DE PHASE D'AMPLITUDE

1 rayon o iÇ — n — — ^ ,

- ravons a"-'o S — in—i) ,

(il)"-^ (û — n ^— n — i)— .

1 ravon " (P- " " — •

Les rayons qui ont pour amplitude a''~H ont tous même phase

0 — n -■, mais leur azimut de polarisation varie d'un rayon à

l'autre. Pour un rayon qui a d'abord traversé p lames en subissant la modification a, l'azimut du plan de polarisation est pp, et il rencontre la (/>4-i)""" plaque dont la section principale fait avec le plan primitif de polarisation l'angle

de sorte que l'angle de la section principale de la {p + i)' '" lame avec le plan de ])olarisalion du rayon qui la traverse est

A la sortie de cette lame le rayon a subi la m odifi cation b et son plan de polarisation a tourné de

de sorte cjue son azimut est devenu

en posant

En traversant les n — {p-\- i) iames restantes, le rayon subit de nouveau la modification a et son plan de polarisation tourne de

de sorte que l'azimut de ce plan de polarisation, lorsque le rayon a traversé toutes les lames, est devenu

p pouvant prendre toutes les valeurs depuis i jusqu'à n, il est évident que cette expression pourra prendre n valeurs différentes et (|ue la valeur du second terme sera toujours comprise entre [n — i) p

et — (n — i) p.

Le second groupe des rayons, dont le nombre est- » l'am-

plitude commune rf"~'"/r etla pbase commune (p— n—-^—^^—-, donnera lieu à des considérations analogues. L'azimut sera également variable d'un rayon à l'autre.

Ceci posé, remarquons que le rayon qui a subi la modification n dans toutes les lames et qui a pour intensité a" est polarisé dans l'azimut np. Il s'agit de démontrer que, si n est très-grand, le rayon polarisé dans l'azimut np est le seul qui ait une intensité sensible au sortir des n lames.

Pour cela, projetons les mouvements vibratoires de tous les rayons

sur deux axes, l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à l'azimut np. Sur la droite per])endiculaLi'e à cet azimut nous avons d'abord la vibration entière du rayon

a"sin((p-y<-^);

puis il faudra v ajouter un grand nombre d'autres termes qu'on obtiendra en multipliant par un cosinus, c'est-à-dire par un nombre compris entre — i et -f- i , les vibrations de chacun des rayons des

différents groupes. Tous ces ravons ont des phases qui varient de-

quand on passe d'un groupe à l'autre. La somme de leurs projections est évidemment moindre que celle que nous obtiendrons en leur supposant à tous même phase. En outre, comme les cosinus par lesquels il faut multiplier les mouvements vibratoires des rayons d'un même groupe pour les projeter ont des valeurs très-nombreuses comprises indifféremment entre — i et + i , la somme réelle est encore très-petite par rapport à celle qu'on obtiendrait en remplaçant chacun de ces cosinus par l'unité, (iomme il v a n rayons d'amplitude «"~^/>, rayons d'amplitude égale à a"'-b-, la somme

obtenue dans l'hypothèse que nous venons de faire est égale à

c'est-à-dire, d'après la formule du binôme, à

(a + by-n".

En résumé, la composante du mouvement vibratoire suivant une direction perpendiculaire à l'azimut np est donc formée de deux termes , dont l'un est égal à

a" sin ((p — Il -~ ] '

et dont l'autn^ est très-petit par rapport à In (piantitt*

(n + hy -a\ Si donc nous faisons voir d'abord que la quantité [a -\- by — a" a

une limite finie quand n augmente indéfiniment, et ensuite que la limite de a" dans la même condition est l'unité, nous aurons démontré que, pour une valeur très-considérable de n, l'intensité du rayon polarisé dans le plan dont l'azimut est np est très-voisine de l'unité, et que, par suite, ce rayon est très-près d'être seul à subsister.

Cherchons d'abord la limite de «" quand n croît indéfiniment. On a

d'où

t-hii-'Y

cos-

^+/iPsin

et, en remplaçant dans la parenthèse cos- — ^par i — sin

2 1 - A- - . .S-y r = 1 — 7 iTT^ sur

D'ailleurs, k étant compris entre zéro et l'unité, on a

[i + tf

et par suite

Si nous élevons à la puissance n l'expression de a^, il vient

fl^" = 1

.1 - k-y . o«^-7\« : — —nrr.sm- ~ '

Si nous remplaçons le sinus par l'arc, le résultat sera trop petit : donc

b-^i^ïY

Si nous changeons le signe du second terme de la parenthèse, le résultat sera trop grand; donc

3/«0 POLARISATION ROTATOIHE.

Nous supposons n très-grand; mais il faut admettre en même temps que la différence de marche totale est une quantité finie; nous pouvons donc poser

û 6 étant une quantité finie. En substituant à S— y sa valeur -» il vient

L (n-/c-)-4/i\J ou bien , en posant

Développons ces deux expressions par la formule du binôme, nous aurons un nombre de termes très-grand, mais fini; il vient

ainsi

h , nln— i) li-

h , nln— 1) h- ,

^ ' n- 1-2 ir

Si dans la première inégalité on prend tous les termes négativement à partir du second, l'inégalité subsistera a fortiori et l'on aura

h II (" — 1 1 /r

Les deux inégalités subsisteront encore si l'on remplace tous les

p . n n — \ Il — 2 1 <• 1 1

lacteurs -■, ^ ■> — r- 'etc., par le lacteur plus grand n, ce qui

donne

M .^ i — n ~ — n- —, — n^ —. — n- II' n"

' 11- ni Il'l

ou bien

h ie ¥

^ Il n' ;i'

Si n augmente indéfiniment, on voit que la série des termes que dans ces deux inégalités on ajoute à l'unité ou que l'on retranche de l'unité a pour valeur

n V 11 n' J 11 II

quantité qui a pour limite zéro lorsque n augmente indéfiniment.

Les deux limites de a^" ont donc pour valeurs l'unité, et par conséquent il en est de même de la limite de a"'", et par suite aussi de la limite de a".

Il nous reste à démontrer que la quantité [a + />)" — a" a une limite finie quand n augmente indéfiniment. Cette quantité est plus petite que

(i-i-bY — a", dont la limite est

(i^by-i;

h= \ -\ r; sin

la limite cherchée est donc plus petite que

ou, en posant que

IrB

i-hk- 2 o

Or l'expression f i +-^ j"a pour limite e^ quand n augmente indéfiniment. Donc e'-'—i est une limite supérieure de la quantité (« 4- />)" — r(", qui par suite reste toujours finie.

3/i2 POLARISATION ROTATOIRE.

11 résulte de ce que nous venons de voir que , si un rayon polarisé rectilignement traverse un système de n plaques minces douées du pouvoir rotatoire, ces plaques étant toutes de même épaisseur, en nombre très-grand, toutes ayant leurs axes de cristallisation inclinés de la même façon par rapport au rayon incident, mais leurs sections principales étant orientées d'une manière quelconcpe, l'action de ce système sur le rayon se réduit à une rotation du plan de polarisation égale à np. Or, d'après la valeur trouvée précédemment pour p,

on a

la rotation produite par le système dos n lames est donc égale au

produit de la quantité p par la rotation que donnerait une lame

unique douée de la polarisation circulaire et établissant entre les deux rayons la même différence de marche que le système des n lames minces.

Il ne serait probablement pas difficile de vérifier Cc résultat par l'expérience, en faisant passer un rayon polarisé à travers un paquet de lames minces de quartz, dont les sections principales seraient orientées dans des plans différents et disposées au hasard.

M. Jamin, comme nous l'avons vu plus haut (291), a calculé les valeurs de ^ — 7 et de k, pour le cas où un rayon polarisé traverse une lame de quartz perpendiculaire à l'axe, inclinée d'un angle variable sur la direction du rayon incident. A l'aide des nombres qu'il a trouvés et de la formule que nous venons d'établir pour le cas où le ravon traverse un grand nombre de lames minces de même épaisseur et également inclinées sur la direction du rayon, nous pouvons calculer la rotation que subit, dans ce cas, le plan de polarisation. Cette rotation est en effet égale à np, c'est-à-dire à

Les résultats qu'on obtient ainsi par le calcul de np montrent que la rotation du plan de polarisation produite par le système des lames est à peu près égale à celle que donnerait une lame de quartz

ESSAIS DE THEORIE. 3/i3

perpendiculaire à Taxe, ayant la même épaisseur que le système des lames minces. Cette conclusion était tout à fait inattendue, car on était habitué à regarder le pouvoir rotatoire comme disparaissant rapidement à une petite distance de l'axe. Or, l'affaiblissement que subit le pouvoir rotatoire du sulfate de strychnine lorsqu'on le met en dissolution pouvait s'expliquer à l'aide de celte hypothèse de la disparition rapide du pouvoir rotatoire lorsqu'on s'éloigne de l'axe. (;omme celte hypothèse est reconnue inexacte pour le quartz, il en résulte que l'observation de M. Dcscloiseaux présente une dilliculté dont on n'a pas encore de solution.

La ]nélhode de la superposition des lames permettrait de suivre le pouvoir rotatoire jusqu'à une distance de l'axe à laquelle le procédé de M. Jamin n'est plus applicable, et de déterminer sa valeur pour chacune des valeurs de l'angle B que fait l'axe de cristallisation des lames avec le rayon incident, ou, ce qui revient au même, avec la normale à la surface de ces lames. Connaissant ensuite le pouvoir rotatoire en fonction de l'angle B, on pourrait en déduire le pouvoir rotatoire des dissolutions.

En effet, quand un cristal se dissout, on peut admettre qu'il se divise en un nombre très-grand de lamelles orientées à peu près indifféremment dans toutes les directions, et il est facile de calculer le nombre relatif de lames dont la normale fait un angle B avec l'axe de cristallisation. Pour cela, menons par un point cpelconque 0 une parallèle OA à l'axe de cristallisation, et, de ce point 0 comme centre, décrivons une sphère avec un rayon égal à l'unité. Comme nous avons supposé les chances égales dans toutes les directions, chacun des rayons de cette sphère sera perpendiculaire à un même nombre de lames, ou, en d'autres termes, deux éléments égaux de la surface sphérique seront parallèles à un même nombre de lames cristallines. Le nombre de ces lames dont les normales font avec l'axe des angles compris entre B et B -\- d9 est donc proportionnel à la surface d'une zone sphérique qui a pour expression 977 sin B dB. Soit maintenant (p (0) la valeur de la rotation pour l'angle B :

l'intégrale 1 '(p(^B)smBdB donnera la rotation produite par l'ensemble des lameSj c'est-à-dire la rotation produite par la dissolution;

ZUh POLARISATION ROTATOIRE.

On voit que, si le pouvoir rotatoire est le même dans toutes les directions, (p [6) est une constante c et l'intégrale se réduit à

c ( " sin 6 ils = c.

Dans ce cas particulier, la dissolution aura donc le même pouvoir rotatoire que le cristal lui-même dans la direction de l'axe.