V/A 2AVA ^ 8A\/A
En portant ces valeurs dans i'écjuation (^i), elle devient
. __ ^ B.S-' (7B--4AC)/' '~V^A 2AVÂ 8A*v'Â
et, en remarquant que l'on a
27r 27rV A Xk
on obtient pour l'expression cherchée de l'indice de réfraction
V 47r-BV^ 1 i()7r''(7B^-4AC)V^ 1. ""v/Â 2A\'Â ^"^ 8AVÂ ^-'*
En posant
V , 27r'BV' 27z-''(7B'-4AC)V'
\/X AV'A A" y/A
& 2 71-^BV- r-^7i-''(7B^-4AC)V^
cette expression devient définitivement
La formule ainsi trouvée est de même forme que celle qui a été obtenue précédemment (166); mais la méthode que nous venons d'employer présente cet avantage cj[u'elle permet d'exprimer les coefficients constants a, p, q , qui entrent dans l'expression de l'indice de réfraction en fonction des coefficients A, B, C, qui figurent dans les équations différentielles du mouvement vibratoire.
Les coefficients a, p, q peuvent être déterminés directement par l'expérience, et les quantités A, B, C s'en déduisent au moyen des formules précédentes.
VtiiDET, VI. — Optique, II. 3
.ri llHJiHIK L)K LA DISFERSIU.N.
17!^. Formiile «le 71. C'ristofTel. — L observaliuii lie parait pas favorable à 1 hvpotlièse admise par (iaiicliv relativement à la loi du décroissement des coefficients A . B, (!,.... Si Ion essaye de représenter les indices de réfraction d'un milieu même peu dispersif
par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de pi et
([u'on calcule, comme nous venons de l'expliquer, les valeurs des
([uantités A. B. C on ne renjarcpie pas entre ces coefficients
les rapports (1(^ Grandeur implirpiés dans l'hypothèse. La forme d ailleurs des sommes que représentent ces coefficients, bien qu'elle sugfTere assez naturellement les conditions admises par (lauchv. ne les rend jias du tout nécessaires, et on peut se demander si un examen plus attentif de la nature de ces coefficients ne conduirait pas à une loi de dispersion plus conforme à la réalité : c'est ce que s'est proposé de faire M. CristofFel '' .
Guidé par des considérations théoriques que nous ne reproduirons j)as ici. il a ('lé' conduit à admettre que les deux premiers coefficients A et B sont du même ordre de grandeur, mais que les autres forment une série rapidement décroissante dont le premier term(^ est lui-même très-petit par raj)port à B. En partant de cette hypotiièse. il est facile d'oljlenir (iiic formule à deux constantes pour représenter I indice de réfraction.
Si la lon[(ii('nr dondiilation / dans le milieu considéré est excessivement petite, il peut être nécessaire de prendre dans le second membre de IV'cpiation (iq] un grand nombre de termes malgré le décroissement rapide des coefficients à partir de (i, et aucune relation simple entre l indice de réfraction et la longueur d'ondulation ne peut alors en être déduite: mais, dès que / est suffisamment grand pour rpie la série soit réductible sans erreur sensible à ses deux premiers ItM'uies. on a la relation simple
(i'est à ce cas expressément (pie M. Cnstollcl restreint ses re-
(') //*'/•/. M'uiolsbn-.. iSlJi, j). i)o6, t)Ç)7. — f''}gli- -^iiii' CWil. «27. — Aim. de iihi.s. etdechim., (3^ lAiV, :\-o.
FOHMLIJ-: DK M. CIUSTOKFKI.. 33
clierclius, laissant à rcx[)érienc(' le soin (\o déterniiiior ([iielle est cette limite inférieure des valeurs admissibles de /. On peut mettre l'équation ('^2) sous les deux formes
la première fait voir (pie B est négatif, car l'expérience nous apprend
que — diminue en même temps (pie A; la seconde montre que A
doit être positif.
On peut donc choisir deux quantités positives, ?/„ et X„, telles que
l'on ait
A 2 '4 tt' B X;
et, à l'aide de ces grandeurs auxiliaires, l'équation (99) se met sous la forme
d'où l'on conclut, pour la seule valeur admissible de n.
les radicaux étant pris positivement. On ne peut effectivement attribuer le signe — à y 1 -+- y sans rendre n négatif, ce qui est inadmis-
sible, et, d'un autre côté, si, en prenant ce premier radical avec le signe -|-, on donne le signe — au second, on obtient pour a une valeur croissante avec A, ce qui est contraire à l'expérience.
Il est bien entendu que cette formule est inapplicable au-dessous d'une certaine valeur de X que l'expérience doit déterminer. Si l'on fait, pour un moment, abstraction de cette restriction essentielle, on peut donner des grandeurs n^ et X^ des définitions physiques indépendantes de leurs relations avec les constantes de la théorie moh'culairc. ii^ est en effet la valeur de n qui correspond à X - = X^, et
3() rilKUIUR DE LA DISPERSION.
À^ t'sl la limite inférieure au-dessus de laquelle À doit rester compris pour que n soit réel, c'est-à-dire pour qu'il y ait réfraction. Pour une valeur de X inférieure à A„, il y a réflexion totale sous toutes les incidences : »„ et À„ sont donc les éléments caractéristiques du rayon au delà duquel il n'y a plus de réfraction possible.
Pour la plupart des substances dont on a étudié la dispersion, A^ est une quantité très-petite ])ar rapport à la longueur d'ondulation des rayons visil)les. La dissolution de phosphore dans le sulfure de carbone, étudiée par MM. Dale et Gladstone ''^ fait seule exception. La valeur de \ (|ui s'y rapporte est supérieure à la valeur de A que M. Esselbach attribue à la raie R du spectre ultra-violet.
On voit enfin que -7^ est une limite au-dessous de laquelle ne
peuvent descendre les valeurs de n , (|uelque grand que soit A. Le s|)ectre visible ou invisible d'une substance quelconque est donc limité des deux parts par les rayons dont les déviations correspondent
aux indu'es »„ et — = •
La formule de M. Cristolfel s'accorde d'une manière assez satisfaisante avec Texpérience ; elle donne cependant des résultats moins exacts (|ue la formule de (lauchv à trois termes '-^
"' Ann, de chim. et de plnjH., {^), LMU, lalj.
''^' M. Redteiibacher, dans roiivrage intitulé : Dus Di/nawiden System, qui a paru en i!Sr>7 à Mannlieini, propose, en se laissant {juider par des vues théoriques particulières, de représenter les phénomènes de dispersion par la fornmle à trois constantes
tv a'
L'expérience s'est montrée moins favorable à cette formule qu'à celles de (^anchy et de M. CrislofTel, dont elle diflere par l'addilion d'un terme proportionnel au carré de la Ion - {l'ueur d'ondulation.
M. lîriot, dans son Essai sur la théorie mathématiijap de la lunnèrv, attribue les phénomènes de dispersion à l'action exercée sur l'éther par les molécules pondérables.
Il remarque (pie cette influence peut se manifester de deux manières, soit en modifiant le mouvement vibratoire de l'éther, soit en changeant, avant la vibration, la distribution de l'éther dans le milieu et en introduisant dans celle distribution des inégalités périodiques, (les deux hypothèses ont été soumises par M. Rriot à l'épreuve du calcul. Il a trouvé (pie l'action directe des molécules pondérables sur l'éther en vibration introduit dans l'expression de la vitesse de propagation un tenue proportionnel au carr('' de la longueur d'onde, ce qui est contraire à re\périen<e.
Si l'im lien! ((iiiiiilc iiiiii|uemeul des in(''galil('s p(''rio<li(|U('S iiroduiles dans l;i dislribntiou
lUIJLlOliUAIMlIK. 37
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