue le coeflicient h du second terme; soit négatif.

16G. lia dispersion n'e^i^iste pas dans le vide. — Pour pouvoir comparer à l'expérience l'expression que nous venons de trouver pour la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu isotrope , il est nécessaire d'en déduire une formule donnant l'indice de réfraction de ce mdieu par rapport au vide en fonction de la lon- {fueur d'ondulation dans le vide, et, à cet effet, il est indispensable de savoir si dans le vide, comme dans les milieux pondérables, la vitesse de propagation des ravons lumineux (lé[)end de leur couleur.

Le phénomène de l'aberration parait, au premier abord, propre à décider la c{uestion : si, en effet, les rayons de différentes couleurs se propageaient dans le vide avec des vitesses différentes, comme l'angle d'aberration dépend du rapport qui existe entre la vitesse de la lumière et celle de la terre, les étoiles apparaîtraient sous forme de petits spectres colorés, ce qui n'a pas lieu; mais celte remarcjue n'a rien de décisif, car de petites différences entre les vitesses des rayons de différentes couleurs ne produn-aient pas de coloration sensible.

Newton imagina une méthode plus précise pour reconnaître si la dispersion existe dans le vide : dans une lettre adressée à Flamsteed, il engage cet astronome à observer attentivement les immersions et les émersions des satellites de Jupiter et à chercher si ces phénomènes sont accompagnés de coloration. En effet, si dans le vide, comme dans les milieux pondérables, la vitesse de propagation n'était pas la même pour les rayons de différentes couleurs, et si cette vitesse était d'autant pins grande qu(> les rayons sont moins réfrangibles, au moment de l'immersion les ravons rouges cesseraient de nous arriver avant les rayons violets, et le satellite, avant de disparaître, devrait prendre successivement une série de teintes passant du blanc au bleu et au violet: au moment de l'émersion. au contraire, les rayons rouges nous arriveraient avant les autres, et le satellite, au moment de sa réapparition, devrait être coloré en rouge et passer ensuite au blanc |)ar l'addition successive des couleurs prismatiques, l'ianislccd n observa vlow de semblabl(^ et lorsque, cinquante ans pins tard, Mcivillc ' cl (iourlivron - appclèreni i\r nonvcan Tal-

'' Essai/s frid Ohmr valions, I. II. p. i-).

TIlÉUHfE DE CAL Cil Y.

(cnlioii (les astronomes sur cette question, les résultats l'urejit en-

core négatifs.

Arago eut l'idée de substituer à l'observation des immersions et des émersions des satellites de Jupiter, observation f|ue le faible éclat de ces astres par rapport à la planète et la courte durée du phénomène rendent nécessairement peu exacte, celle des éclipses de soleil produites à la surface de Jupiter par ses satellites. Dans cette méthode, au lieu de chercher à reconnaître les changements de coloration d'un astre très-peu brillant, on compare la teinte de la tache obscure cpii se projette sur le disque de la planète à celle du reste de ce disque; les conditions sont donc beaucoup plus favorables; néanmoins Arago ne put aj^ercevoir aucune coloration du cône d'ombre au commencement ou à la fin de l'éclipsé.

La lumière n'employant qu'un temps très-court pour venir de Jupiter à la terre, de petites différences entre les vitesses de propagation des rayons de différentes couleurs pourraient passer inaperçues; aussi, pour démontrer que tous les rayons lumineux se propagent dans le vide avec des vitesses rigoureusement égales ou du moins ne différant que de quantités bien au-dessous de celles que nous pouvons mesurer, Arago eut-il recours à l'observation des étoiles changeantes. L'éclat de certaines de ces étoiles varie très-rapidement : c'est ce qui a lieu pour Algol , qui passe en trois heures et demie de la seconde à la quatrième^ grandeur. Quelle que soit la cause qui produit ces changements d'intensité, qu'ils soient dus à un mouvement de rotation de l'étoile ou à l'interposition d'un satellite opaque, ils seraient accompagnés de changements de coloration si les rayons de diff('rentes couleurs employaient des temps inégau\ pour parcourir la distance qui sépare l'étoile de la terre : l'astre prendrait une teinte violette au moment où son éclat s'affaiblit, une teinte rouge lorsqu'il devient plus brillant. L'étoile Algol ne présente aucune trace de ces variations de teinte; or, sa parallaxe étant inférieure à une seconde, la lumière met au monis quatre ans pour venir de cet astre jusqu'à nous, et, par conséquent, si les vitesses de propagation des rayons rouges et des rayons violets différaient d'une quantité égale à ^^^^^^ de leur valeur, les temps employés par ces rayons pour franchir la distance qui existe entre l'étoile et la terre

différeraient au moins d'un quart d'heure, et la coloration au nioluent où s'opère le cliaupement déclat serait très-sensible. Cependant, pour tirer de là une conclusion entièrement légitime, il est nécessaire de répéter l'observation à différentes époques de l'année; car il pourrait se faire, par suite d'une coïncidente fortuite, que les rayons violets envoyés par l'étoile au moment où elle s'éteint arrivassent à la terre en même temps que les rayons rouges qui partent de l'étoile au moment de la réapparition suivante, ce qui, malgré l'inégalité des vitesses de ces deux espèces de rayons, empêcherait la coloration de se montrer: mais cette coïncidence ne pourrait exister que pour une position particulière de la terre, et, si les vitesses des rayons de différentes couleurs étaient réellement inégales , la coloration serait visible pour toute autre position.

L'observation des étoiles changeantes ayant montré que les variations d'intensité de ces astres ne sont pas accompagnées de colorations passant régulièrement du blanc au violet et du rouge au blanc, on peut regarder comme un fait d'expérience que dans le vide les vitesses de propagation des rayons de différentes couleurs ne diffèrent pas de —^ — de leur valeur, et admettre sans erreur sensible

1 1 ooooo

({ue ces vitesses sont rigoureusement égales ^^\

Le pouvoir dispersif de l'air et des autres gaz, s'il n'est pas entièrement nul, est du moins extrêmement petit, et, par suite, la vitesse de propagation dans ces milieux ne varie que très -peu avec la couleur; aussi ne commet-on pas d'erreur appréciable en admettant que les indices de réfraction d'un milieu solide ou liquide pour les différentes couleurs conservent entre eux un rapport constant, lors(|u'on ])rend successivement ces indices par rapport au vide et par rapport à l'air.

167. Relation entre l'indice de réfraction d'un milieu par rapport au vide et la longueur d'ondulation dans le vide. — Soient, pour les rayons d'une couleur déterminée :

^'1 Les colorations qu'ont présenlées certaines étoiles temporaires, par exemple celles qui ont été observées par Tyclio-Brahé et par Kepler, variaient d'une manière tout à fait irréfjulière et ne peuvent être allriluiées qu'à de grands piiénomènes physiques ou cliimiques s'opérant à la surface de ces astres (très-prohnlilenienl, d'après les dernières recherches spectrostopiqut'S, à des conllajfrjilions où rii\drof[ène joue un rôle actif). (L.)

THEOHIE DE GAUCHY. 17

Via vitesse de propagation dans le vide; A la longueur d'ondulation dans le vide; î' la vitesse de propagation dans un nidieu solide ou liquide; / la longueur d'ondulation dans ce milieu; n l'indice de réfraction du milieu par rapport au vide. D'après ce que nous venons de voir, la vitesse V ne dépend pas do X, et on a, quelle que soit la couleur de la lumière,

V étant une constante.

On tire de là

et, en portant cette valeur dans la formule (lo) qui, pour le cas actuel, prend la forme

il vient

d'où

hrv , cil' , dit

-a + -yT + -^ + -Y-^

/ , V" 1 1 / , bir , eu!" , dn" ,

(.1) V = ,7 = Fi^' + l^+X^ + -F-) ••

Cette équation donne l'indice de réfraction n en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide; elle ne peut être résolue que par approximation. Les coefficients a, h, c, f/, ... décroissent trèsrapidement, et par suite, si X n'a pas une valeur excessivement petite , il en est de même dans l'équation (i i) des termes contenus dans la parenthèse. On aura donc une première valeur approchée de n en s'arrêtant au premier terme, ce qui donne

en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation (i i on obtient une seconde valeur plus approchée

if ^ Y- ~^ uX- "*' a^A'' + a'X' "+" " ' ^ \ ER\)KT, Vl. — Optique, II. i

en continuant de même, on voit que, quel que soit le degrc'^ d'approximation auquel on s arrête, on aura toujours pour -7 une expression de la forme

OÙ les coefficients Aj, Bj. Cj décroissent très-rapidement, de même que a,h, c,... .On en déduit pour l'indice de réfraction une expression de même forme

Dans cette formule les coefficients A', B', C, . . . ne dépendent que de la constitution du milieu ; ces coefficients doivent décroître rapidement, mais l'expérience seule pourra faire connaître leur valeur pour chaque milieu et indiquer combien de termes il faut prendre dans le second membre de l'équation (la) pour avoir une valeur suffisamment approchée de l'indice de réfraction.

On peut remarquer seulement que. l'indice de réfraction allant en augmentant à mesure que la longueur d'ondulation diminue, le coefficient B du second terme doit être positif.

168. Térifications expérimentales des formules de dispersion. — Pour comparer à l'expérience la formule (i^), il faul s'arrêter après un certain nombre de termes et déterminer les coefficients des termes conservés, soit au moyen d'un nombre d'observations égal à celui de ces termes, soit en faisant concourir toutes les observations au calcul des constantes par la uK'lhode des moindres carrés ou par la méthode d'interpolation que Cauchy a développée dans son Mémoire sur la dispersion. En prenant un nombre croissant de termes dans le second membre de l'équation (12), on peut trouver ainsi combien de termes il faut conserver pour que les résultats du calcul et ceux de l'expérience ne diffèrent (pie de quantités qui soient de l'ordre des erreurs d'observation.

Cauchy s'est servi. j)our vérifier sa formule, des indices de réfraction déterminés par Frauenhofer. 11 s'est cru obligé de prendre quatre termes pour obtenir des résultats concordants: mais il est

Inrile do voir (jue, pour Je degro d'exactitude que eoruporte en géuérnl la d(''lei-niination des indices de réfraction, il est plus que suflisant de s'arrèler api'ès le troisième ternie; la formule (i a) devient alors

Lorsqu'on n'a pas besoin d'une très-grande précision, on peut même se contenter des deux premiers termes, c'est-à-dire réduire la formule à

La formule ainsi simplifiée se ]>réte à une méthode de vérification peu compliquée et qui a été indiquée par Béer '''. Soient, en effet, Xj , X2, A3 les longueurs d'ondulation dans le vide de trois rayons de couleurs différentes; 11 1, 1L2, ri^ les indices de réfraction correspondants. En admettant la formule (i3) comme exacte, on aura

1' ^ (1 ou

^==^'(rr

Pour s'assurer de l'exactitude de la formule (i3), il sulîira donc de chercher si les différences des indices de réfraction sont proportionnelles aux différences des carrés des inverses des longueurs d'ondulation. Béer a reconnu que les indices de réfraction déterminés par Frauenhofer suivent cette loi d'une manière suffisamment satisfaisante.

Avant que Cauchy eût publié ses travaux théoriques sur la dispersion, Baden Powell'-' avait cherché à représenter par une formule

") fnirodiiction à In haute Oplif/ue ( Irait, de M. Korllioinnie), p. 170. '•■" Phil. Trans., iS35, p. 2/19.

iJO THEORIE DE L\ DISPERSION.

empirique l'ensemble des mesures de Frauenliofer : il s élait arret*^ à la relation

Sin TT

Sin TT -y