Superposition de deux lames quelconques

M. Langberg a traité par le calcul le cas où l'on superpose deux lames identiques inclinées sur l'axe d'une façon quelconque, et dont les sections principales forment entre elles un angle quelconque '^^ Il n'y a là aucune difficulté théorique; c'est un genre de vérifications tout à fait analogues à celles que Schwerd a exécutées pour les phénomènes de diffraction, et l'expérience a toujours confirmé les prévisions de la théorie. Il est à remarquer que, dans la plupart des cas, le champ visuel se trouve divisé en petits compartiments par deux systèmes de courbes isochromatiques qui se croisent.

G. — Phé.nomèjnes des cristaux à deux axes.

227. Formules générales. — Les formules qui représentent les intensités des deux images dans le cas des cristaux à un axe sont applicables aux cristaux à deux axes, à condition que l'on désigne par i l'angle que fait avec le plan primitif de polarisation le plan de polarisation du rayon qui se ra[)proche le plus de suivre les lois de la réfraction ordinaire. C'est à ce rayon , que l'on appelle par extension rayon ordinaire, que correspond l'image dont l'intensité est représentée dans les formules par co-. On voit que dans les cristaux à deux axes la section principale n'est autre chose que le plan de po-

''' Pog'^. Anit., vol. comijlément., I.

\ùli

larisation du rayon ordinaire, et que par conséquent les sections

principales correspondant aux différents ra} ons ne passent plus toutes

par une même droite, comme cela a lieu pour les cristaux à un axe.

Les lignes incolores sont encore données par les deux conditions

sin22=-o, sin 2(î — s) = o;

elles sont donc déterminées par les rayons dont le plan de polarisation est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif ou à la section principale de l'analyseur.

Nous nous occuperons uniquement du cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité; les résultats que nous obtiendrons pourront s'appliquer aisément, au moyen d'une simple permutation , au cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité. Nous aurons fréquemment occasion, dans ce qui va suivre , de nous appuyer sur un théorème démontré dans la théorie de la double réfraction (157), et qui consiste en ce que, si l'on mène deux plans passant par la normale à une onde plane et par les deux axes optiques, les plans bissecteurs des dièdres ainsi formés sont les plans de polarisation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire qui correspondent à cette onde.

228. liignes incolores dans le cas où les axes optiques forment un angle très -petit avec la normale à la lame.

— La normale à la lame coïncidant avec l'axe de plus petite élasticité est toujours la bissectrice de l'angle que forment entre eux les axes optiques. Supposons que l'axe de plus petite élasticité se confonde avec la ligne moyenne et que les axes optiques forment entre eux un angle très-petit : chacun de ces axes fera alors un angle très-petit avec la normale à la lame. Pour déterminer la forme des lignes incolores, menons par "'^■'^' un point quelconque 0 (fig. 28) deux

droites OA et OB parallèles aux directions des axes optiques et une

droite OC parallèle à la ligne moyenne. Par le point G menons un plan perpendiculaire à OC et considérons une droite OM qui rencontre ce plan en M; les plans de polarisation des rayons qui correspondent à une onde plane perpendiculaire à OM sont parallèles aux plans bissecteurs des angles dièdres AMOB et AMOM'. Si l'on suppose, comme nous l'avons toujours fait jusqu'à présent, que l'angle d'incidence I ait une valeur très-peu considérable, l'angle MOC sera très-petit ; il en est de même d'ailleurs de l'angle AOB : les traces des plans bissecteurs dont nous venons de parler sur le plan perpendiculaire à OC se confondent par suite sensiblement avec les bissectrices des angles plans AMB et AMM'.

Pour déterminer la direction des ondes (jui donnent lieu aux lignes incolores, il faut donc chercher le lieu des points M tels que

la bissectrice de l'angle AMB soit parallèle ou perpendiculaire à la trace sur le plan AMB du plan jirimitif ou de la section principale de l'analyseur.

Prenons le plan AMB pour plan de figure, le point C pour origine et la trace du plan primitif sur le plan AMB pour axe des x (fig. 2/1). Soient D et E les points où les droites MA et MB rencontrent l'axe des x : si la bissectrice de l'angle AMB ou de son supplément est parallèle à l'axe des X, on voit immédiatement que les angles MD^ et MEa? sont supplémentaires. D'ailleurs, en désignant par x et y les coordonnées du point M, par oc et (3 celles du point A, on a

Fi{^ 2/,.

tangMDj; =

et comme

tangMD:r^

tangMEj; tangMEj;,

il vient

d'où

équation d'une hyperbole ayant pour asymptotes les axes des coordonnées et passant par les points A et B.

On verrait de même que les points M , pour lesquels la bissectrice de l'angle AMB est parallèle ou perpendiculaire à la trace sur le plan de la figure de la section principale de l'analyseur, se trouvent sur une hyperbole passant par les points A et B et ayant pour asymptotes cette trace et une droite perpendiculaire.

On voit en résumé que si, par un point quelconque 0, on mène deux parallèles aux axes optiques OA et OB et une parallèle OC à la ligne moyenne; si, de plus, on mène par ce point des normales à toutes les ondes qui donnent des rayons incolores, les points où ces normales rencontrent un plan perpendiculaire à OC sont situés sur deux hyperboles passant par les points où les axes optiques rencontrent ce plan et ayant pour asymptotes, l'une la trace sur ce plan du plan primitif et une perpendiculaire à cette trace, l'autre la trace de la section principale de l'analyseur et une perpendiculaire à cette trace.

Pour déterminer les lignes incolores réelles, menons, par le centre optique 0' de la lentille qui fait converger en un même point les rayons qui traversent parallèlement la lame, une droite OC parallèle à la ligne moyenne, et soit G' le point où cette droite rencontre le plan du tableau. Par le même point 0' menons deux droites OA' et OB' parallèles aux directions apparentes des axes o])tiques, c'est-àdire parallèles aux directions que doit avoir un rayon dans l'air pour se réfracter dans le cristal suivant les directions des axes optiques, et soient A' et B' les points où ces deux droites rencontrent le plan du tableau. Les rayons qui concourent à la production du phénomène faisant tous des angles très-petits avec la normale, l'indice de réfraction de ces rayons peut être regardé comme sensiblement constant; il existe donc aussi un rapport à peu près constant entre les angles rpie forment avec la normale à la lame les nor-

maies aux ondes réfractées dans le cristal qui donnent les rayons incolores et les angles que forment avec cette même normale les normales aux ondes émergentes correspondantes, normales qui ne sont autres que les rayons incolores eux-mêmes. Les figures incolores réelles sont donc semblables aux figures auxiliaires que nous avons construites à l'aide des normales aux ondes réfractées.

Ainsi les lignes incolores consistent en quatre branches d'hyperbole qui se croisent deux à deux aux points A' et B' extrémités apparentes des axes optiques : deux de ces branches ont pour asymptotes deux droites menées par le point C parallèlement et perpendiculairement au plan primitif; les deux autres ont pour asymptotes deux droites menées par le même point C parallèlement et perpendiculairement à la section principale de l'analyseur. Si le plan primitif est parallèle ou perpendiculaire au plan des axes optiques, deux de ces branches d'hvperbole se réduisent à une croix formée par deux droites, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan primitif; si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan des deux axes, il en est de même, mais les branches de la croix sont alors l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la section principale de l'analyseur. Si la section princi[)ale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif sans qu'aucun de ces deux plans soit parallèle ou perpendiculaire au plan des axes, les quatre branches d'hyperbole se réduisent à deux. Enfin si, en même temps que la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, elle est parallèle ou perpendiculaire au plan des axes optiques, le système des lignes incolores se réduit à une croix unique, blanche dans l'une des images et noire dans l'autre.

Remarquons enfin que les lignes incolores jouissent dans les cristaux à deux axes des mêmes propriétés que dans les cristaux à un axe. Si une ligne incolore résulte de l'annulation d'un seul des facteurs sin^i ou sin2(î— s), toute courbe isochromatique, en traversant cette ligne incolore, passe d'une teinte à la teinte complémentaire dans la lumière blanche, et du minimum au maximum dans la lumière simple. Si au contraire les lignes incolores résultent de l'annulation simultanée des facteurs sina^et sin2(î s), c'est-à-

dire si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, les lignes isochromatiques conservent dans toute leur étendue la même teinte si l'on opère avec la lumière blanche, et dans la lumière simple chacune d'elles correspond exclusivement à un maximum ou à un minimum.

229. liignes incolores dans le cas où les axes optiques forment avec la normale à la lame des angles voisins de 90 degrés. — Supposons que chacun des axes optiques forme avec la normale à la lame, c'est-à-dire avec l'axe de plus petite élasticité, un angle voisin de go degrés, de sorte que l'axe de plus petite élasticité ne coïncide plus avec la ligne moyenne. Dans ce cas, il n'y a plus de lignes incolores nettement définies pour les rayons dont les directions diffèrent peu de celle de la normale : en effet, l'angle AOB étant voisin de 180 degrés et l'angle .M OC étant très-petit, les plans bissecteurs des dièdres AMOB et AMOM', c'est-à-dire les plans de polarisation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, se rapprochent beaucoup d'être l'un parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes, et ont par conséquent des directions sensiblement constantes pour tous les rayons qui forment de petits angles avec la normale. Si donc l'un de ces rayons était polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan primitif ou à la serlion principde de l'analyseur, il en serait de même de tous les autres, et toute trace de coloration disparaîtrait dans les images, du moins dans le voisinage de la normale : c'est ce qui a lieu lorsque le plan des axes optiques est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif ou à la section principale de l'analyseur.

Les lignes incolores reparaissent, dans le cas qui nous occupe, au voisinage des axes optiques. Soit en effet (fig. 20) OM une droite

normale à une onde réfractée et faisant avec l'axe optique OB

un angle très-petit. Les plans de polarisation des deux rayons Fig. 25. qui correspondent à cette onde

sont les plans bissecteurs du dièdre AMOB et de son supplément.

L'angle MAB éfnnf très-petit par rapport à l'angle MB.A. ces pians

bissecteurs se confondent sensiblement avec ceux de l'angle dièdre formé par le plan MOB avec le plan des axes optiques et du dièdre supplémentaire. Prenons pour plan de figure (fig. 26) un plan perpendiculaire à l'axe optique OB : soient B et M les points où les droites OB et OM rencontrent ce plan, MS une parallèle à la trace , sur le plan de la figure , du plan des axes optiques.

Les traces , sur le plan de la figure, des plans bissecteurs dont nous venons de parler se confondent sensiblement avec les bissectrices de l'angle SMB et de son supplément. Pour que l'onde normale à OM donne un rayon incolore, il faut donc que ces bissectrices soient parallèles ou perpendiculaires à la trace, sur le plan de la figure , du plan primitif ou de la section principale de l'analyseur. Si la bissectrice de l'angle SxMB est parallèle ou perpendiculaire à la trace du plan primitif, la figure montre que le point M se trouve sur une droite MB faisant avec la trace B.r du plan primitif un angle supplémentaire de celui que fait la trace du plan primitif avec la trace du plan des axes. On voit de même que. si la bissectrice de l'angle SMB est parallèle ou perpendiculaire à la section principale de l'analy^seur, le point M se trouve sur une droite MB faisant avec la trace de cette section principale un angle supplémentaire de celui que fait la trace de la section principale avec la trace du plan des axes. Si l'on passe, comme dans le cas précédent , de la figure auxiliaire à la figure réelle formée par les rayons émergents, on voit que, lorsque les axes optiques forment entre eux un angle voisin de 180 degrés, le système des lignes incolores se réduit, dans le voisinage de l'un des axes optiques, à deux droites passant par le point où la direction apparente de cet axe optique rencontre le plan du tableau et dont l'une est placée par rapport au plan primitif comme l'autre l'est par rapport à la section principale de l'analyseur. Ces deux droites se réduisent à une seule lorsque la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif.

170 POLARISATION CHKO.MATIOLE.

'230. Courbes i«çoclironiatique$!!i dans le cas où les axes optiques forment avec la normale à la lame des angles très-petits. — \ous allons maintenant nous occuper de déterminer la forme des courbes isochromatiques en supposant toujours la lame perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité : nous considérerons d'abord le cas où les axes optiques forment avec la normale à la lame des angles très-petits; l'axe de plus petite élasticité coïncide alors avec la ligne moyenne. Soient A l'angle que forme l'un des axes optiques avec la normale à la lame et B l'angle apparent de cet axe avec la normale , c'est-à-dire l'angle d'incidence du ravon qui se réfracte suivant l'axe optique : on aura

sinA = /) sinB,

sinA = \ I— î-

Si. comme nous l'avons supposé, l'angle A est petit, la valeur de a- — h'- est petite par rapport à celle de a- — c^, et la lame se comporte comme un cristal attractif La différence de marche 0 — E est le produit de l'épaisseur s. du cristal par la différence des deux valeurs de cotR sinl. Or, d'après les formules établies pour le cas de l'incidence oblique (20^), on a

.or» • oi rt'-^fe" — sin'I rè-ffi" + c- 1 cos'"^4-fl-ffe--t-c-isiir 6'':=fcH cot^ n sm^ l = — 7-,- '

en posant

H2 = I é - }f- - Sin2 I [b^ («2 f-2) C0S2 Q |. „2 (^2 C') slll^ 6] ^

+ /„,2 (,,-2 ^2 1 ,^^2 ^2) sin2 9 siu- 1.

Si l'on suppose que sin 1 soit très-petit et du même ordre que sin A, c'est-à-dire si l'on ne considère que les rayons voisins de la normale, on voit que H2 est de l'ordre de sin^I; le radical H et le terme en sin2 1 sont donc très-petits par rapport à a-n-b'^, et l'on peut extraire par approximation la racine carrée de l'expression qui représente cot2 R sin2 1, ce qui donne

cot R sm I = --— . \/n^ ^ ^2 .^..^ ± ^ ,

nn\ 2 \ 2\ fl"-(-ft" ■iya-hh-J

en posant

En prenant la différence des deux valeurs de cot R sin I , on a

cot R' sni 1 - cot R" sin I = , , -^, --»

ahsJiiy + Vy

l'équation des courbes isochromaticpes est donc

ah\'

■2[ce

ou

D'ailleurs, la valeur de H^ peut s'écrire

H2 = jrt2 . è2 -^ sin2 1 [^2 («2 c2) - C^ («^ ^2) giu^^jjs - 6^2 (a2 - ^2) («2 ç2^ C0S2 ^ sin2 I ,

et, en remplaçant a^ — b- par (a^ — c^) sin2A,

H2 = («2 c2)2 j [sinU + sin- \ {b' - c2 sin2 A sin2 d)f

— kb^ cos^ 0 sin2 1 sin^ A | .

En négligeant les termes d'un ordre supérieur à celui de sin^ I , on a

H2 = («2 c2^2 (gin4 4 ^ ^1 gini I ,^2^2 gin2 ^ ^\^2 \

-lih- cos2^sin2lsin2A), ou, en multipliant le terme 26^ sin2A sin2l par cos2^-|- sin^^, H2 = («2 c2)2 |-sin4A ^ ^4 gin* 1+ 2^2 (sin2 Ô- cog2 Q-j gin2 A sin^ I].

L'angle 6 est celui que forme le plan d'incidence avec le plan des axes optiques : en prenant pour axe des x la trace du plan des axes sur le plan du tableau, et en désignant par D la distance du plan du tableau au centre optique de la lentille qui fait converger en un même point les rayons qui traversent parallèlement la lame cristal-

lisée, on a

sinIcos6 = W' sinlsinô = k

Si l'on représente par a la distance du point où l'axe optique de cette lentille rencontre le plan du tableau à la trace apparente de l'un des axes optiques sur ce plan, on a

tangB = ^^

ou, comme l'angle B est toujours petit,

sinB = ^; ii vient donc

sin A = /) sin B == Ty •

En substituant les valeurs de sini, de sini cosS, de sini sin^ et de sin A dans l'expression trouvée plus haut pour H^, elle devient

l'équation des courbes isochromatiques peut donc être mise sous la forme

ou sous celle-ci :

k'X'a''{a' + b')ïy , ., ., „x/ . o -,\

"^e'bHa'-c'f =l-^"+ 2ax + ot- + f )(^^- '2ccx -\- a--h f)

Les courbes isochroniatiques sont par suite des lenvnscntes ayant pour foyers les traces apparentes des axes o[)tiques et pour axes de symétrie la trace du plan des axes optiques sur le plan du tableau et une perpendiculaire à cette trace. La figure 97 montre la forme qu'affectent les courbes isochromatiques dans le cas que nous venons

d'examiner; ces courbes sont traversées par des courbes incolores (jiii sont en général, comme nous l'avons vu plus baut, de forme

hyperbolique. Dans la figure on a supposé la section principale de l'analyseur parallèle ou perpendiculaire au plan primitif; le système des lignes incolores se réduit alors à deux branches d'hyperbole passant par les traces apparentes des axes optiques, et chaque lemniscate conserve une teinte sensiblement uniforme.

Fg i7. W. Herschel a reconnu le pre-

mier que les cristaux à deux axes peuvent donner des anneaux en forme de lemniscates '*'; mais la théorie complète de ces phénomènes est due à M. de Senarmont.

231. Courbes isochroniatiques dans le cas où les axes optiques forment avec la normale à la lame des angles voisins de 90 deg:rés. — Supposons maintenant que les axes optiques forment avec la normale à la lame des angles voisins de 90 degrés, et que l'on examine les phénomènes dans le voisinage de la normale, c'est-à-dire que l'angle I soit toujours trèspetit. Dans ce cas cosA a une valeur peu différente de zéro, et comme on a

cos

il en résulte que b~ — ê est très-petit par rapport à iP- — c'-^. Dans l'expression de IP les ternies qui contiennent le facteur \P- — ê multiplié par sin^I sont très-petits par rapport aux autres, d'après ce que nous venons de dire, et peuvent être supprimés sans erreur sensible : on a donc très-approximativement

H = «2 ^2 è2 (fl2 __ c2) cos2 B sin2 1.

"' V]u\. Trans., 1890, p. ^5.

Dans la valeur de cot^Rsin'^I on peut remplacer

a2(è2+c2)sm2^sin2I par

Qfl^c^sin-ôsin^I, car on a

é {y--\-e-) sin^ô sinn =«2 (^2 ..^a) sin^Ô sin^I + 2»^ c^ sin^^ sinM,

et le terme qui contient \P-—c^ est négligeable à cause de la petitesse de ce facteur. En faisant cette substitution il vient

.or» • 9T a' + i' — sin-I[&- [a' + c"-) cos^S+2a^rsin-^l=tH cot- n sin- 1 = YT, ,

et, en remplaçant H par sa valeur,

.on^ • 01 rt' — aM&'COs-0 + c^sin^^)sin"'I cot-n sm-1

cot2R"sin2I

a- h' ¥ — â ( b- cos'- 0 H- a- sin - 6 1 sin" I

L'angle I étant toujours très-petit, on peut extraire par approximation les racines carrées des seconds membres de ces deux équations, ce qui donne

cot R' sin I = -j-

ab

cot R" sin

a — -{h^ cos^ S + c- sin- 6) sin^ I

et pour 0 — E la valeur suivante,

ah{

^ (/<-^cos2^ + 6-^sin2&)-^ (//2 cos2 (J + «2 sin^ 0)

sin2 1

En prenant pour axe des x la trace sur le plan du tableau du plan des axes optiques, on jieut remplacer cosô sini par ït et sin 6 sin 1

par ^; on obtient ainsi pour l'équation des courbes isochromatinues

e âb

[r-h + ^^[b^-ê-.ah^)^^^ + Ç^(é-ah)Ç\^ = k

ou

Comme on a toujours

cette équation représente une série d'hyperboles dont les axes sont dirigés parallèlement et perpendiculairement au plan des axes optiques. Le second membre de l'équation jiouvant être soit positif, soit négatif, l'axe réel de ces hyperboles est tantôt parallèle, tantôt |)erpendiculaire au plan des axes optiques. Dans le cas actuel il n'y a d'ailleurs pas de lignes incolores, ainsi que nous l'avons fait voir plus haut (^228).

232. Courbes isochromatiquefi^ dans le cas où les ai^es optiques foriuent avec la normale à la lame des angles qui ne sont voisins ni de zéro ni de 90 degrés. —

Il nous reste maintenant à examiner le cas où les angles formés par les axes optiques avec la normale à la lame ont des valeurs quelconques qui ne sont voisines ni de zéro ni de 90 degrés. Les sim.plifications qui résultaient dans les deux cas précédents de ce que l'une des quantités sinA ou cosA était très-petite ne sont alors plus possibles; nous nous bornerons à déterminer la forme des courbes isochromatiques dans le voisinage de la normale et dans le voisinage des axes optiques.

Supposons d'abord qu'on observe les phénomènes qui se produisent dans le voisinage de la normale, c'est-à-dire que l'angle I soit très-petit. On pourra alors, dans l'expression de H'^, négliger le terme qui conlient sin*I, et on aura

+ «'(è--c2)sin2ô] + Iw^é- />2) (/»2__ c2) sin^ô sinM.

Aucune des quantités sin A ou cosA n'étant voisine de zéro, a^ — hel //- — c^ ont des valeurs très-grandes par rapport à celle de sin^I,

et on peut extraire la racine carrée du second membre par approximation : il vient ainsi

H = «2- è2 sinM [^2 [a'^-ê) (^m''6 + a''(})^-ê) sm'^6]

= ^,2__ i2 sinq Jè2 (,^2 c2) cos2^ - o2(è2 ^2) gin^ô].

En substituant cette valeur dans l'expression de cot^R sin^I, on a

i-sinM(6-^cos'e + c^sin'ô)

cot2R'sin2I =

cot2R"sin2I =

1— sin* I (c* ces- d + à^ sin^ 6)

d'où , en extrayant les racines carrées des seconds membres par approximation,

sinM

colR'sinl

cotR"sinl=-

sinM

{b-cos^e-hcHiiî'e)

La valeur de la différence de marcbe est donc 1 sin^ I

{h-\)cos^e^{^~a)sinH]\:

et l'équation des courbes isocbromatiques, en remplaçant sini cosô

ce • • y

par T^ et sin I sin 6 par i^ i prend la forme

kahX

a^b~^{ab'^-bc^)-(^(ac^-aH)

ou la forme

, „ „ 2D / , kabX\

bx^ — ay^ = — f ;, \ a - h

'' ao — c-\ '2S I

Les courbes isochromatiques sont donc des hyperboles dont les axes sont l'un parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes optiques, l'axe réel pouvant avoir l'une ou l'autre de ces directions. Ces hyperboles ne sont pas du reste identiques à celles du cas précédent, à moins que cosA ne soit très-petit.

Supposons maintenant que l'on considère le phénomène dans le voisinage de l'axe optique, c'est-à-dire que l'angle I diffère peu de B et qu'en même temps l'angle 0 soit voisin de zéro. La différence de marche est nulle pour les rajons qui traversent le cristal dans la direction de l'un des axes optiques; donc, quand on a I = B et 0=o, H est nul et l'expression de cot^Rsin-I se réduit à

cot^RsinM

"?.(!' Ir

Si l'angle I diffère peu de B et qu'en niémi' temps f) soit voisin de zéro, H sera très-petit et l'on aura

a^ + h- — Ir Ur + r ) si ii"' \\ + h=i= H

cot^Rsin- [ =

la' b'

Il étant aussi une quantité très-petite, (iomnie // et H sont très-petits par rapport aux autres termes, on ])eut extraire la racine carrée par approximation, ce qui donne

II ou

cot Rsin I = -^ \\/a^-[- A^ - //^ (a'+c'') sin^ B ah \ 2 L \ ' /

2\/(r+ h'-— ¥{a'+ c'] sur Bj

ri]

ah \^2 [a'- -h h- — h' (rr + c')siir lij

L'équation des courbes isochromatiques s'obtient donc en égalant H à une constante.

Pour trouver plus simplement la valeur de H, nous mènerons, par le centre optique 0 de la h'ntille qui fait converger en un même point les rayons traversant parallèlement la lame, une droite 01 parallèle aux rayons considérés (fig. â8), 't nous exprimerons les angles I et 0 en fonction de l'angle (p, que fait le rayon 01 avec la direction apparente de l'axe OB, et de l'angle w, que le plan Fig. 38. lOB, passant parla direction des rayons considé-

rés et par celle de l'axe optique, fait avec le plan des axes optiques

V'KtlDRT, VI. ()plif[llP, II. 1 'J

BOC. L'angle lOC, que fait 01 avec la normale OC, étant égal à I , et l'angle du plan lOG avec le plan BOG étant égal h 6, on a

sin (p slnô sin 1 sino)'

CCS I = cos Ç) cos B -j- sin (p sin B cos co.

L'angle (p étant toujours très-petit lorsque les phénomènes sont observés dans le voisinage de l'axe optique, ces relations peuvent s'écrire sans erreur sensible

(p s'mci) = sini sin 6, cos I = cos B -f- <P sin B cos co.

En substituant ces valeurs dans l'expression de H- mise sous la forme

H2= |r/2 /,-2 sinM [r- («2- c2) - c2 (^ai__ ir-) s\n'-e] j'^

+ lin'- (é - ^2) 1^2 ,.2) giji2 Q gin2 I ,

il vient

c2(«2 j2)(p2(.os2^j2

+ da'- (fl2__ /,2j (/,2 ^2) (p2 sin2a,.

iOmmo on a

sin^A-Z/^^in^B

la quantité n'^ — h- -- h'^ (^a^ — c-)s\n^ B est nulle, et, si l'on néglige les termes dans lesquels Ç entre à une ])uissance supérieure à la seconde, l'expression de H- se réduit à

H=^= (p2 [hb' («2 ^2)2 sin^B cos^B COS^W

+ /U,2 (fl2 ^2^ (^2 ^2-) gin2^j^

Supposons qu'on projette les courbes sur un plan perpendiculaire à l'axe optique OB: prenons pour origine la trace apparente de cet axe sur le plan du tableau, et jiour axe des .r la trace du plan des

axes optiques sur ce plan. En désignant par D la distance du centre optique 0 de la lentille au plan du tableau, on aura très-approxiniativeinent, à cause de la petitesse de l'angle Ç>,,

D(pcosw = .r, D^sinw = y.

En portant ces valeurs dans l'expression de H^, elle devient

^ = /;4 (,,2 ,2^2 po,2 R sin2 B .^2 ^ ^,0 (^2 /,2) (/,2 ^) ^2

En remarquant que l'on n

. ^n ia--h- ^o h-{a'~c^)-{a^-b'')

Sin-^ K = ,- -.: : ' COS- B = J-TT'-^ ^7- '

b' a' — (■' 0- [ir — r )

et en égalant la valeur de — ;— à une constante, on obtient pour l'équation des courbes isochromatiques

[^2 (,,2__ p2) (^2„^ /,2^-j^2|^2(/,2__ p2)^2 const.

Le coefficient de œ- est positif toutes les fois que l'angle B est réel; les courbes isochromatiques projetées sur un plan perpendiculaire à l'axe optique sont donc des ellipses ayant pour centre la trace apparente de l'axe optique et dont les axes de symétrie sont l'un parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes optiques. Il en résulte évidemment que, sur un plan perpendiculaire à la normale, les courbes isochromatiques sont encore des ellipses ayant pour centre la trace apparente de l'axe optique.

YII.

APPLICATIO> DE LA POLARISATION CHROAIATIQUE À LÉTUDE DES CRISTAUX À DEUX AXES. - DISPERSION DES AXES.

233. Changements de direction des ax,es optiques avec la couleur. — Les phénomènes auxquels donne naissance la polarisation chromatique dans la lumière convergente ou divergente offrent des ressources précieuses pour l'étude des cristaux à deux axes. Les courbes isochromatiques peuvent servir à mesurer, sinon les valeurs numériques des trois indices principaux de ces cristaux, du moins leurs rapports; mais ces déterminations, fort dilficiles d'ailleurs, offrent peu d'intérêt, et c'est plus particulièrement pour étudier les changements de direction que subissent les axes optiques avec la couleur ([u'on a recours aux phénomènes de la |)olarisation chromatique.

Dans les cristaux à un axe. l'axe unique est nécessairement le même pour les ravons de toutes les couleurs; mais, dans les cristaux à deux axes, les valeurs des trois indices principaux changent quand on passe d'une couleur à l'autre, et, conjme les valeurs ([ue présentent ces indices pour les différentes couleurs ne sont jjas en général proportionnelles les unes aux autres , la position des axes optiques dépend de la couleur. 11 v a deux cas à considérer, suivant que les cristaux ont trois axes cristallographiques rectangulaires ou sont à axes inclinés.

23/4. Phénomènes des cristaux, à axes rectanjsrulaires.

— Les cristaux à deux axes (pii jjréscnleiit trois axes cristallographiques rectangulaires entre eux sont ceux qui appartiennent au système du prisme droit à base rhombe. Dans ces cristaux, les trois axes de symétrie son! parfaitement définis, et, par suite, les trois axes d'élasticité coïncident nécessairement avec les axes cristallographiques. Il en résulte que, quelles que soient les variations des quantités a, h, c, les axes optirpiesqui corresj)ondent aux différentes couleurs ont tous une bisseclrice conmiune: mais, comme l'ordre

de grandeur des quantités a, h, c peut changer avec la couleur, les axes optiques des différentes couleurs peuvent être situés soit dans le même plan, soit dans des plans rectangulaires.

Lorsque la dispersion est faible par rapport à la double réfraction, c'est-à-dire lorsque les variations que subissent les quantités a,b, c, quand on passe d'une couleur à une autre, sont petites par rapport aux diiï/'rences de ces ([uantités (uitrc elles, non-seulement les axes optiques des différentes couleurs ont une bissectrice commune, mais encore ils sont tous situés dans le même plan : c'est ce qui arrive, par exemple, pour l'aragonite.

Si l'on observe, dans ce cas, les courbes isochromatiques en forme de lemniscates que donne une lame taillée perpendiculairement à l'axe de plus grande ou de plus petite élasticité, on remarcjue que les foyers de ces courbes n'occupent pas les mêmes positions pour les différentes couleurs, d'où il résulte que ces courbes se coupent au lieu d'être concentriques. On peut reconnaître comment varie l'angle des axes optiques quand on passe d'une couleur à une autre, en cherchant si la distance entre les foyers des lemniscUes va en augmentant ou en diminuant. On trouve ainsi que, suivai;t la nature du cristal, l'angle des axes o[)tiques va en croissant ou en décroissant du rouge au violet : il existe même des cristaux où l'angle des axes opticjues atteint sa valeur maximum pour une couleur intermédiaire entre le rouge et le violet.

Passons maintenant au cas où la dispersion est du même ordre que la double réfraction , c'est-à-dire où les variations qu'éprouvent les quantités a , h, c, quand la couleur change, sont comparables aux différences de ces quantités entre elles ; les axes optiques des différentes couleurs ont encore dans ce cas une bissectrice commune, mais peuvent être situés dans des plans rectangulaires. Il y a plus : si les axes opti(jues de toutes les couleurs sont situés dans le même plan à une certaine température, ils peuvent se trouver dans des plans rectangulaires à une autre température, par suite des changements que subissent les quantités a, b, c quand la température varie : c'est ce qui a lieu pour les cristaux de sulfate de soude, comme l'a observé Brewster^".

'"' PInl. Mfi;'., (o). I, '117. —Jidiuh. Trrim., XI, 973.

182 FOLARISATlOiN CHROMATIQUE.

Dans les cristaux de sulfate de soude, à la lempérature ordinaire, les axes optiques des différentes couleurs sont situés dans le même plan, mais ont des directions très-différentes, d'où il résulte que dans la lumière blanche les phénomènes sont extrêmement confus. En opérant successivement avec de la lumière homogène de diverses couleurs, on reconnaît que l'angle des axes va en décroissant du rouge au violet; les axes rouges font un angle assez considérable, tandis que les axes violets font un angle très-petit. Si on élève la température, l'angle des axes diminue pour toutes les couleurs : il en résulte que les axes violets se rapprochent de plus en plus et finissent par se confondre; à ce moment le cristal se comporte, pour les rayons violets, comme s'il était à un axe, tandis qu'il conserve les propriétés des cristaux à deux axes pour les rayons des autres couleurs. Si l'on continue à élever la température, les axes violets se séparent, mais dans un plan perpendiculaire à celui où ils étaient situés d'abord et qui contient encore les axes rouges : à 60 degrés l'angle des axes violets est déjà considérable. Lorsque les axes rouges et violets sont ainsi situés dans deux plans rectangulaires, les phénomènes sont tellement confus dans la lumière blanche qu'il est impossible de rien distinguer.

235. Phénomènes des cristaux, à axes inclinés. — Dans les cristaux du système clinorhombique, il existe un seul axe cristallographique nettement déterminé et un plan de symétrie perpendiculaire à cet axe qui contient les deux autres axes. Dans ces cristaux, il n'y a donc qu'un seul axe d'élasticité dont la position soit déterminée et qui conserve nécessairement la même direction pour toutes les couleurs; les directions des deux autres axes d'élasticité peuvent varier avec la couleur en même temps que les quantités a, h, c, d'où résulte une complication encore plus grande que dans le cas précédent. Les phénomènes que présentent les cristaux du système clinorhombique peuvent se rapportera deux tvpes différents, celui du borax et celui du gypse.

1° Si les axes optiques d'une certaine couleur ont pour bissectrice l'axe cristallographique qui est perpendiculaire au plan des deux autres, les axes de foutes les rouh'urs auront néces>airem<'iil , par

raison de symétrie , cette même droite pour bissectrice ; mais les plans de ces axes pourront avoir des directions dift'érentes et être situés dans des azimuts quelconques sans être nécessairement perpendiculaires entre eux. Le borax, ainsi que l'ont observé à peu près simultanément Herschel *^' et Nôrremberg*^', présente ce mode de dispersion, oii les axes des différentes couleurs sont situés dans des plans différents et ont une bissectrice commune.

2° Si les axes optiques d'une certaine couleur sont situés dans le plan de symétrie qui contient les deux axes cristallographiques inclinés l'un sur l'autre, les axes de toutes les couleurs sont nécessairement situés dans ce plan ; mais, comme aucune direction n'est déterminée dans ce plan , les axes optiques des différentes couleurs peuvent ne pas avoir la même bissectrice. Neumann a constaté ce genre de dispersion dans les cristaux de gypse '^'; dans ces cristaux, les axes optiques des dift'érentes couleurs sont situés dans le même plan , mais n'ont pas la même bissectrice. De plus , si l'on vient à élever la température, on remarque que des deux axes optiques qui correspondent à une certaine couleur l'un se déplace notablement plus que l'autre, d'où il faut conclure que la ligne moyenne relative à cette couleur change de direction quand la température varie. Ainsi les axes optiques d'une même couleur ne sont pas des lignes physiquement identiques dans les cristaux qui se rapportent au même type que le gypse.

Les cristaux du système triclinoédrique ou à trois axes inclinés ne présentent plus aucun axe cristallographique nettement déterminé : aussi peut-on retrouver simultanément dans ces cristaux les deux modes de dispersion qui existent séparément dans le gypse et dans le borax, c'est-à-dire que les axes optiques des diflerentes couleurs sont situés dans des plans différents et n'ont pas de bissectrice commune.

Ce phénomène a été observé pour la première fois par Neumann sur le scristaux de succinate d'ammoniaque; il a été constaté depuis.

t'' Coirr.ij'. niallini). r( plrys. ,W , -j'^. l-^' %7;. A,n,., XXVII, -jAo.

i') l'oiff,. .Un., XXXIII, ■>.:>-.

im POLARISATION CHROMATIQUE.

sur un grand nombre d'autres cristaux appartenant au système triclinorhombique, par MM. Graiiich, Lang et Descloiseaux'^'.

236. Pliénomènes B>»*odiiits par le mélange de cristaux isomorphes. — De Senarmont a reproduit artificiellement un certain nombre des phénomènes cpie nous venons de décrire, en faisant cristalliser ensemble des cristaux isomorphes ^^'. Il arrive souvent, en effet, que l'isomorphisme cristallographique n'entraîne pas l'isomorphisme optique, et que dans deux cristaux isomorphes les plans des axes optiques sont rectangulaires. Le sel de Seignettc et le tartrate double de potasse et d'ammoniaque sont dans ce cas; si l'on fait cristalliser ensemble ces deux sels, en augmentant graduellement la proportion du sel ammoniacal, on observe nne série de phénomènes analogues à ceux que présente le sulfate de soude. Lorsque la proportion du sel ammoniacal est très-petite, les axes de toutes les couleurs sont situés dans le même plan et les axes rouges font un angle plus grand que les axés violets. A mesure que la proportion du sel ammoniacal augmente, l'angle des axes diminue, et en même temps les axes rouges se rapprochent des axes violets ; les axes de ces deux couleurs finissent par se confondre, puis les axes rouges passent en dedans des axes violets et se confondent, de sorte que le cristal est à un axe pour les rayons rouges. Les axes rouges se séparent ensuite, mais dans un plan [)erpendiculaire à leur plan primitif, de façon que les axes violets et les axes rouges se trouvent dans des plans rectangulaires et que le cristal est à un axe pour une couleur intermédiaire. Enfin, l'influence du sel ammoniacal devenant prédominante, tous les axes se trouvent réunis dans le plan des axes rouges.

237. Appareil de M. Ciraillch pour la mesure de l'angle des axes optiques. — Il nous reste à décrire les instruments à l'aide desquels on mesure l'angle des axes o[)tiques. L'appareil de Soleil (212) peut servir à cet usage, mais il donne des résultats

"' Graiiich, Kri/sfiillugraiilnsch-optischp I iilersiichuiigeii ,\^\{in, 1808. — Luii|j, IVii-n. Bcr., passini. — Dcscloiscaux, Ann. des mines, \I, a(îi; \IV, 309. *'^' Ann. de c'iini. fil dr phijs., (.S), XXXIII, 3()).

peu précis. M. Grailich a construit un appareil à la fois j)his simple et plus exact que celui de Soleil, et qui permet de mesurer l'angle des axes optiques dans des conditions où cette détermination est impossible par la méthode ordinaire. Il arrive souvent, en effet, lorsque la lame est taillée perpendiculairement à la ligne moyenne, que l'angle formé par les axes avec la normale est supérieur à l'angle limite de réfraction : la direction de l'axe dans le cristal ne correspond alors à aucune incidence réelle, et, tant que la lame se trouve en contact avec l'air, il est impossible d'apercevoir simultanément dans la ligure formée par les courbes isochromatiques les deux foyers des lemniscates. Le procédé de M. Grailich consiste à diminuer l'angle apparent des axes en plaçant la lame cristalline dans un milieu plus réfringent que l'air. Il se sert à cet effet d'une huile transparente ou d'un mélange d'alcool et de sulfure de carbone dont l'indice de réfraction peut varier entre i,38 et 1,75, limites entre lesquelles sont compris les indices de la plupart des cristaux. L'appareil de M. Grailich {lig. -29) se compose d'une cuve de verre ou de métal A , percée sur ses parois verticales de deux orifices B et C placés l'un en regard de l'autre. Ces orifices sont munis

de viroles dans lesquelles sont fixés le polariseur et l'analyseur, qui sont des iAlicol d'une épaisseur très -faible. La cuve est remplie d'un liquide dont l'indice diffère peu de celui du cristal; elle est fermée à sa partie supérieure par un dis(jue circulaire de verre D qui porte sur sa circonférence une division en degrés, (le disque est traversé en son centre par une tige métallique T qui porte à sa partie inférieure une pince dans laquelle on fixe la lame cristalline : cette Fig- 39- pince est réunie à la tige au moyen

d'une charnière et peut tourner autour d'un axe horizontal. La lame cristalline étant taillée perpendiculairement à la ligne moyenne, on la place dans la pince, et on commence par rendre le plan des axes optiques horizontal. A cet effet, on dispose en avant de l'analyseur

un fil horizontal qu'on observe avec une loupe, et on fait tourner la pince autour de la charnière jusqu'à ce que la ligne qui passe par les deux foyers des lemniscates coïncide avec le fil. Si les deux foyers ne sont pas visibles simultanément, on peut se servir de la ligne de symétrie des courbes qui entourent l'un des foyers. Pour mesurer l'angle apparent des axes optiques, on fait tourner la tige T de façon que les deux foyers des lemniscates coïncident successivement avec un fd vertical qui croise le fil horizontal : la tige porte une alidade munie d'un vernier qui se meut sur la division du disque D; on peut donc connaître l'angle dont elle a tourné, angle qui n'est autre que l'angle apparent des axes. Connaissant les indices du liquide et du cristal, on peut déduire de l'angle apparent des axes leur angle réel.

238. Appareil de I?I. H.irchhoff pour mesurer les angles des axes optiques relatifs Mt%. difTérentes couleurs. —

Lorsqu'on emploie l'appareil de Grailich pour déterminer les angles des axes optiques qui correspondent aux différentes couleurs, il faut éclairer la lame avec de la lumière homogène; or il n'est pas facile de se procurer des lumières homogènes présentant les différeiites

Fie 3.,.

teintes du spectre et rigoureusement définies. M. kirchholfa imaginé un appareil à l'aide duquel on peut mesurer l'angle des axes optiques, en se servant de la lumière du spectre solaire, de façon que les raies du sj)eclre fournissent des [)oints de; repère |)arfaitement

GRISTALX A DEUX AXES. DlSPERS10i\ DES AXES. 187

déterminés ^^'. L'appareil est placé dans une chambre noire où les rayons lumineux pénètrent par une fente verticale 0 (fig. 3o). On se sert de la lumière des nuées, réfléchie par une feuille de papier ou par un morceau de porcelaine, afin d'éviter le trop grand éclat de la lumière. Les rayons qui ont traversé la fente tombent sur une lentille achromatique A, dont le foyer principal se trouve sur la fente; ces rayons sont ainsi rendus parallèles et vont tomber sur un prisme P dont les arêtes sont verticales. Ce prisme donne un spectre pur, dans lequel on distingue nettement les raies de Frauenhofer. Après avoir traversé le prisme, les rayons tombent sur l'objectif d'une lunette astronomique B, munie d'un réticule. En sortant de cette lunette, ils rencontrent la lame cristalline; cette lame L est fixée verticalement au centre d'un cercle horizontal gradué : elle est portée par une plate-forme qui peut tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan du cercle et qui porte une alidade munie d'un vernier. A la suite de la lame se trouve une seconde lunette astronomique G dont l'axe est sur le prolongement de celui de la lunette B.

On ajuste d'abord les deux lunettes de façon qu'elles donnent une image nette des objets situés à une dislance infiniment grande. Le prisme étant enlevé, on place ensuite la lunette B dans la direction des rayons qui sortent de la lentille A , et on fait varier la distance de la lentille A à la fente jusqu'à ce que l'image de la fente soit vue aussi nelloment que possible dans la lunette B. On est certain alors que la fente se trouve au foyer principal de la lentille A. On dispose ensuite la lunette C sur le prolongement de la lunette B, de façon que le réticule de la lunette B soit vu distinctement dans la lunette C. Les lunettes ainsi réglées, on place le prisme derrière la lentille A, et, sans changer la distance des deux lunettes, on leur donne une direction telle qu'elles puissent recevoir une partie du faisceau qui sort du prisme. Il se forme alors un spectre pur dans le plan focal principal de la lunette B et une image nette de ce spectre dans le plan focal principal de la lunette G. En tournant le prisme, on fait coïncider l'une des raies du spectre avec le point de croisement des fils du réticule de la lunette G. On dispose ensuite

'" ^'"g'/T' "t""-.- CVIII, 5(17. — .1/1/'. (le rhjin. elde phys., (o), LIX, '18^.

la lame cristalline entre les deux lunettes, le polariseur immédiatement après la fente et l'analyseur entre l'œil et l'oculaire de la lunette C. L'interposition de la lame ne change pas la direction des rayons, pourvu qu'elle soit à faces parallèles. En plaçant l'analyseur devant l'œil, on aperçoit quatre branches hvperboliques noires qui vont se couper deux à deux aux points où aboutissent les directions apparentes des axes optiques. On fait tourner la lame de façon que ces deux points coïncident successivement avec le point de croisement des lils du réticule, et l'on a l'angle apparent des axes optiques relatif à la raie du spectre sur laquelle on a opéré : de cet angle apparent il est facile de déduire l'angle réel, pourvu qu'on connaisse l'indice du cristal. En faisant tourner le prisme, on peut faire coïncider les principales raies du spectre avec le point de croisement des lils du réticule, et déterminer les angles des axes optiques qui correspondent à ces raies. Les mesures prises à l'aide de cet appareil comportent une approximation de i o à i 5 secondes.

YIII.

PHFhOlMÈISES DE POLARISATION CHROMATIQUE

CIRCULAIREMEÎST OU ELLIPTIQUEMENT.

Les pliénomènos (jui se produisent lorsqu'on place, soit entre la lame cristalline et le polariseur, soit entre cette lame el l'analyseur, une lame capable de polariser circulairement ou ellipliquement la lumière qui possède la polarisation rectiligne ont été spécialement étudiés par Airy"^ Dans un grand nombre de cas, comme nous allons le voir, cette complication apparente introduit une simplification notable dans les nbénomènes.

A. — Lumière polaiusék ciuculairement ou elliptiquement.

239. Calesal «les intensités «les images lorsque la lumière «lui tombe sur la lame cristalline est polarisée circulairement ou elliptifiuement. — Sup|)Osons que la lumière qui tombe sur la lame cristalline soit polarisée circulairement ou ellipliquement de gauche à droite, ce qu'on réalisera en plaçant entre le polariseur et la lame mince une lame d'un quart d'onde répulsive dont la section principale soit à droite du plan primitif de polarisation. Pour avoir les intensités des rayons d'une certaine couleur dans les deux images fournies par l'analyseur, il faudra se servir des formules ([ue nous avons données précédemment (1 97) pour le cas de la superposition de deux lames cristallines, et faire dans ces formules

La différence de marche 0' — E' se rapporte alors à la lame mince, / désigne l'angle de la section principale de la lame dun quart d'onde avec le plan primitif de polarisation , a l'angle de la section principale de la lame mince avec celle de la lame d'un quart d'onde, a-\-i ~ s l'angle de la section principale de l'analyseur avec

(') Camhr. Tram., IV. — Pogg. Ann., XXVI, i/io.

la section principale de la laine mince, tous ces angles étant supposés comptés vers la droite.

En remarquant que l'on a

sm- — ^> — = sui^-7=-'

O' - E' .^ n'F.' i-cos27r

f., p, 1— cos27r ^

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