Vérifications expcriaBBentales de ]TI. Jamin. — Les

formules que nous venons de calculer ont été données en i83() par Mac Cullagh. Elles diffèrent très-peu, quant aux résultats expérimentaux, de celles que Cauchy a fournies à M. Jamin sur sa demande. M. Jamin ne connaissait nullement le mémoire de Mac Cullagh, et il voulait vérifier s'il est possible de rendre compte des phénomènes que produisent les cristaux doués du pouvoir rotatoire, en supposant que dans ces cristaux le rayon vecteur de l'ellipsoïde de Huyghens est diminué d'une longueur constante ^^'.

Dans ses expériences de vérification, M. Jamin opérait avec une hune de quartz perpendiculaire à l'axe, qu'il inclinait d'une quantité variable sur la direction des rayons incidents ; l'angle B pouvait ainsi se calculer à chaque observation. La lumière, au sortir de la lame, était reçue sur un compensateur de Babinet (209), qui servait à mesurer la différence de phase entre les composantes polarisées parallèlement et perpendiculairement à la section principale; c'est par l'observation de cette différence de phase que M. Jamin a cherché à vérifier les conséquences de la théorie; les nombres qu'il a obtenus coïncident parfaitement avec ceux qu'il a déduits des formules de Cauchy. On peut donc regarder la théorie précédente comme expliquant d'une manière complète les phénomènes de la polarisation rotatoire dans les cristaux à un axe.

B. — Cristaux à deux axes,

292. inétliode de ITIac Cullagh. — On est loin de connaître aussi bien les lois qui régissent la marche de la lumière dans les cristaux à deux axes dont les dissolutions jouissent du pouvoir rotatoire. Il est évident que dans ces cristaux la polarisation doit être en général elliptique. La question a été abordée successivement par Mac Cullagh et par Cauchy, mais ces géomètres n'ont donné que des indications de théorie sans développer leurs calculs.

") C. /?., XXX, 99. — Ami. de chiin. ri <h phus., {'S), XXX, ûo.

La méthode de iMac Ciillagh*^' est très-reraarquable : c'est un bel exemple de ce qu'on peut faire quand on est réduit à de simples conjectures. Pour faire comprendre en quoi consiste cette méthode, il faut rappeler certains principes de mécanique et, en premier lieu , celui qui porte le nom de d'Alembert. Ce principe nous apprend que, dans le mouvement d'un système de points soumis à des liaisons quelconques et sollicités par des forces quelconques, il y a équilibre à chaque instant, au moyen de ces liaisons, entre ces forces et des forces égales et directement opposées à celles qui produiraient sur chaque point matériel supposé libre le mouvement qu'il suit réellement.

Si on considère un point en état de mouvement dont les coordonnées sonta^, y, z, et dont le déplacement a pour projections sur les axes ^, )?, ^, et si, de plus, ce corps est sollicité par une force totale dont les composantes suivant les axes sont X, Y et Z, il faut que l'on ait, d'après le principe des vitesses virtuelles combiné avec celui de d'Alembert,

quels que soient les déplacements virtuels Sx, Sij , Sz.

S'il y a un système de points liés entre eux, il faut que la somme des moments vu'tueis relatifs à chaque ])oint soit nidle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons. Si les points sont infiniment rapprochés, cette somme se change en intégrale, et l'équation devient

Si, au lieu des forces motrices X, Y, Z, nous introduisons les forces accélératrices, et si nous remplaçons la masse m j)ar fidvdydz, p désignant la densité, nous avons

X/;fp''-'-''rM(x-'ii)^.+(Y-:^)^,+(z-'jf)^.]=o.

Toutes les fois (pie les forces (jui agissent sur le système sont

") Proceed. oflhc h. Aatd.A, .'583,

uniquement des forces moléculaires ne dépendant (|ue de la distance des molécules entre elles, la somme \Sx -j-YSij -i-Zh peut être considérée comme la différentielle totale d'une fonction V des coordonnées œ, y, z, cpie l'on désigne sous le nom de fonction des forces '^', En remplaçant cette fonction par JV, l'équation précédenle peut s'écrire

Jj'fp ,/.,■ ,1,, ,1: ,n j'ijp ,/.,• ,/, ,1: C^l ^.r + ;-;;? S,, +§ S:) ■

(jnaïul l;i Inuchoii (1rs lorccs est ('(Miimo, le jiroMriiic ne prf'seiid' |)liis (iiic (les (lilliciilh's (laii;d\se. cl (Hi \()i( (iiic. poiii' les nioinciiieiils \ ihi'iitoircs iiioh'ciiliiin's. loiil si' m'mIiiiI à l;i rcclicrclic de l;i loucllou des loi'ccs.

Dans les mdieux biréfringents dépourvus du pouvoir rotatoire, l'expérience montre (|ue la lumière est toujours polarisée. Les phénomènes, et par suite la fonction des forces, ne dépendent que des dé[)lacements relatifs des molécules du milieu. Mais de ces déplacements relatifs il est impossible de rien déduire qui ])uissc donner lieu aux phénomènes rotatoires.

Mac Cullagh a reconnu que, si l'on introduit dans la fonction des forces Y aire rehitire d'u)ie molécule par rapport aux autres molécules, l'équation contiendra des termes proportionnels aux dérivées troisièmes et pourra rendre compte du pouvoir rotatoire.

Quand une molécule se meut dans l'espace, l'aire décrite par sa projection sur le plan des xy est

\{xdy-ydx)\

mais si, au lieu de rapporter le mouvement de cette molécule à l'origine des coordonnées, on le rapporte à une autre molécule également mobile, on pourra considérer l'aire relative de la première par rapport à la seconde. Pour obtenir cette aire relative, il suffit de remplacer dans l'expression précédente x et y par les déplacements relatifs. Soient donc ti et ^les projections, sur les axes des y et des x,

du déplacement d'une des molécules; n + ~r dz, ^-\--r d: les pro-

*') Voir, pour la déinonslratiou de ce lliéorèmo, le tome VII du présent ouvraye, p. 7.

jections du déplacement de. la seconde molécule. En considérant le mouvement d'une onde plane perpendiculaire à l'axe des :, la considération des aires relatives introduira dans la fonction des forces des termes de la forme

d^ d'ri dt] d-^ Tzd?~Tzl?'

et l'équation définitive où entre d\ contiendra des dérivées troisièmes. Si l'on fait cette hvpothèse dans la théorie de Mac Cullagh sur les cristaux à un axe . on peut expliquer toutes leurs propriétés rotatoires. On est donc conduit à penser que la même hypothèse dans les fonctions des forces pour les cristaux à deux axes rendra compte aussi des phénomènes de la polarisation rotatoire. L'introduction des aires relatives dans la théorie de la propagation de la lumière dans les cristaux à deux axes montre que la polarisation v est généralement elliptique, mais que, suivant les directions des axes optiques, elle devient circulaire, ce qui tendrait à faire penser que les cristaux à deux axes possèdent le pouvoir rotatoire suivant les directions de leurs axes optiques. Cette conséquence de la théorie de Mac Cullagh serait très-importante, mais elle n'a pu encore être vérifiée expérimentalement. 1) abord, il est rare de rencontrer des cristaux à deux axes assez transparents et assez purs pour se prêter à des expériences de ce genre, et qu'on puisse tailler perpendiculairement à la direction d'un axe optique. Mais, quand même cette difficulté serait surmontée, il en resterait une autre inhérente aux propriétés mêmes des cristaux à deux axes. Dans les cristaux à un axe, le rayon ordinaire a une vitesse constante et le ravon extraordinaire acquiert sa vitesse maximum ou minimum lorsqu'il se meut dans la direction de l'axe. 11 en résulte que les phénomènes varient très-lentement au voisinage de l'axe. Dans les cristaux à deux axes, au contraire, l'axe optique est une direction suivant laquelle les vitesses des deux rayons sont fortuitement égales; aucune d'elles n'y est maximum ni minimum , et elles varient rapidement dès qu'on s'en écarte. On conçoit donc que les propriétés rotatoires suivant les axes optiques seraient très-difficiles à mettre en évidence.

293. Travaux de Cauchy. — Cauchy a fait connaître en 18/17 *^^ des équations hypothétiques qui expliquent les phénomènes de la polarisation rotatoire dans les cristaux à deux axes. Le mouvement vibratoire moléculaire dans les cristaux à deux axes dépourvus de pouvoir rotatoire peut se représenter par des équations de la forme

et deux autres analogues pour -ttt et -j-^- Dans ces équations, m

et [x sont les masses des molécules qui occupent les positions ayant pour coordonnées x, y, z et .r+ A.r, y-\-Ay, 2+ Ae; ^, >7, X, sont les déplacements de la première molécule dans l'état de mouvement, l+A^, )7 + A)7, ^4-A^ les déplacements de la seconde molécule, V leur distance initiale et p + v leur distance pendant le mouvement.

Pour tenir compte du pouvoir rotatoire, Cauchy complète ces équations en leur ajoutant un terme de la forme suivante :

lit

\ = ^(jim{Ax^A^)fiv + p) + ^ixm (A:Av^AyAz)fi (y).

Les termes ainsi ajoutés sont du genre de ceux qui représentent les aires relatives. Mais, au lieu d'introduire dans la fonction des forces des dérivées secondes, et par suite des dérivées troisièmes dans l'équation définitive, les formules de Cauchy introduisent dans l'expression du mouvement vibratoire les dérivées premières du déplacement, d'où il résulte qu'avec l'approximation que nous avons employée précédemment on arrivera à des résultats indépendants de la longueur d'ondulation. Cette théorie paraît donc inférieure en probabilité à celle de Mac Cullagh. Cauchy a vainement essayé de rendre compte de la polarisation rotatoire par une hypothèse sur la constitution mécanique du milieu et sur l'arrangement des molécules. Il avait cru y arriver en supposant aux molécules une forme dissymétrique, mais Mac Cullagh lui fit observer que son hypothèse le conduirait à introduire dans les équations différentielles des (^) C;i?.,XXV, 33i.

;j28 POLARlSATI0i\' UOTATOIRE.

termes à coetricients de même signe, tandis que les signes de ces coefficients doivent être contraires pour qu'il y ait pouvoir rotatoire.

iï^k. Travaux de M. Clebscli. — Un mathématicien allemand, M, Clebsch '' , a développé les formules de Caucliy et cherché à en déduire les propriétés des cristaux pourvus du pouvoir rotatoire. La méthode de M. Clebsch est souvent fort arbitraire; il identifie dans le cours des calrnls des constantes distinries. de sorte (Hi'oii lient (''le\(M' des donlcs sur l e\;ictitn(h' de st'>- ré-sidlals. En l'IiidiMnl li's fiist;iii\ ii deux ;i\e,s. il a Ii()ii\(' (pic leurs pr(»|>i'i(''lés .siii\;inl li'> (lii'i'cl i(tii> (II' leurs ;i\e> (ihlKiiies senl coiimiirables i\ celles des ciishiiix ;i un a\e siii\;iiil lii direclidii de I a\e. Il a clierclié ensuite à donner une e\pliinli(»n nn-canique des lei'nies jqoutés par Cauchy. Suivant lui, on retrouve les termes introduits par Cauchy en admettant qu'outre les actions ordinaires qui s'exercent entre.' deux molécules il en existe une autre, variable avec la distance et dirigée perpendiculairement au plan qui passe par les deux molécules et par la direction de la vitesse relative de l'une d'elles par rapport à l'autre. Mais ce qui est plus extraordinaire encore, c'est que M. Clebsch admet que cette force persiste indéfinhnent, c'est-àdire qu'à chaque instant elle est représentée par l'intégrale de toutes celles qui ont existé depuis le commencement du mouvement ; toutefois cette intégrale ne peut être indéfiniment croissante. On voit que toutes ces hypothèses sont peu d'accord avec ce qui s'observe généralement (-^.

G. — Pouvoir rotatoire des dissolutions actives.

295. ronsidératioiis générales. — Laissant de côté les considérations théoriques que nous venons d'exposer, il y a intérêt

(•) Journal (le Crelle , LVII, 819.

'-' Postérieuremenl à l\^po(iiie où tes leçons onl été professées, M. Briot, dans son Essai sur la théorie iiialhéitiatiquc de la linnière , a donné nne tliéorie compiète de ia polarisation rotatoire. Il prend pour point de départ les inégalités que, dans les milieux dissym('lri(]ues, l'éllicr éprouve dans sa distribution, et suppose (]ue dans ces milieux les files do iiioléculos d'élher sont tordu s en hélices elliptiques, (les inégalit(!s introduisent dans les c([uations diiréronticlles des mouvements vibratoires des tlérivées d'ordre impair dent la |)réseiice indique le pouvoir rotatoire. Nous reiivovous le lecteur à Touvrajjo do M. IJriol , retendue de sa tliéorie ne nous permettant pas de la reproduire ici.

à ctivisager la (juestion à un autre point de vue et à chercher ce (ju'il y aurait à faire pour passer de l'étude des cristaux doués du pouvoir rotatoire à celle des dissolutions actives. On peut regarder comme établi par la théorie et par l'expérience que, dans les cristaux à un ou à deux axes doués du pouvoir rotatoire, la polarisation rectiligne se change en polarisation elliptique; de plus, à cause de la petitesse des termes à ajouter aux équations différentielles, les ellipses de l'onde ordinaire et de l'onde extraordinaire seront toujours à peu près semblables. Pour se rendre compte des propriétés des dissolutions actives, il faudra résoudre le problème suivant : Quel est l'effet produit sur un rayon polarisé rectilignement par un nombre immense de molécules douées de la propriété de transformer ce rayon en deux rayons elliptiques de sens contraire, et disséminées de toutes les manières [)Ossibles dans un milieu inactif? Il est nécessaire de poser ainsi la (pjestion, à cause des nombreuses expériences qui prouvent que la structure moléculaire se conserve dans les dissolutions, et que par conséquent la dissolution d'un cristal doué du pouvoir rotatoire dans un liquide inactif doit être considérée comme un mélange de molécules actives et de molécules inactives. Nous allons d'abord chercher à rendre compte de cette première loi, c|ui consiste en ce que la rotation du plan de polarisation produite par une dissolution est proportionnelle à l'épaisseur de la colonne liquide traversée. Pour cela nous remarquerons que. l'ordre dans lequel se succèdent les molécules étant indifférent, on peut grouper ensemble toutes celles dans lesquelles le rayon lumineux fait les mêmes angles avec les axes de cristallisation; la section principale des molécules ainsi définies est encore indéternu'née, et elle pourra prendre toutes les directions compatibles avec la première condition. Nous allons nous proposer de démontrer que l'effet d'un pareil système sera de faire tourner le plan de polarisation d'un angle déterminé, et, pour y arriver, nous allons d'abord examiner l'effet d'une lame unique douée du pouvoir rotatoire.

296. Action d'une lame mince unique, douée «lu pouvoir rotatoire, sur la lumière polarisée rectilignement.

— Supposons qu'un rayon ])olarisé rectilignement tombe sur une

ViiimiiT, VI. — Optique, H. 22

lame cristalline mince, clouée du pouvoir rotatoire, et que cette lame soit oblique à l'axe s'il s'af^nt d'un cristal à un axe, et dirigée d'une façon quelconque s'il s'agit d'un cristal à deux axes. Prenons

pour ])lan de figure un plan [Ûq. /i 8 ) parallèle à la surface de l'onde incidente supposée plane. Soient PP' la trace du plan primitif de polarisation sur ce plan de figure et IF celle de la section principale de la lame.

Le mouvement vibratoire de la lumière incidente peut se décomposer en deux mouvements parallèles à IL, que nous prendrons pour axe (les ^, et à la droite OM perpendiculaire à IL, qui sera l'axe des yj. On obtient ainsi deuv ravons j)olarisés dans des plans perpendiculaires, que Ton peut, comme nous Favons vu (260). remplacer par deux rayons polarisés elliptiquement en sens contraire. En désignant ]»ar / 1 angle de la section principale de la lame avec le plan primitif de polarisation, par k une quantité comprise entre zéro et l'unité et variable avec la direction du rayon par rapport aux axes du cristal, en posant; enfin

Fig. iS.

nous avons trouvé que les mouvements vibratoires sur les deux rayons polarisés eUiptiquement sont exprimés (260), pour le ravon polarisé ('lli|)tiquement de gauclie à droite, par les équations

n = ^(cosîsincp — /•sinicos(p),

^ == "-!-, (cos i cos (p -\- /.' sin / si n (p) ,

et pour le rayon polarisi' clliptlipicniciil de droite à gauche, par

les équations

rt = ■ r. ( /.'" cos / sin (p + /.' siii * cos 9) ,

'^' ■=- n ( /.• cos ?"cos (5 — sin /sin (2).

Les deux rayons elliptiques, en traversant la lame, y acquièrent une certaine différence de phase, et, pour obtenir les expressions des mouvements vibratoires au sortir de la lame, il faut, pour le rayon polarisé de gauche à droile, remplacer (^ par 9 — «5", et, pour le rayon polarisé de droite à gauche, remplacer (p par (p — y, ^ et 7 étant définis comme il a été dit j)lus haut (261). Il vient ainsi

)7 = 7-; [cos/sin((p — (^) — /.■sin/cos((p— ^jj .

f = — ' . , [cos/cos((p — ^)4-/>'sni/sin ((p — ^)J,

r\ = 7-, [ A'- cos \ sin ((p — y ) + /i sin i cos ((p — 7)] ,

^' = p [ /i cos / cos ((p — 7) — sin i sin ((p — 7)] .

Pour déterminer l'étaj; du mouvement vibratoire à la sortie du cristal, prenons pour axe des x la trace du plan primitif de polarisation et pour axe des ij une droite perpendiculaire; nous aurons

?/ = (>7 + >?' ) co« ' — ( ^+ ^' ) sin i, ;r = ()? -f- >7' ) sin ï + ( ^+ ^' ) cos /.

En remplaçant dans ces écjuations ^, ^ , n-, n' par leurs valeurs, il vient

( 1 4- A:2 ) «/ = cos2 i [sm{(p-S) + k^ sin ((p - - 7)]

— sin /cos / [ A- cos ((p — «5') — k cos ((p — 7)] + sin i cos / [ k cos ((p — «5^) — k cos ((p — 7)] + sin^ i[k- sin ((p — ^) + sin ((p — 7)] , (I ou

( , 4- A-2 ) y = cos2 / [sin ((p - ^) H- /e- sin (<p - 7)]

+ sin- / [ /r sin ((p — <^) + sin ((p — 7)].

De même on trouve

( 1 + k- ) a; = sin i cos / [sin {(f —S)-\- k- sin ((^ — 7)]

— sin2 / [kcos{(p-S)-kcos(Ç>- y)]

— cos'^ i[k cos {(^ — S) — k cos ((p — 7)]

— sin i cos i [ F sin [Ç>— S)-\- sin {(p — 7)] , d'où l'on tire

(1 +^"^)a; = /tCos((p — 7) — A'cos((p — ^)

+ sinicos/[(i-/;"2)sin((p-^)-(i-^-^)sin(<^-7)],

et enfin

(i+^-2)^ = - 2Â;sin-^sin (cp ^j

— ( 1 — /t- ) sin 2^ sin cosf (p ~- j ■

Reprenons maintenant la valeur de (i+A-ji/ et écrivons-ia de la manière suivante :

(i+A^)^=^^|(i+A^)[sin(^-J) + sin((p-7)]

+ (i-A-2)[sin((p-^)-sin((p-7)j{ + ^|(i+A^)[sin((p^7) + sin(^-^)]

+ (i-Â'-^)[sin(^-7)-sin((p-J)]j.

En simplifiant cette expression et en lui adjoignant celle de (^1 -{-k^^x, on a définitivement pour les deux composantes du mouvement vibratoire au sortir de la lame

— (1 — /£2)cos2îsin -^^cos ((p ^)'

(i+P)^ = -2Lsin^sin((p-^)

-(i-k^)sw 2/sin^'cus((p -^) .

Ces rayons forment un système facile à définir. En effet, chacune (les valeurs de .v et de y est la somme de deux termes dont les deux premiers ont la même phase, ainsi que les deux seconds, et la phase des deux premiers termes diffère de celle des deux seconds termes

de — • L'ensemble du mouvement peut donc être considéré comme

étant celui de deux rayons polarisés rectilignement et dont les phases

diffèrent de — •

Le rayon représenté par les deux derniers termes a pour amplitude

sm ^;

i + Zc'

il est polarisé dans l'azimut 2i.

Si nous supposons que l'on ait S>y, c'est-à-dire que le rayon polarisé elliptiquement de gauche à droite aille moins vite dans la lame cristalline que le rayon polarisé de droite à gauche, les deux composantes du rayon que nous venons de considérer sont négatives et sa phase est représentée par

son intensité est

Les deux premiers termes représentent aussi un rayon polarisé rectilignement, dont la phase est

et l'intensité

Pour trouver son azimut de polarisation, il suflit de remarquer (|ue le rapport du terme en x avec le terme en y représente la tangente de l'angle que forme ce plan de polarisation avec le [)lan primitif. En désignant cet angle par p, on a

2k S -y (anjî p = n tanfr ~ •

En résumé, l'effet produit sur un rayon polarisé par une lame douée du pouvoir rotatoire peut s'énoncer de la façon suivante : le rayon, à la sortie de celte lame, est remplacé par deux autres polarisés rectilignement, l'un polarisé dans l'azimut ^i, ayant pour

phase (ç ^^ — - et pour intensité ( ttJ sin- — -■> l'autre

polarisé dans un plan (pii fait avec le plan primitif de polarisation

un angle ayant pour tangente --^f. '^wg ' ayant pour phase

<p~ ■ — ~ et pour intensité

^ 1- /lA - «in- —

— ^-> [( 1 + A- )■- cos''^ ^— ^ + /i A-^ sin2 ^^'"1

Si nous supposons cpie l'épaisseur de la lame soit très-petite, les angles p et — - seront aussi très-petits, et par suite sensiblement proportionnels à leurs tangentes. On pourra donc écrire

En outre, étant très-petit, on voit que l'intensité du rayon

polarisé dans l'azimut p sera sensiblement égale à l'unité et que celle du rayon polarisé dans l'azimut 2< sera très-près d'être nulle. Donc une lame mince ne produit, sur un rayon rectilignement polarisé, d'autre effet que de faire tourner le plan dé polarisation, et le

2k ])Ouvoir rotatoire de cette lame est représenté par — 75, quantité

dont la plus grande valeur correspond à k=i.

297. Action criin granti nombre «le lames cristallines minces éjEçalement épaisses et diversement orientées. —

Nous allons mainlenant examiner le cas où un rav(»n polarisé l'cclilignement traverse un grand nombre de lames douées du pouvoir rotatoire, toutes de même épaisseur et ayant leurs axes de cristallisation également inclinés sur le rayon incident, mais dont les seclions princi[)ales peuvent avoir des directions quelconques. Supposons qu'il y ait u de ces larnes de même épaisseur et représentoivs

par il l'angle de la section principale de la première lame avec le plan primitif de polarisation, par t., l'angle de la section principale de la seconde lame avec la section principale de la j)remière, par /^ l'angle de la section principale de la troisième lame avec la section principale de la seconde, et ainsi de suite jusqu'à /„, tous ces angles étant comptés vers la droite.

En traversant la première lame, le rayon se divise, comme nous venons de le voir (296], en deux rayons polarisés rectilignement, l'un polarisé dans l'azimut 2îet le second polarisé dans l'azimut p; si l'on désigne par A- l'intensité du premier de ces rayons et par a^ l'intensité du second, on a

, 1 - le . S-y b = }-; sm 1

En traversant la seconde lame, chacun de ces deux rayons se comportera comme le rayon unique incident, ce cjui donnera quatre rayons. De même il y aura huit rayons au sortir de la troisième lame, et en général 2'' rayons à la sortie de la jf'"" lame, ce qui donne 2" rayons quand toutes les lames formant le système cjue nous considérons auront été traversées.

Parmi ces 2" rayons considérons celui qui, en traversant toutes les n lames, a toujours suhi la modification qui correspond à la lettre rt. Le plan de polarisation de ce rayon aura tourné de np, son amplitude sera devenue ^/" et sa phase

Il y a ensuite des rayons qui ont subi la modification a dans n — 1 lames, et la modification b, c'est-à-dire le passage à l'azimut 21, dans une lame seulement : leur amplitude sera a"~^ h, et, comme la modification h a pu s'effectuer dans chacune des n lames, il y aura n rayons de cette nature.

De même la modification /; a pu se produire 2 fois et la modification a a pu se produire ?? — 2 fois : le nombre des rayons de cette

nature sera égal au nombre des combinaisons de n objets pris deux

> 1 ' + > r ^ n[ii-\) a deux, c est-a-dire a

En général, un rayon qui aura subi n — q fois la rotation du plan de polarisation égale à p, ei q l'ois la rotation égale à a/, aura pour amplitude «""'i^ et le nombre des rayons de cette nature sera

n[n — i] ■ • ' {n — cj + \)

En résumé, il v a donc