Diophantc, IV, 29, étant arrivé à l'équation

liachet dit qu'elle ne peut être résolue que de deux manières, en choisissant la racine du carré de fa^on h éliminer avec les termes en .r' el

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les termes connus, soit les termes en x, soit les termes en a?*, de façon que dans l'équation finale il ne reste soit que des termes en tK^eten a;", soit que des termes en x'^ et en œ. Il trouve ainsi seulement les valeurs - et ^ pour^. Fermai en trouve au contraire une infinité, et en premier lieu il élimine aussi les termes en ce- do façon à laisser subsister dans l'équation soit seulement les termes en œ^ et x^, soit le terme on X et le connu. D'autre part. Bachot remarque que si l'on prend pour racine du carré : 3x^-h6x — i, on tombe dans l'inconvénienl d'égaler à zéro ^^x^ -h ^ox^. Cet inconvénient n'arrête pas Fermât. En troisième lieu, chaque valeur trouvée est pour lui la source d'une infinité d'autres, comme je l'ai déjà expliqué.

34. Enfin Bachot, sur Diophante, IV, 28, dit qu'il est impossible d'égaler à un cube Bœ^ — x^ + Sx ~ i; il en donne comme raison que l'on ne pourrait prendre que le cube (2x — iy afin d'éliminer le terme en x^ et le terme connu; mais, avec tout le respect que je lui dois, cela est inexact; car tout d'abord on peut prendre le cube {^x — r J et trouver ainsi x= y^- En second lieu, rien n'empêche de prendre le cube {2x — i)\ car, si l'on trouve ainsi a; = -^ on

peut faire une substitution en partant de cette solution. Au reste, je développerai plus longuement ces questions dans ma troisième Partie.

Fermât a dépassé Viéle.

35. Viète a nié trop précipitamment qu'il fût possible de partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes; Fermât (') enseigne comment ce problème peut être résolu d'après le commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 2 (ce dont pourtant Bachet lui-même ne s'était pas aperçu). Soit en effet 9, somme des deux cubes 8 et i, ïi partager en deux autres cubes. On cherchera d'abord deux cubes ayani

(1) Voir ci-dessus, Observations sur Diophante, 8 et 0, pa!;ts a4G et siiiv. Ferhit. — 111. h'i

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sïc o:;uvi!ES de fekmat.

pour différence g; à cet effet, on appliquera la règle suivante : Faire le produit de chacun des deux cubes 8 et i par trois fois la racine de l'autre; diviser les deux produits par la différence des cubes; ajouter la plus grande racine au plus petit des deux quotients; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient; la somme et la différence ainsi obtenues donneront les racines des cubes cherchés. Dans

l'exemple choisi, ces racines seront donc — et — ; les cubes —^ et ^ 7 7 343

-^^ • En second lieu, deux cubes étant donnés, on peut en calculer deux

autres ayant la même différence ; voici la règle à cet effet : Faire le produit de chacun des deux cubes donnés par trois fois la racine de l'autre; diviser les deux produits par la somme des deux cubes; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et la plus grande racine du plus petit quotient; les restes seront les racines des cubes cherchés. Mais ceux qu'on a trouvés en dernier lieu ont pour différence 9; les autres cubes ayant la même différence 9 auront donc

pour racines — n--^ et — ^ — > et ces cubes seront -~ ^, ^.r^-rh-, — - et ' 90 591 go dgi ^38 ^42 637 646 47'

48707103808000 xf a. -i . ■ ■• ■ I . j

385' 63 6"4~6/ " "^""^ '' y ^ ^nc troisième règle pour trouver deux cubes dont la somme soit égale à la différence de deux cubes donnés; la voici : Faire le produit de chacun des deux cubes donnés par trois fois la racine de l'autre ; diviser ces deux produits par la somme des deux cubes; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et le plus petit quotient de la plus grande racine; les restes seront les racines des cubes cherchés. Or nous avons trouvé en dernier lieu deux cubes ayant 9 pour différence; si l'on cherche, par la rJigle ci-dessus, deux cubes dont la somme soit égale à cette différence.

36. Viète a résolu très habilement le problème proposé par Adrien Romain à tous les mathématiciens de l'univers, mais il ne. l'a fait que

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dans le cas où le nombre auquel doit être égalée l'expression proposée est inférieur à 2 ; il a d'ailleurs employé les sections angulaires, ce en quoi il a montré toute la puissance de son génie et ce qui lui a attiré une renommée immense et universelle. Mais notre Fermât (' ) a résolu . le même problème dans le cas oii le nombre donné est supérieur à 2, et où alors les sections angulaires ne peuvent être d'aucun secours. Soit, en effet, à égaler h un nombre donné quelconque l'expression ^5x — 3795i«* + 93 634a!' etc., telle que l'a proposée Adrien Romain; c'est bien là en effet k quoi revient le problème, ainsi que Viète l'a reconnu et a corrigé l'énoncé. Soit 6 + \/8 le nombre donné, supérieur à 2 par conséquent; Fermât affirme que la valeur protogène de l'inconnue peut être facilement représentée au moyen de racines universelles et qu'elle est dans ce cas

Si maintenant le nombre donné est 4i Fermât affirme que la valeur de l'inconnue sera y2 + \'3+ \/2 — \/3, et il obtient ainsi des solutions pour tous les nombres supérieurs à 1, quels qu'ils soient, alors que, même en employant les solutions angulaires, Viète n'en pourrait donner une seule.

37. Viète, ZeieL V, 9, a traité peu heureusement le problème de Diophante, A'I. 3. Ce problème consiste en effet à trouver un triangle rectangle tel que la somme de son aire et d'un nombre donné fasse un carré, tandis que Viète l'a restreint au cas oii le nombre donné est somme de deux carrés.

Fermât a donné une infinité de solutions pour un nombre proposé quelconque. Soit, par exemple, le nombre 3, un des triangles cherchés sera ^^^^^.^^^5^^.^eue» seid ^ yi ^ ' , ^ ^ t^ 416 160 4r6 160 40

(1) FwV ci -dessus pages 164 à 168.

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Fermât dépasse Diophante sur nombre de points.

38- Diophante, V, 8, donne le moyen de trouver trois triangles rectangles dont l'aire soit égale; mais, si l'on en demande davantage, il peut d'autant moins satisfaire à la question, qu'il n'a jamais indiqué le procédé pour trouver un triangle rectangle de même aire qu'un triangle rectangle donné. Fermât résout ces deux problèmes par une même opération. Soit, par exemple, à trouver un triangle rectangle dont Taire soit 6, comme celle du triangle rectangle 3.4.5. Soit 3 un des côtés d'un certain triangle rectangle ; x-h/i l'autre côté ; la somme des carrés de ces côtés donne a;- -i- 8a; 4- 25 pour le carré de l'hypoténuse; cette expression doit donc être égalée à un carré. D'autre part, l'aire de ce triangle, -a:^ -h 6, doit être G fois un certain carré (puisque l'on demande que l'aire soit 6). Donc le sixième de l'aire ci-dessus doit faire un carré, et il en doit être de même du produit de ce sixième par 36. On doit donc égaler à un carré ga; -f- 30'. On a ainsi une double équation

où les termes connus sont carres; on trouvera donc facilement pour œ 6o 53o ioo , , , , 2 8q6 Soi

Z ^ i-.li 'V 1 /. ' — il z

■ , . s ■> l'autre côté de l'angle

3 4o3 boi ' ^

droit est 3; la somme des carrés de ces côtés fait un carré dont la

racine sera rhvpoténusc, " , ^ — ; nous avons ainsi le triangle rcc- ■" 2 4tic6oi' o

fangle '^V-t ^ ■ , - . — 3, dont l'aire sera le sextuple d'un certaiii

carre, a savoir ~ ■. ^ — ■> dont la racme est -f^- Divisons par cotte 2 4oo boi iSoi '^

racine chacun des côtés du triangle rectangle que nous venons de

, T . ■ ) 1 1, ■ 19061328335 f^^qaoiSooi 4653

trouver, nous aurons le triangle cherche — -, — ^ft^ , Z^ /t ■■Vë— '

dont l'aire est G. On remarquera que nous avons trouvé ce triangle en

partant du triangle donné 3.4.5; mais celui que nous avons trouvé

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TRADUCTION DE L'ÏNVENTDM NOVDM. 3V1)

peut, par le même procédé, nous en fournir un troisième, celui-ci un quatrième, et ainsi de suite indéfiniment. Voici, au reste, quatre iriangles rectangles ayant pour aire 84o; le premier étant ^S.^o.li-i, le second ']f\.2^\.-]0, le troisième ii3.i5. 1 12, le quatrième sera

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