CuiSTAlX À DEIX AXES

203. Formules générales. — Dans les cristaux à deux axes, bien qu'il n'y ait pas de rayon ordinaire, l'expression de la différence de marche est la jnéme que pour les cristaux à un axe, et l'on a, en appelant R' et IV les angles que font Irs norninlos aux

deux ondes réfractées avec la normale à la lame, (i) 0-E=^£(cotR'sinI-cotR"sinI).

Les vitesses u et u" doivent encore satisfaire aux relations

(a) sinR' = u' sini,

(3) sinR"=w"sinI;

mais dans les cristaux à deux axes les deux vitesses u' et u" ne sont plus définies par des conditions distinctes; ce sont les racines d'une même équation qui est, comme nous l'avons vu dans la théorie de la double réfraction (125),

/ , ^ cos' / , cos" m , cos' a

{ à ) -, 2 -f- -; TT' + -li 2 = 0,

^ ' ir—a ir—b- u—c '

/, m, u désignant les angles que fait la normale à l'onde réfractée avec les axes d'élasticité du milieu.

En remplaçant dans les équations (2) et (3) u' et u" par les valeurs déterminées pour 11 à l'aide de l'équation (/i), on aura les angles R' et R", et par suite l'équation (1) permettra de trouver l'expression de la différence de marche en fonction de l'angle d'incidence I et des angles l, m, n. Ces angles l, m, n peuvent être exprimés eux-mêmes en fonction des angles qui définissent la j)Osition de la face réfringente et du plan d'incidence par rapport aux axes d'élasticité, c'est-à-dire des données particulières de la question. Nous ne ferons pas le calcul pour le cas général, ce qui n'offrirait aucun intérêt; nous nous bornerons à examiner un certain nombre de cas particuliers remarcjuables. Nous supposerons toujours que Ton a n ;> h > c, c'est-à-dire que l'axe des x est l'axe de plus grande élasticité, l'axe des y l'axe de moyenne élasticité, et l'axe des z l'axe de plus petite élasticité; nous admettrons de plus que les trois quantités a, h, c sont inférieures à l'unité, c'est-à-dire que le milieu extérieur est moins réfringent que le cristal.

20/1. liame perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité. — Supposons la lame perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, c'est-à-dire à l'axe des z, et soient alors 9 l'angle du plan

i'2-2 POLARISATION CHROMATIQUE.

d'incidence, plan (jiii contient toujours la normale à l'onde réfractée,

avec le plan des jcz, c'est-à-dire avec le plan qui contient l'axe de plus grande et l'axe de plus petite élasticité, et R l'angle que forme la normale à l'onde réfractée avec l'axe des z. La figure 1 3 , où OQ représente la trace du plan d'incidence sur le plan des xy, montre F^s. .3. que l'on a

cos / = cos RO^ = sin R cos ^ , cos m = cos RO^ = sin R sin ô , cosn = cosR,

d'où cos/^

cos

V/ 1 4- COt' l\

L'équation

cosw

y/'lH-C0l4\

COS/i=^

cotR

y' 1 + cot* R

MsinI =sinR

peut être mise sous la forme

sin 1^1 -f-cot^U

En reniplaçant dans l'équation (/i) u, (, m, n par ces valeurs, il vient

■(/jVc')cos'^+(aVc')sin'^4-:rt'-4-6-^iCot'R-l

i+cot*K

sin'l^i+col'Kj" sin"'l(i+col'K)

6Vcos^g+aVsin^g + fl''6H-.ol'R "^ i4-cot;-R ~^'

d'où, en ordonnant j)ar rapport à cotR,

a" 62 sin* I col* R + sin^ I cot'^ R [sin^ 1 (n^ //-'+ /,2 c^ cos^ $

-hsmH(b^c^cos^9-\-a^ésm^e)

-^ sinM I (/>2+ e')cos'e + («2 + f2) ,;„-2^] | j o.

LLVllEUE PAUAI.LELK. 123

En remarquant que l'on a

«2 ^2 |. //2 ç2 (.os2 ^ -I- ,r f2 siu'^ 0 = a" b^' (sin-^ Ô + cos'-^ e )

|//2^2çog2^^,,2g2,in2^

^2 ^//2 ^ c2) sin'^0 + A^ (^r + c^-) cos'^ Ô, on a définitivement

+cot2Rsinn jsinM [a2(/>2+c2)sin29+/;^(«2+t-^-)cos2^J-(,«2^//2) j ('^' i +sinM(A2c2cos2Ô + a2c2gin2^j

f -sin'-^I[(A2+fr2)cos'^^4-(a2 + c'-^)sin2Ô]+i = o.

Cette équation, résolue par rapport à col'-Rsin^I, a deux racines qui, nous allons le démontrer, sont réelles et positives.

La quantité placée sous le radical dans l'expression des racines de l'équation (5) est en effet égale à

! sin2 1 [n"- {b^ + c"-) sin'-^ 9 + b^ (é + c^) cos^ 0] ~ (a^ + /.2) 1 2

- ka' b-'\i^ sin2 1 [(62 4- c2) (.os2 e + (^2 + c2) sin2 6]

+ siiiM (b''c''cos'e-^a''c''mi~6)\ ,

ou, en ordonnant par rapport à sini, à

Sin" I I [.(2 (//2 ^ ^2J gi,j2 0 ) /,2 („2 ^ ^2) ^,052 ^J2 ^ /l.,2 /,2 (/,2 ^.2 ^.0^2 g ^ ,,2 f.2 ^^^2 ^j |

- 2 Sin2 I j [n' + i'-^) [/>2 („2 + c^) C0S2 0 + «2 ^/,2 ^ ^2 j ,{^2^] - 902^2 {(62 + c2) C0S2^ + («^ + c'^) siu'^ ^] \

Le coefficient de sin*^! dans cette expression est égal à

è4(„2 c2)2cos4^ + ,,4(62-t.2)2sin40+.2fl262(«2,2)(^2 c2>)si,^2^(,Os2Ô^

c'est-à-dire à

[/>2 (.,2 ^ ,2) eOs2 Ô + fl2 (/,2 ^2) ^[^^2 ^2 .

le coefficient de sin^I peut être mis sous la forme

\2li POLARISATION CHROMATIQUE.

ou sous celle-ci :

(«2-^ b-^ |/>2 (a2 - c-'-^) cos^ 0 + a' (/>2 - c^) sin^ Ô] - 2 a^ («2- è^) (é^- c^) sin^ô ;

enfin le terme tout connu est égal à

La quantité placée sous le radical peut donc être mise sous la forme

{«2 jj2 smH[b^{a^ - c2) cos^e-\-a^ (b^ - c^) sin^^])'^ + /ia2 («2 /,2) (^2 p2) sin2 0 sin2 1 ,

expression essentiellement positive : ce qui prouve que les deux racines de l'équation (5) sont toujours réelles.

Le terme tout connu du premier membre de l'équation (5) est positif, car on a

1 -sin2l [(b^-\-c^) cos2Ô+ (a^ + ^2) gi^s^j + sinM(Vc2cos2^ + ^«2c2sin20) =^(i~c^smH)[i-smn{b''-cos'e-{-(r-sm^e)] = (1 - c^sin^l) } 1 - sinM [a^-- (n^- b'^ cos^ 9]],

et la quantité a^ ~ {ii~ — b~) cos^O est plus petite que a^, et par conséquent plus petite que l'unité. Il résulte de là que les deux racines de l'équation (0) sont de même signe.

F]nfin le coefficient de cot^Rsin^I est négatif, car il peut être mis sous la forme

j «2 + b'' sin2 I [«2(^2 ^ ,2) gin2 Q ^ J,2 (,,2 ^ ^2) ^^^2 ^] j .

or on a

«2 (^2 ^ ,2) sin2 0 <: ^2 (fl2 | 62) sin2 ^ , /,2 (^2 ^ ^2) C0S2 ^ <: ^^2 («2 ^ /,2) ^^^2 Q ^

et par suite

«2 + /,2 sin2 I [«2 (62 + c2) Sin2 $ -f ^2 («2 + ^2) C0s2 0] >>(«2+62)(l-rt2sin2I);^0^

Les racines de l'écjuation (;")) sont donc toutes deux positives. En

extrayant la racine carrée de chacune des racines et en |)renant le radical avec le signe +, on aura pour cotRsinI deux valeurs qui, mises àlaplacede cotR'sinI et decotR"sinI dans l'équation (i), serviront à calculer la différence de marche 0 — E en fonction des angles I et 0.

La différence de marche est nulle lorsque les deux racines de l'équation (5) sont égales, c'est-à-dire lorsque la quantité placée sous le radical est elle-même égale à zéro. Or, pour qu'il en soit ainsi, il faut que l'on ait

jrt2 ^2 sinM p [é^ê) cos^Ô + «'(/>'- C-) sin^ejp + Ixé [(f- - If-) (b'~ ~ ê) sin2^ sin2 1 = o.

Cette condition ne peut être remplie qu'autant que Ton a

sin6' = o; le premier membre de l'équation précédente se réduit alors à

il est par suite nécessaire que l'on ait en luême temps

d'où l'on déduit

• 2P fl'-/'^

sni^ n = -, — h (r — c

Il existe donc deux directions situées dans le plan perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité et telles que, lorsqu'une onde réfractée est perpendiculaire à l'une de ces directions, la seconde onde réfractée se confond avec la première. Ces directions ne sont autres que celles que nous avons appris à connaître dans la théorie de la double réfraction sous le nom d'axes de réfraction conique intérieure, et nous retrouvons ici, par une autre voie, ce théorème déjà démontré précédemment (155), que, lorsqu'il y a réfraction conique, les rayons qui constituent à l'intérieur du cristal le faisceau conique, rayons qui correspondent à une même onde réfractée, ne présentent

à l'émergence aucune différence de marche, pourvu que la face d'émergence soit parallèle à la face d'incidence.

L'anjTle R a toujours une valeur réelle, mais il n'en est pas de

même de l'angle I : lorsque la quantité ,2, 2 0, est supérieure à

l'unité, il faut en conclure qu'il n'existe aucune valeur de l'angle d'incidence pour laquelle l'onde réfractée peut devenir perpendiculaire à l'un des axes de réfraction conique intérieure.

Nous allons maintenant examiner quelques cas particuliers dans lesquels l'expression de la différence de marche se simplifie notablement. Supposons d'abord que l'angle 6 soit nul, c'est-à-dire que le plan d'incidence se confonde avec le plan des .r::, plan que nous regarderons comme la section principale du cristal. On a alors, en désignant par R' et R" les deux racines de l'équation ( 5 ) ,

cotR'sinI V Lii/!!^l!l!I,

cotR^inl^V''-"'^^"^^

La première expression est identique à celle que nous avons trouvée pour le ravon ordinaire dans les cristaux à un axe; elle correspond à un rayon qui se réfracte en suivant la loi de Descartes

avec un indice égal à r • Ce rayon étant perpendiculaire à l'axe de

movenne élasticité, ses vibrations sont parallèles à cet axe et par suite perpendiculaires à la section principale : on a donc toute espèce de raisons de le considérer comme un rayon ordinaire.

L'expression de la différence de marche est dans le cas actuel

O F f\'\—b^^m^l \/i — c-sin^l\

lorsque l'incidence est normale, elle se réduit à

Cette dernière formule est identicpie à relie ([ue nous avons trouvée pour une lame à un axe taillée parallèlement à Taxe. De plus,

LUMIRRE PARALLELE. 127

comme a est plus grand que h, la valeur de 0— E est positive, ce qui prouve qu'un cristal à deux axes taillé perpendiculairement à l'axe de plus petite élasticité se comporte, pour de petites valeurs de l'angle d'incidence, comme un cristal à un axe répulsif lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité.

Lorsque l'angle d'incidence augmente, la valeur de la différence de marche commence par décroître; elle s'annule pour une valeur de l'angle d'incidence donnée par la relation

sm^l =

si l'incidence continue à croîlre au delà de cette valeur en la supposant réelle, la différence de marche change de signe et croît en valeur absolue. Une lame perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité se comporte donc, lorsque le plan d'incidence contient l'axe de plus grande et l'axe de plus petite élasticité, comme un cristal répulsif, tant que l'angle d'incidence a une valeur inférieure à celle qui correspond li l'axe optique, et comme un cristal attractif lorsque l'angle d'incidence dépasse cette valeur.

Supposons maintenant C[ue l'angle 0 soit égal à 90 degrés, c'està-dire que le plan d'incidence soit perpendiculaire à la section principale et se confonde avec le plan des y: : on a alors

,n; • I \/i-c'sinM cotn sini ^- î

+ P'/ • I V''' -«'sin' I

cot n sm 1 ==

La dernière expression correspond à un rayon qui suit la loi de Descartes avec un indice égal à -• Quant à la valeur de la différence de marche, elle est dans ce cas

f\ V /y/i — c'^sinM y/i — «"sin" l\

et se réduit, lorsque l'incidence est normale, à

Cette dernière valeur est positive et montre que le cristal se comporte clans le voisinage de l'incidence normale comme un crisinl répulsif. D'ailleurs, en mettant l'expression de la différence de marche sous la forme

Oj^ s a'^ — h' ~h(r {h- — c'')sm'''l — rj = -r — : . . —1

"" a \ 1 — c'- sin'^ 1 + 6 \/ 1 — a^ sin- 1

on voit qu'elle reste toujours positive et qu'elle croît avec l'angle d'incidence. Donc une lame taillée perpendiculairement à l'axe de plus petite élasticité se conqîorte pour toutes les incidences comme un cristal répulsif, si le plan d'incidence contient l'axe de moyenne et l'axe de plus petite élasticité.

205. liante periiendiciilaire à ra3K.e de plus grande élasticité. - — • 11 n'est nullement nécessràre de recommencer les calculs pour le cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité : il sullit de changer, dans les formules relatives au cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, a en c et c en a. On retrouve ainsi deux directions pour lesquelles la différence de marche est nulle, directions qui ne sont autres que celles des axes optiques précédemment déterminés.

Si l'angle 0 est nul, c'est-à-dire si le plan d'incidence contient l'axe de plus grande et de plus petite élasticité, on a

n F /\ 1 — 6^sin''l y/i— fl^siirJ

expression qui se réduit, lorsque l'incidence est normale, à

(iOlte (lernirre valeur étant négative, on voit qu'une lame taillée perpendiculairement à l'axe de plus grande élasticité se comporte, lorsque le plan d'incidence contient l'axe de plus grande et l'axe de plus petite élasticité, comme un cristal attractif tant que l'angle d'incidencf a une valeur inférieure à celle (pii correspond à la diriM-lion de l'axe optique, et comme un cristal r('pulsif si l'angle dinci- (lence est supérieur à cette valeur.

LUMIEHE PARALLELE. 129

Si 6 est égal à 90 degrés, c'est-à-dire si le plan d'incidence contient l'axe de moyenne et l'axe de plus grande élasticité, on a

n TT (\J v—d^ûn'l y/i — tr sin^ l\

celte expression est négative lorsque l'incidence est normale, et croît en valeur absolue avec l'angle I tout en restant négative. Donc une lame taillée perpendiculairement à l'axe de plus grande élasticité se comporte toujours comme un cristal attractif lorsque le plan d'incidence contient l'axe de moyenne et l'axe de plus grande élasticité.

206. liante perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité. — Les formules se déduisent de celles qui sont relatives au cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, en cliaup^eant /» en c et c en b. Il n'existe pas dans ce cas de direction analogue à celle des axes optiques, car l'équation qui donne les directions pour lesquelles la différence de marche est nulle prend la forme

c sin

sin K

et, le second membre étant supérieur à l'unité, l'angle R est imaginaire.

Lorsque l'angle 6 est égal à zéro , c'est-à-dire lorsque le plan d'incidence contient l'axe de moyenne et l'axe de plus grande élasticité, on a

ç. p [\/ i — y-ûiY I y/i — ?)^sinM\

expression qui pour l'incidence normale se réduit à

et prend, par conséquent, une valeur positive. On ne peut rien dire de général sur la manière dont varie la différence de marche lorsque l'angle d'incidence augmente.

Si l'angle 6 est égal à 90 degrés, c'est-à-dire si le plan d'incidence contient l'axe de moyenne et l'axe de plus petite élasticité, on a

^ ^ (\/\ — &^ sin'" I y/i— «^siu"]\

Vi-KDKT, VI. — Optique, II. 9

expression qui pour l'incidence normale se réduit encore à

sans qu'on puisse dire d'une façon générale comment elle varie avec l'angle d'incidence.

On voit qu'un cristal à deux axes taillé perpendiculairement à l'axe de moyenne élasticité se comporte au voisinage de l'incidence normale comme un cristal répulsif. Pour les incidences qui diffèrent notablement de l'incidence normale, le cristal se comporte tantôt comme un cristal attractif, tantôt comme un cristal répulsif, sans f[u'on puisse rien affirmer de général à ce sujet.