Qu'on donne, en effel, la triple équation
on ramènera les trois carrés à l'égalité, et on poursuivra comme je l'ai expliqué. Il est d'ailleurs facile de ramener les trois carrés à l'égalité en faisant leur produit; la triple équation précédente deviendra de la sorte
36,r -h 36 ^ D , 37a; + 36 — □ , 8^ + 36 = a ■ En effet, comme dans la première expression on a multiplié le terme
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connu, I, par 36, il faut de même multiplier par 36 le coeffieieut de :ï; dans la même expression ; pour la seconde, le terme connu, 4, est multiplié par 9 pour obtenir 36; il faut donc multiplier par 9 le coefficient 3 de ar. Enfin le dernier carré, 9, doit être multiplié par 4 pouj' donner 36; il faut donc, dans la même expression, multiplier par 4 1"' coefficient 2 de ce, ce qui donne Sx. D'ailleurs la triple équation transformée conduit à la solution as = -r?-^^; la même valeur satisfera des 744 769'
lors à la question proposée.
La même régie s'étend au cas où des coejficients de x seraient négalifs.
T. Par exemple, soit proposée la triple équation
En substituant x^-^-ix'^xx, on aura la transformée
La première expression étant identiquement un carré, il suffit de considérer les deux autres, qui conduiront à la valeur ^ = — t d'oii, pour la triple équation proposée, fa solution -^^■
On peut obtenir des solutions en nombre indéfini pour les triples équations.
8. Je vais le montrer par un exemple; j'ai dit plus haut (n" 3) quila valeur a; = — 6 satisfait h la double équation
Je substitue x — Ç)'iï x dans les deux expressions ci-dessus ci j'obtiens ainsi les transformées
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La méthode ordinaire me donne pour solution un certain nombre,
tlonl j'ai à retrancher G (puisque j'ai substitué x — (ikx); j'obtiens
arnsi — ; — j^-^th t^omine les trois expressions primitives (n" 3)
étaient ir~f- î, tix -i- i, jœ -h i ot qu'on avait substitué x'--i-'ia^ka:, il
faut maintenant que je prenne le carré du nombre trouvé ci-dessus,
et que j'y ajoute le double du même nombre : j'obtiens ainsi la valeur
x= -^ — -c -a ',% a ' 1UI satisfait aux conditions proposées,
car avec cette valeur
- /"^6 230768035 Y ^^"'"V,47"ië3822i9J '
/'3j 03653 1067 Y /3o7oS 537 34^Y
Lorsque, dans une triple équation, le plus grnud coejficient de l'inconnue est égal à la somme des deux autres, la solution est impossible par la méthode ci-dessus ( ' ).
Soit, par exemple, !a triple équation
Substituons 2X' + 2a; à ^, pour que la première expression se transforme dans le carré ^x^ -h lix-h i. Les deux autres expressions, après
(■') Dans une note sur un de ses manuscrits conservés à la Bibliothèquo de Dijon { Ms. a66'. folio 21 verso), le Père de Billy revendique pour lui-même en ces termes la remarque de ce cas d'impossibilité :
" Anno iG6o jun, 27, Dominus de Fermât, Senator Parlamenti Tholosani, sigûificavil mihi habere se mcthodum generalem reaolvendi triplicatas œqualitates in quibus occurl'unt tantum quadrati cl radiées et numerus r|iiodralorum est qiiadrotus ,- lU si a:>qiientiir
lAA-i-aA; 4AA-i-6A, 9AA + 6A,
potesl variari qviomodo iibet numerus radieum. Ego correxi Domiiium de Fermât et oatcndi quod, si duo minores numeri radieum œquentur majori, impossibilis est solutio per ipsius methodum : quod ipse postea fassus est ingénue se non animadvertisse. n
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TIIAOUCTION DE L'INVENTCM NOVLM.
substitution, devionncut
Si l'on traite cette double équation par la méthode ordinaire, on aura, comme solution des transformées, a; = — i , valeur qui, substituée dans la représentation 2x'-h 3x de l'inconnue, donne o, c'està-dire la négation de tout nombre positif.
10. On doit dire la même chose pour toute autre triple équation de même sorte. Remarquez cependant que j'ai dit que, dans ce cas, la solution est impossible par la méthode que j'expose, car on peut proposer nombre de triples équations du même genre qui, en elles-mêmes, no seront pas impossibles; par exemple la suivante
où, en substituant la valeur x ~ 3, on trouve les carrés iG, .\r), G'|. a. H fnut encore observer avec notre Fermât que la triple cquatioii
(■st impossible à la fois dans son essence et au point de vue de la méthode; dans son essence, parce qu'on démontre qu'il ne peut y avoir quatre nombres carrés en progression arithmétique, ce qui, dans le cas d'une solution, aurait pourtant lieu, en prenant l'unité comme le premier de ces quatre carrés; au point de vue de la méthode, parce que, quand bien même la triple équation serait possible en elle-même, on ne peut la résoudre par la méthode exposée ci-dessus, puisque le plus grand coefficient de l'inconnue est égal à la somme des doux autres.
42. Enfin, il faut entendre l'exception comme n'ayant lieu que si le terme connu est un même carré dans les trois expressions; car autrement, si les termes connus étaient des carrés différents, le plus grand
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m> ŒUVRES DE FERMAT.
lîooincietit de x peut très bien être la somme des deux autres; par exemple, pour la triple équation
Une triple équation peut encore se résoudre si les expressions sont exclusivement composées de termes en x- et en x, pourvu que les coefficients de X- soient des carrés (positifs).
