J^AK

Si nous développons l+A^, >; + A>7, ^ + A^ par la formule de Taylor, il vient

^î= s; '^•"- + rfT^;/ + Tb '^■- + ï rf? ^■'^ + î TT? ^r + 5 rf? ^^'

et deux expressions analogues pour A»? et A^.

Comme les forces moléculaires n'ont d'action sensible qu'à de très-petites distances, les quantités Ax, Ay, Aï sont toujours trèspetites, et les séries qui représentent A^, A»;, A^ sont convergentes pourvu que les dérivées successives àe ^, v , K par rapport à x, y, ^ conservent toujours des valeurs finies. Toute solution des équations différentielles qui ne satisfera pas à cette dernière condition sera illusoire et devra être rejetée.

Si le milieu considéré n'est pas hémiédrique , à la molécule dont les coordonnées sont x-^Ax, y-^Ay, z+Az correspondra une autre molécule avant pour coordonnées x — Ax , y — Ay, z — Az, et pour laquelle les fonctions (p{r) et \î/(r) auront les mêmes valeurs que pour la première. Si donc, dans les équations (i ^), nous substituons les valeurs que nous venons de trouver pour A^, Aj7, A^, tous les termes qui, par rapport aux quantités A.r, Ay, Az, seront de degré impair, disparaîtront dans la sommation, et il ne restera par conséquent, dans le second membre de ces équations, que des termes contenant les dérivées d'ordre pair des quantités f , V, K \)^f rapport à x, y, :, et ayant pour coefficients des sommes dont la valeur est constante et ne dépend que de la constitution du milieu.

Supposons maintenant que le milieu soit isotrope et que dans ce milieu se propage une onde plane à vibrations rigoureusement transversales : toutes les directions étant identiques dans le milieu, nous pouvons, sans diminuer la généralité de la solution, considérer l'onde plane comme étant normale à l'axe des z. Dans ce cas f est constamment nul, et, ])()ur que l'onde se propage sans altération, il faut que ^ et tj soient des fonctions de la seule coordonnée z et (\n temps. Les termes qui confieiuient les dc'n-ivres de ^ et de tj par

rapport à x et a y disparaissent donc alors dans les équations (i^), et ces équations prennent la forme

A, B, C étant des constantes qui ne dépendent que de la nature du milieu, et qui, par raison de symétrie, doivent avoir les mêmes valeurs dans les termes correspondants des deux équations (i5).

Les équations différentielles (i5) représentent le mouvement vibratoire d'une onde plane à vibrations transversales normale à l'axe des z, et se propageant dans un milieu isotrope.

Les valeurs de f et de >? devant être des fonctions périodiques du temps , les solutions les plus simples de ces équations sont

^=a sin (^kz — st -i- Ç>) , »7 =è sin (^kz--st-\-x)i

où a, b, ^ et ;^ représentent des constantes indéterminées, tandis que les quantités s et ^ sont liées entre elles par l'équation

(17) s''==Ak'-}-U^-\-Ck^-{-

De ce que les constantes a, h, (p ai -^ ont des valeurs indéterminées, il résulte que les composantes parallèles aux axes des x et des y du mouvement vibratoire sur l'onde plane peuvent avoir des intensités quelconques et présenter des différences de phase également quelconques, ou, en d'autres termes, que dans un milieu isotrope une onde plane à vibrations transversales peut se propager sans altération, quelles que soient la forme et l'orientation des trajectoires décrites par les molécules vibrantes.

Il est facile de trouver la signification des constantes s et h qui entrent dans l'équation (17). Les formules (16) montrent en effet immédiatement qu'on a, en désignant par T la durée de la période du mouvement vibratoire,

d'où

•nr

on voit de même par ces formules que si z augmente d'un multiple de V , ^ et >7 reprennent les mêmes valeurs, d'où il résulte qu'en représentant par / la longueur d'ondulation dans le milieu on a

, 27r T et

On déduit de là, pour la vitesse de propagation /■ de hi lumière dans le milieu considéré.

En portant les valeurs des quantités s et k dans l'équation (i 7 >. elle devient

ou

Cette dernière équation donne la vitesse de propagation en fonction de la longueur d'ondulation et des constantes A, B, C,. . .; elle est de même forme que l'équation (1 0) obtenue précédemment par une autre méthode de calcul. On peut remarquer que v ne dépend pas des constantes a, b, (p et )(^, ce qui signifie que dans un milieu isotrope la vitesse de propagation d'une onde plane est indépendante de la forme et de l'orientation des trajectoires décrites par les molécules vibrantes.

L'équation (i<S) permet d'exprimer l'indice de réfraction du nnlieu ])ar ra[)[)ort au vide en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide, car, en désignant par n l'indice de réfraction, par V et X la vitesse de j)rnpagation el la longueur d'ondulation dans le vide, on a

et réquaiioii (18) prend la forme

/ \ » A , Tj (27r)* 2 , r ('■^'^)' 4 I

La formule (19) serait fort incommode pour la comparaison des résultats de l'expérience avec ceux de la théorie; aussi allons-nous chercher à y substituer une formule approchée dans lacjuelle l'indice de réfraction soit exprimé par une série ordonnée suivant les ])uissances décroissantes de A. Nous admettrons à cet effet, comme le faisait Cauchy, que les coefficients constants A, B, C, . . . décroissent très-rapidement, supposition à laquelle on est conduit assez naturellement en se reportant à l'expression des sommes que représentent ces coefficients : si alors la longueur d'ondulation / est supérieure à une certaine limite que l'expérience seule pourra déterminer, le second membre de l'équation (17) formera une série rapidement convergente dont il suffira de conserver les premiers termes. En appliquant à cette équation le théorème de Lagrange sur le retour des suites, on en tire la valeur de k'^ développée en une série de la forme

(90) r-=A2s^-fBoS^ + C2.se

Pour déterminer les coefficients Ao, B2, C2, . . . , il suffit de substituer dans l'équation (20) les valeurs de s^, s^, ./', . . . déduites de l'équation (17), savoir :

,2 A/^'^-fB//'+a'^+...,

i.^ = A2A;* + 2ABÂ" + ,

.s6=AH-6 + ,

L'équation (tio) devient alors

//^ = AA2A^--h(BA2 + A2B2)/r' + (CA2+2ABB2 + A3C2)//'+..., d'oii l'on déduit

AA2= 1, BA2+A-^B2 = o, (;Ao+2ABB2-f-A3C2 = o,

et par conséquent

BA, B r, CA,4-2ABB, CA-jB'

On voit par là que, si les coefficients A, B, C,. . . peuvent être

considérés comme des quantités très-petites du premier, du troi-

B C sième, du cinc|uième,. . . ordre, T^'X''" ' ' ^^^"^"^ *^^^ quantités

très-petites du premier, du second, . . . ordre, et par suite les

coefficients A^ , Bo , C2 . . • • décroîtront très-rapidement.

De l'équation (90) on tire pour k une expression de la forme

h = as + as- + jSs^ + /S's^ + ys^ + y's^+ ... ;

mais, la valeur de A;- ne contenant que des puissances paires de s, les coefficients a, /S', 7', . . . des termes qui dans l'expression de Arenferment une puissance paire de s sont nuls, et il reste

(21) A- = as + ^s^ + 7S^ +

Pour calculer les coefficients a, /S, y, . . . en fonction des coefficients A, B, C,. . . qui entrent dans les équations différentielles, il faut dans ces équations, et par suite dans l'équation (17), ne prendre qu'un nombre limité de termes. Si l'on s'arrête après le troisième terme, l'équation (i-y) devient

.s2 AA-'^+BA'* + œ;

c'est dans cette dernière équation qu'il faut substituer la valeur de Adonnée par l'équation (ai). Si l'on néglige les termes qui contiennent s à une puissance supérieure à la sixième , degré d'approximation qui est naturellement indiqué, puisque dans l'équation (17) on ne tient pas compte des termes où A- entre à une puissance phis élevée que la sixième, il vient

«2= A (a^s- + /S^s^^ + 2a/3s^ + aay.s'') + B(a'^5^ + ka^^s^) + Ca^s^

d'où

1 — Aa2= G.

(/32 4- 2ay)A+ 6a3/SB + Ga6= o ,

et par conséquent