II
Vax particulier, pour le cas (|ue nous traitons, l'amplitude ii devient nulle à une petite distance de la surface de séparation dans le second milieu, et, si nous admettons que cette amplitude soit aussi • nulle à la surface même, nous aurons r=— i, c'est-à-dire (pie la vitesse de vihration du ravon n'dléchi au point d'incidence est à chaipie instant ('gale et de signe contraire à celle du rayon incident. Mais cette supposition, que l'amplitude ii est nulle jus(|ue sur la surface de séparation, dépasse les doniK'es de la théorie; le principe de Huygheiis nous apprend senlenient (pie le inoinemenl i(''lracle
'y\± RÉFLEXION ET REFRACTION DE LA LLMIERE POLARISEE.
cesse à une petite distance de la surface, mais rien ne prouve qu'il soit ntil à la surface même. Admettons donc que le mouvement réfracté ne soit pas nul à la surface de séparation, et alors les équations que nous avons posées seront inexactes.
La vitesse du rayon réfléchi n'est plus égaie à la vitesse du rayon incident, mais bien à la différence entre la vitesse du rayon incident et celle du ravon réfracté au point d'incidence. D'ailleurs, la force vive du ravon incident, qui, dans le cas général, se partage entre le; ravon réfléchi et le ravon réfracté, devra, dans le cas j^articulier que nous examinons, revenir tout entière au rayon réfléchi, puisque le mouvement réfracté s'arrête à très-])eu de distance de la surface, d'où l'on conclut que l'intensité du rayon réfléchi doit être égale à celle du ravon incident. Mais, si le rayon réfléchi et le rayon incident ont même intensité et par suite même amplitude, pour qu'au point d'incidence leurs vitesses de vibration ne soient pas égales au même moment, comme cela a lieu dans la supposition que nous avons faite, il faut que leurs phases soient difl'érentes, que le mouvement vibratoire, étant représenté au point d'incidence sur le rayon
incident par sin 27i-r-p-> soit représente en ce même pomt sur le
rayon réfléchi par sinsTr ('T~^
Dans le cas ordinaire de la réflexion, c'est le contraire qui a ]i(>u: les amplitudes sur le rayon réfléchi et sur le ravon incident ne sont ])iis égales, mais la phase est la même sur les deux ravons au point d'incidence , et les deux mouvements vibratoires sont représentés au
point d'incidence par sinQTiFp et ])ar vûn y7r?p- C'est de ces nouvelles données qu'il faudrait partir pour rendre compte des phénomènes de la réflexion totale.
323. Interprétation vonjerturale des expressions iniaj^inaires. — Au lieu d'aborder ainsi à nouveau l'étude de la réflexion dans le cas particulier de la réflexion totale et de chercher à déterminer la diflérence de phase entre les ravons incident et réflécin au ])oinl d'incidence, Fresnel a cherché à tirer parti des formules obtenues pour le cas ordinaire de la rétlexion '•l
"' Ami. (le chiin. ri ilc iiliiis., ( ■; ), \\i\, <-■'■— (^lùivres n,„q)i;-lrs , \ ,'^W.\.
THÉORIE DE FUESNEL. /i33
Dans le cas de la réflexion totale, ranj|)litude v du rayon réfléchi prend la forme (i-{-b\/— i . Or, dans un grand nombre de problèmes géométriques, quand on trouve sous une pareille forme la solution d'un problème dont l'énoncé a été trop restreint, on arrive à un résultat exact en interprétant cette solution de la manière suivante : les quantités a et h ne doivent pas être ])ortées à la suite l'une de l'autre comme si on avait à construire une ligne égale à n-\-h, mais on doit [)rendre un point 0, mener par ce point une droite quelconque sur laquelle on prend, à partii- du point 0, une longueur a, puis, par le même point, une seconde droite perpendiculaire à la première, sur laquelle on prend à partir du même point 0 une longueur égale à b, et a -\- h \/ — i représente la longueur de la ligne (pii joint les deux points ainsi obtenus, c'est-à-dire l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont a et b sont les côtés. D'après cela le résultat a-\-b\^— i indique que, si on avait rectifié convenablement les données du problème, on aurait trouvé pour solution \Jd^-\-b'^.
Fresnel a a|)pliqué ce mode d'interprétation à la question qui nous occu[)e. 11 a remar([ué que, le mouvement vibratoire sur le
rayon incident étant représenté par sin -m vv,-: le mouvement vibratoire sur le rayon réfléchi |)eut toujours être représenté par
A sin -.iiï ,r, -h B cos "l'iT rp 1
A et B étant deux constantes. L'amplitude du rayon réfléchi est alors égale à vA"+B-. D'autre part les formules générales nous conduisent, pour l'expression de cette amplitude, à une solution de la ïovnw a -\- h \/ ~ \ ; nous interpréterons cette solution en faisant a='k et /; = B, c'est-à-dire en supposant que a-^b\'— i soit équivalent à vV- +//-.
11 n'y a là en réalité qu'une analogie avec un résultat géométrique, résultat ([ui lui-même n'est pas nécessaire et qui souvent ne donne aucune sobition répondant à la (piestion. En un mot ce n'est (pi'une conjecture; mais nous ne devons pas moins nous assurer si elle conduit à des conséquences vériliables par l'expérience, et si ces
'.r>'i nÉFLEXION HT REFRACTION DE LA LUMIERE l'OLVRISEE.
ronsi'miciices soni <'n ofl'et vérifiées, uu(|uel cas la conjeclnrc sorail justifiée.
Commençons par mettre l"e\|>ressioM de v sous la forme ^/ + /'\ — i : nous aurons
nsin/cost — sin/y/t-sin-/— i \ — i
/isin/ eos?-rsin ?\ /îsin-;— i \ — i ou, en faisant disparuitre le radical du dénominateur
u-sin-/cos"-'/ — /i-sin^/'+sin'/ — 2« sin-/cos/\ n-s\n-i— i \ — i /r-sin'/cos'/+sin-'/ (n-'sin-/— i)
fl'dii
n'-h i —•2n-s\u-i — iii iObi\ /«-sin-f — 1\ — i
et enfin
/(-+ I — 2/t'sni-/ sncosjvn'sin"^/— j
h'autre part. 1 <'\|n'essioii peut s écru'e
\>ni -îTî- ... r B cos •>?: ,,.
\ \-'-^ B- sin M>7r rp + are lang ^ j •
\/A"--rB- représente ramj)litu(l<' r du ia\<)ii rénéehi et ai'c laufj y est la difîeret)cr de [thase entre le ra\on rétlt'chi d le i-a\on incident au point d'incidence.
Si l'on aduiet (|ue, pour avoir Tintensilé du ra\on réfléchi, il faille prendre la sonnjn> des carrés de la partie réelle et du coefiicient de \ — 1 dans la partie imaginaire de l'expression de r, ce qui revient à i"eui|ilacf'r 11-^1) \/-- 1 par \ (r-\-lr, on aura |)our cette nifeti-
sité B
I, (//- 1- I — «//-sin-/)--»- 'i//-cos-/(/(-sin-/— i)
(I on
I, '//-'+ I r+ V'sin"'/— '\}i-[jr+ tjsin'/ 'ih-cos'/
{II- -if
THEORIE DE FRESXEL.
et enfin
Aoiis trouvons donc îiinsi (jnc Finlensitô du rayon rélL'dii est égale à celle du ra\()n iucidcnl. conimc le prouveni l'expiM-iencc cl la théorie.
Quant à la différence de [)liase du rayon incident et du ra\on réfléchi au point d'incidence, si on rej)résente le mouvement vibratoire sur le ra\(»ii réf1('clii par sin 'i-n ( ^, - -^ ) •> e||(^ est é'jjale à itt -v • Un a donc
•>.7ï ~ -^ are tanj; . > lany •\ :t . -— ~r ■
doii
tai)!'' -'TT
->.in:<)si \ /(sm-/— 1 I +/(■' — :i/i-sin-/
Telle est la lorniule {|ue rexpénence doit vérifier (juand le ravon incident est polarisi' dans le |»lan d'incidence.
Tout ce (|ui vient d'être dit peut s'appliipier au cas où le ra\on réfléchi est polaris(' perpeiuliculaireuient au plan d incidence; seulement il faiil prendre r' au lieu de r. Par un calcul analofjue à celui ipie nous a\ons lail pour r. nous pouvons mettre r sous la forme
/ siii/cos / — /(siiu'v /r'sin-/— 1 \ — 1
sin; cos;4 /(sin i \ iisuvi ' \ — '
ou
I -I- //■-' - (/( '' + 1 ) sin- / ■>. Il ces /. \/ n- sin'?-- i
(/(■' - I ) I (/(■-+ I )sin-/-
(/(■'— I )[(/(■'+ I )sin-/— I
fiCs (piantili's repr(^sentées par \ et B oui donc ici [)onr \aleur
I + II- — {11.''+ 1 )sm'-/'
(II-— I )(/(■-+ I )sm-/ — I
•iu ces /y' M- sin"-/ i
(/(-— I )[("-+ I )siir-'/— I
L'intensil('' de la lumière r(''lléchie sera encore (Mjale à A- -|- IVci' (pu donnera, tous calculs faits, une \aleur (Mjale à I unil('.
Ù3G RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE Si l'on désigne par 27i-y la différence de phase entre le raye cident et le rayon réfléchi au point d'incidence, on aura
(p' B 2ncosi\'n-siï\-i- i
tang 2 77 y = ^ = — i + ,c2,(„.+ i)sin-/ '
Ainsi, les différences de phase sont données, lorsque la lumière incidente est polarisée dans le j)lan d'incidence, par la relation
(p 211 cos i V n- sin- i— i tang 27r
A i+u- — 2n-sin-i
et, lors(jue cette lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, j»ar la relation
0' 211 cos i \/n- sin- / — i
t«"S^'^t="'i+n^-(n^+i)sin^r
'6^2 li. Polarisation ellipticiue ou circulaire produite par
la réflex.ion totale. — La diiii culte qu'il y a à mesurer les différences de phase empêche de vérifier directement par l'expérience les fonnules que nous venons de trouver; mais elles peuvent trouver une vérification indirecte si l'on fait réfléchir totalement de la lumière polarisée dans un plan faisant avec le plan d'incidence un angle quelconque a. Un rayon de cette lumière peut se décomposer en deux ravons, l'un polarisé dans le plan d'incidence et l'autre dans un plan perpendiculaire. Les -rayons réfléchis correspondant à ces deux rayons auront pour amplitude cos a et sin a , et présenteront avec les rayons incidents dont ils proviennent des différences de
phase égales respectivement à ^^Tr^et à 27r y • Le rayon réfléchi
résultant de la combinaison de ces deux rayons sera donc polarisé elliptiquement, puisque les deux composantes rectangulaires de ce rayon sont inégales en amplitude et ont une différence de phase.
La différence de phase entre les deux composantes du rayon réfléchi est égale à iti ' -,--i et nous allons chercher à la déterminer.
Posons
(pu (p' a
tanfî-i7r-^ = y^ li\n</'27: <-=/?'
nous aurons
rn<'
