Calcul des intensités des images dans l'analyseur

— Lorsque la lumière convergente qui tombe sur une plaque de quartz perpendiculaire à l'axe est polarisée circulairement, il faut, pour obtenir les intensités des images dans l'analyseur, effectuer un calcul dont la marche est la même que dans le cas où la lumière est polarisée rectilignement. Nous supposerons que la plaque de quartz est dextrogyre et que la lumière incidente est polarisée circulairement de gauche à droite; enfin, comme dans le cas précédent, au lieu de considérer des rayons tombant obliquement sur une plaque

de quartz perpendiculaire à l'axe, nous supposerons la lame inclinée à l'axe et les rayons incidents normaux à la lame, ce qui nous conduira aux mêmes résultats. Si l'on prend pour unité l'amplitude du rayon circulaire incident, abstraction faite de la réflexion qui s'exerce à la première face de la lame de quartz, on aura pour les composantes du mouvement vibratoire sur ce ravon

V =^sui (Ç.

^= — rcos(p,

V désignant la composante perpendiculaire à la section principale de la lame de quartz et ^ la composante parallèle à cette section principale. En pénétrant dans la lame de quartz, le rayon circulaire incident se décompose en deux ravons elliptiques polarisés en sens contraire. Les composantes du mouvement vibratoire, perpendiculairement et parallèlement à la section principale de la lame de quartz, sont pour le lavon ordinaire

>?' = m sin (^vpH- ,aj, ç ' = — km cos [Ç-^ (jl),

et pour le rayon extraordinaire

ïj" = Il sin [^-\-v], ? =-^cos(^+ J^).

Les constantes m, ii , fz et y sont déterminées par les deux conditions

qui doivent être satisfaites quel que soit ^■. on obtient ainsi les quatre é'quations

m cos ju -f- " cos V = —^ •>

\ii sm jM + » sin 1= 0,

— Inn cos |M 4- y cos v = z

km sin |u — -rsin j'= o,

d'où l'on lire

En conservant à y et à S les mêmes significations que dans le cas où la lumière incidente est polarisée rectilignement, on voit qu'au sortir du cristal le mouvement vibratoire est représenté sur le rayon ordinaire par

Ir]

Ad +A1

et sur le rayon extraordinaire par

cos

.p-dj,

Si l'on désigne par a l'angle que fait la section principale de l'analvseur avec celle de la lanse de quartz, le mouvement vibratoire du rayon ordinaire dans l'analyseur a pour expression

c'est-à-dire

cos a

sin a \/'2(i +A:-;'

;r7' + >7")cosa + (f+l")«'»«.

(i +/.-)sln((p-^)-Â-(i -^') sin (0-7)1 /: ( 1 -f /.■) cos {(p - ^) 4- ( I - k) cos (Ç - y )]

Pour avoir l'intensité de l'image ordinaire il faut remplacer (p— o par (p — y-\-y — S el faire la somine 4es cprré^ (\e^ coe(ficien!s de

sin((p — y) et de cos(Ç — 7); on trouve ainsi

4-A- (1 4-/1) sina sin(y— (^) ' H- ( 1 + ^') cos a sin (7 — S)

-sina[A-(i+Â-)cos(7-<^)-i + /.•]]'!

+sin2a rA-'^(i+A-)2+(i -/,)2 gA.(i A-2)cos(7-<î)]

4- 2 sin a cos a [(1 +À-) 005(7 — (^) -/r(i-/^)]A-(i +^)sin(7-^) -[k(i+k)co,{y-S)-i+k](i+k)sm{y-S)]\

' ^,,j(i+^y+^A-(i-Â:^)(cos2a-sin2a)[i-cos(7->^)]

— 9(1 +/.•") (1 —/•'-) sinacosasin (7 — <^) (

- + -r — TTw cos 2a — -, tt:t- cos 2a cos 7 — d

—7 77: sin 2a sin (7 — ^).

2 (1+ ft-) ^'^ ''

Si dans cette valeur de l'intensité on fait A== 1 , l'expression de t^ devient indépendante de 7 — ^ et par suite de la couleur, et se

réduit à -•> d'où il faut conclure que les deux images de l'analyseur

présentent dans la lumière blanche une tache centrale incolore. Ce résultat était du reste facile à prévoir, car nous avons vu (253) qu'un ravon polarisé circulairement traverse une lame de quartz parallèlement à l'axe sans éprouver aucune modification. La formule que nous venons d'obtenir montre de plus qu'avec la lumière polarisée circulairement les images ne présentent plus de lignes incolores.

26 A. Courbes isochromatîques. — Spirales quadratiques. — Pour obtenir approximativement la forme des courbes

isochromatiques, posons

i +k^ -^tang9a:=tang24/;

nous aurons ainsi pour l'intensité de l'image ordinaire

o I , k{i-k') k{i-k')cos{y-S-'ii>)

2 [i + k'f "^ (i + /£-)\/{i + ^-)-cos'24/+ 4/£'sin'2vf/

Si l'on donne à a une valeur déterminée, cela revient à considérer les points situés sur une droite passant par le centre du phénomène et faisant avec la section principale de l'analyseur un angle égal à cette valeur particulière de a. Si l'on considère sur une telle droite des points peu éloignés les uns des autres, on peut regarder k comme conservant une valeur sensihlement invariable, et l'on voit alors sur cette droite l'intensité passer par un maximum lorsqu'on a

y — S— 9if' = (9NH-i)7r,

N étant un nombre entier quelconque, et par un minimum lorsqu'on a

Ces conditions, étant les mêmes quelle que soit la valeur de a, représentent les équations des courbes isochromatiques pourvu qu'on y regarde \{/ comme une fonction de a.

Nous avons vu précédemment (261) que la quantité y — S est égale à la somme de deux termes dont l'un est constant et dont l'autre est proportionnel au carré de la distance du centre de l'image au point où le rayon pour lequel on prend la différence y — ^ rencontre le plan du tableau, c'est-à-dire à la quantité que nous avons désignée par x'^-\-y^\ comme, pour le rayon qui traverse le cristal parallèlement à l'axe, y — Sosi égal au double de la rotation p, le terme constant est égal à 9p et l'on a, en représentant par ^J- la quantité x^ + î/^ et par /i une constante,

y — S= ^p-j-liv-.

L'équation des courbes isocliromatiques corr(^spondant aux minima

prend donc la forme

V désignant le rayon vecteur de la courbe et if' étant une fonction de l'angle a que fait ce rayon vecteur avec la trace de la section principale de l'analyseur sur le plan du tableau.

Pour les points qui ne sont pas trop éloignés du centre du phénomène, k a une valeur peu différente de l'unité, et par suite l'angle \|/ est sensiblement égal à a. En admettant l'égalité des deux angles, l'équation polaire des courbes isochromatiques se réduit à

lin^ =2 (a. — p) + 2 Ntt ; si l'on fait N=o, celte équation devient

liv-= 9 (a— p)

et représente une spirale partant du centre 0 et tangente en 0 h une droite qui fait avec la trace de la section principale de l'analyseur un angle égal à p, c'est-à-dire à la rotation que la lame de quartz fait subir au plan de polarisation d'un rayon qui la traverse parallèlement à l'axe. La figure 38, où SS' désigne la trace de la section principale de l'analyseur, montre que cette spirale OAB s'enroule de droite à gauche.

En faisant N= i, on obtient une seconde spirale OCD qui n'est autre que la première à qui on aurait fait subir une rotation de i8o degrés. Pour les valeurs de N supérieures à l'unité, on retrouve alternativement les deux mêmes spirales.

En réalité les courbes isochromatiques présentent une forme plus complexe, ce qui tient à ce que l'angle 4/ est toujours supérieur à a; la différence entre ces deux angles est maximum ou minimum pour des valeurs de a qui correspondent à la direction de la section principale de l'analyseur, à une direction perpendiculaire et à deux directions faisant des angles de kb degrés avec les précédentes. Il en résulte que les deux spirales présentent des ressauts, c'est-à-dire des angles droits émoussés qui sont situés sur la trace de la section principale de l'analyseur et sur une droite perpendiculaire, ainsi que le montre la figure 3 9. De là le nom de spirales quadratiques, qui leur a été donné. Il est évident d'ailleurs que l'intensité de la tache centrale blanche fait disparaître complètement les parties des dei|\'

LUMIERE CO.WERGENTE.

spirales voisines du centre et qu'il est impossible de vérifier expérimentalement la direction de leur premier élément.

Lorsque la lame de quartz est dextrogyre et la lumière incidente polariséo de gauche à droite, les spirales s'enroulent do droite à

•ig. 38.

Fig. 3y.

gauche; elles s'eiirouh^il au contraire de gauche à droite lorsque, la lame restant dextrojjyre, la lunjière incidente est polarisée de droite à gauche. Avec une lame lévogyre ces résultats sont renversés.

!265. Action titi fiiiartx siii* un rayon elliptic|ue incliné à l'axe. — Dans 1 hypothèse d'Airy les formes des ellipses de vibration varient, sur les deux ravons réfractés elliptiques auxquels donne naissance un rayon incident, avec l'inclinaison de ce ravon sur l'axe. Il en résulte que, si la lumière incidente est polarisée elliptiquementj il pourra exister dans le cristal une direction pour laquelle un des rayons réfractés est polarisé elliptiquement de la même manière que les rayons incidents; suivant celte direction l'autre rayon réfracté aura une intensité nulle. II ne pourra donc y avoir interférence, ou en d'autres termes le rayon ellipticpie se propagera sans altération suivant cette direction, de même qu'un rayon circulaire se propage sans altération parallèlement à l'axe. Les images de l'analyseur présenteront alors une zone incolore qui indiquera la direction où dans le quartz la polarisation elliptique est identique à celle des rayons incidents. On conçoit qu'en opérant avec de la lumière elliptique de composition connue on puisse ainsi se faire une

idée de la manière dont varie la polarisation elliptique dans le quartz à mesure qu'on s'écarte de l'axe. Ce procédé, mis en pratique par M. Airy, est médiocrement exact; il a cependant pu servir à reconnaître que la polarisation elliptique est très-sensible tant que l'inclinaison des rayons incidents sur l'axe ne dépasse pas i o degrés.

C. — Lumière convergente, polarisée rectiligxement, qui traverse dedx lames