X COS

sin /COS/

, sin/' COS /'N . •? 0 '' •? y

1 H T-^ — V sin 27r îr — -^^ — ■ cos 271- - = -^— ■

cos/sin/-/ A COS/ A cos/

En résolvant ces deux dernières équations par rapport à rsin ^tt^

et a r cos 277 -<■ » on trouve

V sin 2 7r -^

-/ , sin /cos /-y 7L1 =

\. ' cosisin/7 cos"-iJ c

os /

(Dr/ , sin /'cos /A 2 , y- "1 sin- / cos"-/' y-

r cos 97r -^ i H ~ — -h -^. =1 —, r- ■ . •

a|A cos/sm/v C0S-/J sin-/- cos-/ cos-/

En divisant la première de ces équations par la seconde, on trouve

ces /'

tanff 97r ^ = —

" A sin- / cos- /■ y-

u ou

sin /cos"-/ cos-/

(P 2 y sin- /'COS /

o A sin-/-cos-/ — sin-/cos-/'— y-sin-/-

t2 2 y cos / sin-/-

tanjT 071-^ = :—-. — /. — ^ , ■ ., •

'> A sin(/ — /■) sin (/-!-/-) + 7- sm-/-

Kn liiisant la somme des carrés de /'sin -^tj-? et de ccos-jTrt-^

on trouve

En posant

\y- / sin- /cos-r y-

., c'os'-/ V sin- r ces-/ cos-/

sin / cosry-^ y- Tsin /-cos/y cos'-/ J

SU1-/C0S"-/- „ r-

sin-/cns'' / ' ' cos-/ cetlp expression devient

Elle peut s'écrire et enfin

{i+x-+f-)-—liX- [{i+xf+y']'

{i-xf+f

En remj)laçant x el y par leurs valeurs, l'expression de v- devient

sin / cosrV^ y-

sin /■ cos // cos'- / sm / coi>r\' y-

sui /' cos/ / cos- /

o sin-(/ — /•)-!- y- sin- /■ sin'-(/ + 7-)H-ysin'-r'

et nous avons trouvé, pour déterminer la différence de phase, l'équation

S 2>cos/sin-r taneffiTTY^^

A sin(/+/')sin(/ — /■)^-y-sin'-^

3 9 1 . Comparaison des formules de Caucliy avec celles

de Mae Cullagh. — Il est naturel de supposer que le ravon réfracté dans le métal se comporte comme dans les milieux transparents, c'est-à-dire que le rapport-^ — ^, est constant. Si l'on suppose que — ^— . soit aussi une quantité constante, on pourra poser

5!lii = Mcos4.. -^==Msin^^, sin/' ^ cos /• ^

5s'i Ki-:i"Li:\i()\ KT I!i:fi;\(;ti()i\ dk \a li \iiKiiK i'ui.aiuskk.

.M cl \|/ t'Iaiil (l(ni\ coiislaiilcs (|iii sont (Ic'IcriiiiJK'fs |)iir les ériualions

SI II/' ros- /•

, rsin/la 11»; y = -^^-^ •

Si, dans re\|)i'Pssif)n déduite de ja tliéorie de Caurin |iour l'inlensilé de la li]ini«'3re réMéehie lorsque la luniièi'e incidente est pola-

ris('e dans le plan dincidence. on inidtiplie les deux termes pai-

cos / . I siu / , T , I

• (lU on remplace ~. — el par leurs \alcuis. et (iii on pose

cos / 1 ' siiw cos/- ' 1 I

cos / = u.

cos/- '

cette e\j)ressioii devient

., (|!>t~Mc()s\^)-'H-M-sin-\!/ M--i-|U-— îîju Mcosvf/

On reti'ouve amsi la dernière formule d(' Mac (ailla<T|i, (|ui est

M^ + (p'4--?AI(pcosx'

les lettres seules sont cliaup,ées : u au heu de (p et \t an heu de x.- On |)eul aussi retrouver les |)reirnèi'es formules de Mac (vullajjli

en donnant a -. — et a y d autres valeurs. I^a prennere lormule de

Mac (jullagli pour l'intensité de la lumière réiléchie, lors(|ue la lumière esl polai'is(''e dans le plan (rniculence. est

p D--+- cos^ / — -2 D cos i cos {)(^ — ^

I)-' -H cos- / H- '.î I) cos / ( -os ( y - y '

Kll<' s'applique aux corj»s trans|)arents connue au\ métaiiv.

I^a formule déduite de la théorie de Cauchv pour la même intensité peut s'écrire en nmltiphant les deux termes du second membre par cos- /,

cos-

, sm- /

cos- ,

snucosM-os/r — ?. ; h y-

sni - /■

cos'

. , sin"' i sin-/'

cos- ,

sin /cos «cos/-

sni /■ '

RÉFLEXION MKTAMJOI K. 585

Pour faii'p ("oïncidcr res deux fonniiles, il faut poser

D- — --7-ros-r+>'-.

sin/' '

I) COS Y - Y P= ^ < OS r.

On a «railleurs (386) et

n\-s\v\ ly^

SI 11 "î 'X X '

/»-sin 't.'/^ ?/j-cosv,;^ — sin-/

On peut (li'ferniiner^:: — et y en fonriion de ;)^ et de ?« . car x ' X

est une fonrtion de ;;^. On trouve ainsi pour ces quantités des valeur* réelles. Il est donc |)ossihle de faire coïnrider la lormule de Caunhv avec celle de Mac Ciullagli, mais ce n'est (|u'au moyen d'une hypothèse dont on ne voit pas la signification ph\sique. Il est prohahle que (;auch\ a l'ait une hypothèse de ce genre, car la formule qu'il a donnée comme résultant de la théorie est de même forme que la première formule de Mac CuUagh.

On peut également faire coïncider les formules qui donnent la din'érence de |)hase.

La formule de (îauchy est, dans le cas où la lumière est polarisée dans le plan d'incidence,

S riTCOs/sin-r

tanp; -^tt ^ = ^~~7- — v'^^r- — ^ ^r^-^r ■<

<> À sm (/ -t- /■) SI n (/ — /■)+ 7- sui-r

et celle de Mac Cullagh,

S ^Dcos/sinix-x') tang -ITT Y = — I v~ •

Or on a

,^., sin- i ., „

D- = -T-r cos- /' + 7-.

En suhslituaut ces valeurs dans la formule de Vlac (lullagh, elle

Vehdkt, VI. — Optique, II. ;{M

devient

S aycosi

tangfî7rT- =

1 • siii- 1 cos- 1 — ^-7^ cos'-/'— 7-

sin-/- 27cns«sin-/'

ros-/ sin-/-— siiY' I co^- r — y-suV- r

■iycnsislu'r

sin (/ + /•) sin (/ — /') + y- si n- /•

sin / sinr

La (lifllfulté (le (]('terminer pour les métaux les quantités

et y tient à ee (|ue l'énorme proportion de lumière absorbée ne permet pas d'aijplirpier aux métaux le raisonnement qui conduit à la loi des sinus. De plus, les métaux étant polis à la surface, leur densité n'est plus la même parallèlement et perpendiculairement à la surface, et il doit en être de même ])Our la densité de l'étber ([u'ils contiennent. La même chose a lieu dans les cor])s transparents; mais pour ces corps l'épaisseur ou l'homogénéité n'existe pas ou est insignifiante par rapjjort au chemin que parcourt la lumière dans le milieu, tandis que pour les métaux ces deux quantités sont comparables.

Dans le cas de Tincidence normale, on a

hl .

cos r = 1 , y = — 1

désignons celte valeur de ; ])ar g, de façon ([u'on ait

cl substituons dans les deux écpiations qui font coïncider les formules (le Mac (lullagh avec celles dedauchv. nous aurons

(1) ])^=,^+ir.

(•>) Dcos^ — »':

car pour rincidcncc normale ^ esl nul <'l X"' X ^ X {'^^'^ ^-^^^ '*' l'elation

^o^ ?/<^sin:>x «'"■'■(X-X'

on tire ])niir l'incidence normale

et par suite, en tenant compte des écpialions (j) e( (':>),

/MC0s;^=^)*, )>is[nx = l'on voit donc (pie cela revient à |)oser cpie le coefficient d'absorption est égal à vi s\n)c^ ^'* l'indice de l'éfraction à wcos;;^, sous l'incidence normale.

Dans le cas où la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'mcidence, la (piestion se complique davaiitajje ù cause de la difficulté d'appliquer le principe de continuité. D'ailleurs la formule donnée par (jauchy, pour l'intensité de la lumière réfléchie dans ce cas, est identique m la j)remière formule de Mac (lullagh, (pji est

p , m' cos ' / + I )- — 2 D/»,- cos i cos ( X + X ) nï' cos- / + 1)- + ?. I )»»- cos i cos ( X + X )

Cauchy n'a donné, ni pour la lumière polarisée dans le plan d'incidence, ni j)our la lumière polarisée perpendiculairement à ce plan, les valeurs de la dilïérence de phase introduites parla réflexion: mais il a publié une formule qui représente la différence de [)hase entre les deux composantes du rayon réfléchi, polarisées l'une parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence.

Cette formule est

tang 97r ^ — tang -^w sin f x - X )■ où l'angle (o est déterminé ])ai' l'écjuation

tang Cl) '-

On conclut de là

2Dcosisin-« tanR9&) =

" sm / — |)-cos-/

A 2l)cos/sin-/sin (y — y')

tango7r-= ^-ir- — Fv^ — 7. ^

o A sur* — D- cos-/

588 RKFLRMON ET REFRACTION DE LA LIMIERE 1>0LARISEE.

dette formule m* coïncide pas avec celle (|im)ii déduit des jjremières formules de Mac (lullagh ([ui sont

S 2Dcos/.sin(x-X '