Diophante, VI, 6, tombe sur la double équation

Elle peut être résolue de deux manières, qu'on suppose d'ailleurs que la première expression soit la plus grande ou la plus petite des deux. On trouvera pour x les deux valeurs — et -^; demandez-en une troisième à Diophante, il ne la donnera pas. Fermât peut en fournir une infini té; par exemple, substituons .r-f — kx dans les deux expressions x'^-{-i eti4ic-'-i. la transformation donnera les expressions suivantes x'^ -h '^ X -\- -^ et 1 4*' -H 49. dont les termes connus sont carrés ; on

peut donc les résoudre par la méthode connue et l'on y trouvera pour

I , 1225 a58 on 260 ,. , 24

X la va car — ^^ — t^—t-tt-- Aioutez— > vous 338216614 1^4 ■' 7

la double eguation pronoscc H ? — ^-^ — ~ — ^

X la valeur — V-o^ ^^ e"'/ /''/"■ Ajoutez — > vous aurez pour solution d 338216614 '44 7

40. Diophante, apri^s les problèmes VI, 15 et 17, a omis un troisième cas, hi recherche d'un triangle rectangle tel que si l'oji retranche son aire soit de l'hypoténuse, soit de l'un des côtés de l'angle droit, on ait un carré; problème d'une rare subtilité que Diophante n'a omis, comme Je l'ai dit, que parce qu'il est arrivé à de faux nombres dont il n'a pu se tirer. Fermât en donne une solution très remarquable; tout d'abord il reconnaît par son analyse qu'il faut trouver un triangle rectangle tel que le produit de l'hypoténuse par la somme de l'un des cotés de l'anale droit et de la moitié de l'autre.

Hosted by

:5S0 ŒliVlîES DE FERMAT.

(.ioniie un carré, après soustraction de l'aire; il trouve ensuite ce triangle, par le raisonnement elles calculs que j'ai indiqués plus haut, n" 26, où j'ai dit que le triangle 985.697.696 satisfaisait à la condition proposée. En troisième lieu, il multiplie les côtés de ce dernier triangle par l'inconnue, et prend ainsi pour le triangle cherché : çi^ox.6g-]x.GgQx, dont l'aire est 242 55Ga;-. Retranchons-la de l'hypoténuse 983^! et du côté 697;», et égalons à des carrés les restes : ()S5a; — 2.42 55637^ et 6973; — 2^2 5j6x-. Prenons enfin pour ce dernier carré celui de 097^:, et posons en conséquence

un aura ^■= ~^^ et le triangle primitivement cherché sera 1043 ° ^

Voilà où Diophante n'a jamais pu arriver. Nous donnerons encore plus loin nombre d'autres exemples de problèmes qu'il a omis, parce qu'il

n'a pu les résoudre.

Douze problèmes sur l'application des méthodes indiquées ci-dessus.

41. Les exemples que nous avons déjà donnés constituent autant de problèmes très difficiles, que l'Algèhro ordinaire est impuissante à résoudre. Ainsi le premier (n" 6) relatif à l'équation double

pourrait s'énoncer comme suit: Trouver un nombre plus grand que 8, dont le quadruple ajouté à l'unité, fasse un carré, et dont le carré, augmenté de l'unité, mais diminué du double du nombre, fasse également un carré. Le nombre cherché sera -r-

Le second exemple (n" U) peut être proposé comme suit : Trouver un nombre dont le double, retranché de l'unité, donne un carré, et dont le quadruple retranché de l'unité ajoutée au double du carré du

Hosted by

TRADUCTION J)E L'INVEKTUM NOVL'M.

nombre, fasse égaleinoiit un carré. D'où l'équation ciouiDie

Enfin le troisième exemple (n" 12), ociui de réqualioii double

peut être proposé comme suit en problème : Trouver un nombre tel qu'en le multipliant par i6, ajoutant S fois son carré et le nombre 4, on ait un carré, et que d'autre part, son quadruple, augmenté du double de son carré et en plus du nombre 4. fasse un carré. La solution sera —

J'omets les autres exemples pour aborder quelques aulrcs questions plus brillantes.

Trouver indéfiniment deux norrd>res tels (jiien relranchanl leurprodidl soit de l'un quelconque des deux, soit de leur somme, soit de leur différence, on ait toujours un carré.

42- Soient a; et i — j: ces deux nombres, positions qui satisfont aux deux premières conditions; reste à satisfaire également aux deux dernières. Je suppose que x soit le plus petit des deux nombres; si l'on retranche leur produit, x — x^, de leur différence i — ix, on a pour reste : x' — 3x-hi. Si l'on retranche le produit des deux nombres de leur somme, i, on a d'autre part le reste x- — x -{-i. En égalant les deux restes à des carrés, on a par la méthode ordinaire : x = al les deux nombres cherchés seront donc h et k- Je substitue maintenant o! 4- ô à a; dans les expressions dos deux restes ci-dessus ; les transformées seront

Gomme les termes connus y sont carrés, on peut trouver, pour ces

Hosted by

r)2 ŒUVRES DE FERMAT

p , laiSqaoofioo r-i • ■ . ■^ i t

Iraiisioi'mees, a; — — ■ » ■■■■-■■■„?-■ Ii.n aioutant tt' on aura la valeur

(le l'inconnue dans les expressions primitives, et on obtiendra ainsi

les deux nombres ^^^ 7-. '97 et ^ 117713^ j^^ |^ valeur Irouvée en der- 784992912 784992912

nier lieu, on peut d'ailleurs déduire une troisième valeur, de cette

troisième une quatrième, et ainsi de suite indéfiniment.

Voici deux autres nombres satisfaisant à la question : ^—^ ef

Trouver indéfiniment trois nombres tels qu'en retranchant leur produit, xoil de l'un quelconque d'entre eux, soit de l'une quelconque de leurs différences, soit du produit du moyen par l'un des extrêmes, soit du carré du moyen, on ait toujours un carré.

43. Posons X, i, \ — x pour les trois nombres cherchés. Leur produit, X — x'', laisse un carré si on le retranche, soit du premier, soit du troisième, soit de l'excès du second sur le premier, soit de l'excès da second sur le troisième.

Pour satisfaire aux autres conditions, il suffit d'ailleurs que l'on ait

expressions identiques à celles de la question précédente. On trouvera donc ^=3^ et les trois nombres seront 3, 8, 5, en supposant S pour dénominateur commun. De même les trois suivants : io4i<3> 5i SG5, 41449 (avec 5 1 865 pour dénominateur commun); ou encore les trois: 249873 197, 784992912, 535 117 715 (avec 784992912 pour dénominateur commun) satisferont aussi au problème.

On aurait pu le proposer sous cette forme : Partager 2 d'une infinité de faisons en trois parties, telles qu'en retranchant le produit des trois de chacune d'elles, de chacune de leurs différences, du produit de la moyenne par chacune des extrêmes, enfin du carré de la moyenne, on ait toujours un carre. En effet, pour chaque ternaire des nombres

Hosted by

ci-dessus, la somme des trois nombres est toujours -î. Remarquez d'ailleurs que par partie moyenne, je n'entends pas celle qui est plus petite que la plus grande et plus grande que la plus petite, que je tiens seulement compte de l'ordre de situation, tel qu'il a été o])servé cidessus.

Trouver indéfiniment deux nombres tels que si l'on retranche la différence de leurs carrés, soit duplus grand, soit duplus petit, soit de leur différence, on ail toujours un carré.

44. Soit i — IX la somme des deux nombres, ix leur différence; ces nombres seront donc - et - — ^x, et la différence de leurs carrés

sera ix — 4^'- Qu'on la retranche, soit de la somme, soit de la différence, elle laissera toujours un carré. Mais il faut encore qu'il en soit de mémo si on la retranche soit de l'un, soit de l'autre des deux nombres. On aura donc la double équation

liœ''—iœ + - — n, l\œ'^-- !i.T -h - = □,

et l'on trouvera x =^ tt,- I'^'s deux nombres cherchés seront - et -

deux expressions ci-dessus, et l'on poursuivra l'opération suivant les règles données plus haut, sans se laisser arrêter par la rencontre de faux nombres, car j'ai dit comment on peut les ramener à de vrais

nombres.

Trouver deux nombres dont la somme fasse un carré et dont la somme des carrés fasse un bicarré.

45. Ce problème est tout à fait le même que celui que nous avons énoncé ci-dessus : Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit; notre feiiiht. ~ ai. 43

Hosted by

Fermât l'a d'ailleurs proposé à nombre de savants mathématiciens sans qu'il ait été résolu par eux. On partira du triangle primitif trouve ci-dessus (n" 25), à savoir : 169. 1 19.120, qui est formé dos nombres 5 et 12. Si l'on forme un nouveau triangle avec les nombres a; -(- 5 et 12, il aura pour cotés : x^-\- lox H- 169, x^ -+- lox — 119, if^x + 120, Or il faut égaler à des carrés tant l'Iiypoténusc : ar-4- loa; H- i6g, que la somme des cotés de l'angle droit :a;'-i- 34^ -i-i- Si l'on multiplie cette dernière somme par 169, la double équation sera

c'est celle qui a été traitée au n" 22. On a donc x =^ — '^ -,.;. ; d'où, d'après les positions prises pour les deux nombres générateurs, on aura le triangle cherché

dont l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit. Dès lors les deux côtés de l'angle droit sont deux nombres dont la somme est un carré et dont la somme des carrés est un bicarré. C. Q. F. T.

Trouver an Iriangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit, on ait encore un carré.

46. Soit 3 le multiplicateur don né. Formons le triangle des nombres a; -H I et i; les côtés seront : x"^ -h nx -\- 7,, a;^H- iœ, 2a; + 2. Multiplions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, 6a: + 6, au côté intermédiaire ; il vient a;^ 4- 8a; + 6 qui doit être un carré, en même temps que le côté intermédiaire : x'^ + ix. En résolvant la double équation à la manière ordinaire, on trouvera a; = — , et, d'après les positions, le triangle cherché sera, en nombres entiers : 3 1 3. 23. 3 12.

Hosted by

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carre et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré.

4T. Soit encore 3 le multiplicateur donné : on partira, commo triangle primitif, de celui qui a été trouvé dans la question précédente : 3i3.25,3i2. Les nombres générateurs en sont i3 et 12; on formera, en conséquence, le triangle cherché des nomhres x — iA et 12. Les côtés seront ; x"^ — 260: + 3 13, x^ ~ 26iC+ 26, il\x — 3 12, Multiplions le dernier par 3 et retranchons le produit du coté intermédiaire, il reste a;* — 98a; -1-961, qui doit être un carré, en même temps que le côté intermédiaire, x^ — 26cc -h ^5. On a donc une double équation, pour laquelle il convient, suivant ce qui a été dit au n" 4, de multiplier la seconde expression par ^; on aura ainsi

La diirérence des deux expressions est

i>36 ,aa536 26 /36 ii268\

En continuant à l'ordinaire, on trouvera x = ^i-^-^ — ' ^*^^ nombres :r — i3 et 1 2, si l'on chasse le dénominateur, deviendront en entières 23542921 et 3 820440- On en formera le triangle cherché : 568864871005841. 539673367418641. 179888634310480.

Je donnerai plus loin (Partie III, n" 36) une solution du même problème par une autre méthode.

Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse soit un carré et qu'en retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné de l'autre côté on ait un carré.

48. Soient x-\-i et i les nombres générateurs du triangle; les cotés seront : a;^+2a^-i-2, ce- -\- 2x, ix + -z. Si l'on retranche le

Hosted by

double de ce dernier côté, c'est-à-dire 4^-t-4i de x^-i-2.x, il restera x^ — 2.x — ^ qui devra être un carré, en même temps que l'hypoténuse : x^ + 2x -h 1. Cette double équation donne a; = -; par

suite x-'ri et i, en chassant le dénominateur, auront les valeurs entières —5 et 12, dont on forme le triangle : 169.119.— 120, Recommençons donc l'opération, en prenant, pour nombres générateurs du triangle, a;^ 5 et 12. Les côtés du triangle seront : x^ — lox -1-109; ^-— loa; — 1 19; nl^x — 120. Si l'on retranche du côté intermédiaire le double du dernier côté, le reste x^ — 58j7-i-i2i devra être un carré, de même que l'hypoténuse x- — lorc -\- 169. En multipliant le reste x'^ — 58^7 -h 121 par le carré — -i on aura comme expressions ramenées à avoir un même carré pour terme connu :

La différence des deux expressions est

En égalant à la plus grande expression le carré de la demi-somme des

facteurs, on trouvera x ~ "^^ :■ -, ce qui, d'après les positions, conduira au triangle

ig343o^6 uSSag. [8782(418687931. 4821817(400400, lequel satisfait à la question.

Trouver un triangle rectangle tei qu'un des côtés de l'angle droit soit un carré et qu'en ajoutant à l'kyooténuse un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré.

49. Soit 2 le multiplicateur donné. Si l'on l'orme le triangle des nombres x-hi et i, ses côtés seront : x- -{- :ix -\- ■2\ .■c'^+23;; 2 37 4-2. Supposons que le côté intermédiaire, x--<r'i.x, soit un carré, et ajoutons à l'hypoténuse le double, 4^4- 4, de l'autre côté;

Hosted by

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVL'M. 357

la somme œ- -h 6j^ -h 6 doit être également un carré. On a donc

D'où œ ^= j- En nombres entiers, x -{-i &t x deviendront 5 et 4t qui forment le triangle cherché : 4i-9-4o. On résoudra par là même le problème suivant : Trouver un triangle rectangle tel qu'un des côtés de l'angle droit soit un carré et qu'en ajoutant à l'hypoténuse soit l'autre côté simplement, soit son double, on ait toujours un carré. Ce triangle est, en effet, celui que l'on vient de trouver : 41.9- 4o- Si l'on faisait ajouter à l'hypoténuse, soit l'autre côté simplement, soit son quintuple, on aurait le triangle 3o. 16. 34, formé des nombrcs5et3.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un des côtés de l'angle droit soit un carré et qu'en retranchant de l'hypoténuse un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carre.

50. Soit encore donné le multiplicateur 2. Prenons comme triangle primitif celui qui a été trouvé pour la question précédente : 4i-9-4o> formé des nombres 5 et 4. D'après l'analyse qui précède, on formera le triangle cherché des nombres œ — 5 et 4- Les côtés seront : x'—ioir-i-^i; X-—10X -h g; 8x — 4o. Égalons à un carré le coté intermédiaire ; x'' — lox + 9; d'autre part, retranchons de l'hypoténuse le double du dernier côté, Sx — lio; et égalons à un carré le reste, qni est x- — 2Ç1X -h 121. La double équation

semble pouvoir se résoudre de plusieurs manières, mais on n'en trouvera guère qui procure une solution effective, à moins de recourir à la nouvelle méthode exposée, n" 20 et suivants. Si l'on ramène, en effet, à l'égalité les termes carrés connus, en multipliant la seconde expression par — ■> on aura la double équation sous la forme

Hosted by

La différence des deux expressions est

fin égalant à la première expression le carre de la demi-somme des facteurs, on trouvera x = -^, et en en retranchant 5, on aura w ■ Les nombres générateurs du triangle seront par suite 4g3 et i3a, et dès lors le triangle cherché sera 260473. a 25025.1 Soi 5^.

On résoudra de même le problème suivant : Trouver un triangle rectangle tel que l'un des côtés de l'angle droit soit un carré et qu'en retranchant de l'hypoténuse, soit l'autre côté pris simplement, soit son double, on ait toujours un carré. Ces conditions sont, en effet, satisfaites par les nombres donnés ci-dessus, et il ne faut pas dire que celle que nous venons d'ajouter est sans objet, comme remplie d'ellemême dans tout triangle; car si elle est effectivement remplie pour tout triangle (primitif), il n'en est pas de même pour leurs multiples; ainsi, dans le triangle 624.5^6,240, l'un des côtés de l'angle droit est bien carré, de même que l'excès de l'hypoténuse sur le double de l'autre côté; mais la somme de l'hypoténuse et de cet autre côté, pris simplement, n'est nullement un carré.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant l'aire du carré de la somme des côtés de l'angle droit.

51. Soient x et i les deux côtés de l'angle droit; la somme de leurs carres, x^-\-i, fera le carré de l'bypoténuse et si, du carré de la

somme des mêmes côtés, on retranche l'aire du triangle, qui est -. on a pour reste x^-\--x + i à égaler de même à un carré. Cette double équation donne x ^ — j^- Je substituerai donc x—'j^\\x dajis les deux expressions égalées à des carrés; les transformées seront

a4 aao4 24 2304

Hosted by

En multipliant la première par -^> je ramènerai à l'égalité les termes carrés connus, et j'aurai les deux expressions

53^9 j loiaôi 5329 „ 55 5329

dont la différence est

39C)o ,2i63 __ 36 /mo __ 2i63\

On en déduira x= '^^ — r?; en retranchant Vtt' on aura, pour la

valeur de l'inconnue dans les premières positions, — --j'.^- Les côtés de l'angle droit, qui ont été posés égaux à :c et à i, seront donc en nombres entiers SgôSS et 129648, et l'hypoténuse 135577. C'est le triangle cherché.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côte de l'angle droit soit carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit et que, si l'on retranche le double de l'aire de l'un ou de l'autre des côtés de l'angle droit, on ait toujours des carrés.

52. Soient a; et i — a; les côtés de l'angle droit; le double de l'aire est a; — iT* ; si on le retranche de l'un et de l'autre des deux côtés, on a les carrés a;* et a;* — sa; + i . D'autre part, la somme des côtés est le carré i. Il faut encore que le second côté, i — x, soit un carré, aussi bien que la somme des carrés des côtés, c'est-à-dire 20;* — 2ic + i. On

trouvera x = '—■ Le triangle cherché sera donc 7- ■ -^ ■ 7- ■ 49 " A9 49 49

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un cube et que, si l'on en retranche l'aire, il reste un carré.

53. Soient a? et i les côtés de l'angle droit; de la sorte l'un d'eux sera cube; de ce cube, je retranche l'aire -œ. Il reste i ■ x qui doit

Hosted by

360 fEUVRES DE FERMAT.

êtro égalé à un carré, en même temps que .x*+ i. Cotte double équation me donnant x = ^, je substitue x — -^ ù x dans les deux

expressions égalées à des carrés; les transformées sont :

1-es termes connus y sont carrés; je les ramène à l'égalité et j'ai ainsi , 54(4 124 609 124609 124609 __

La différence des deux expressions est

, 268159 / 268 159^ "^ 162450'^^'^^ \^~ i62 45oJ'

J en conclus x— ">,■ ' — s '> J ^n retranclie ~ pour trouver la

valeur de l'inconnue dans les positions primitives; j'ai ainsi

el le triangle cherché sera