Soit proposé : 20a:' -1- !Sx- -^ [\ox + iG
Prenez (4 + 5a;) pour racine du carré; vous aurez des deux côtés les mêmes termes en x et indépendants, et vous obtiendrez a; = i comme solution. Cela posé, de cette solution vous en dériverez une autre, en substituant à x, comme précédemment, x -4- 1 dans l'expression proposée o.ox^ -\- 5x'^-\- ^ox -+-i&; le résultat de cette substitution est 20iK^-i-65a::^-f- iioa7-f-8i; on doit l'égaler à un carré, dont on formera comme ci-dessus la racine m h — ■ x\.On trouvera, comme valeur de x, dans la transformée, — ^- , et, dans la proposée, — ^■ En troisième lieu, de cette solution dérivée du premier degré, on en déduira une du second degré, en substituant x—^ ^; on aura, comme résultat de cette substitution, une nouvelle transformée que l'on égalera au carré (-— + ^ ^i: x] > et l'on arrivera, comme solution du \729 3609 ;
second degré, a la valeur -^ 7.
25. Supposons maintenant le terme en x'' carré, et soit proposé :
Prenez pour racine du carré : {x^ + "i-oc), de fatjon à éliminer les deux termes de plus hauts degrés. 11 viendra : ']x-~ix, d'où, en deliors de l'unité qui est une autre solution, la valeur x=-- On pourra donc substituer à a^', soit x h — , soit a; 4- r, pour obtenir des racines dérivées.
26. L'absence d'un des termes intermédiaires n'empêche pas d'égaler à un carré une expression composée de quatre termes. Ainsi l'expression iÇi -^ Q.l\x- -+- iÇix^ -\- 3x^ peut être égalée au carré (l\-\-^x^Y,
FERMtT.-in. 49
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386 ŒUVRES DE FEUMAT.
ce qui donne a: = 4. d'où l'on pourra substituer x + l^ pour obtenir
une solution dérivée.
De même, si l'on propose x* + 600;»''+ 8oooa^ -f- 5oooo, on formera le carré (a;^H-3oo)^, et l'on obtiendra ;r=5. On pourra donc substituer x -^ S pour obtenir une solution dérivée.
On peut égaler à un cube une expression composée de quatre termes, pourvu que le terme indépendant de œ, ou bien le coefficient de x" , soit un cube.
21- A cet effet, si le terme indépendant de x est un cube, on en prendra la racine cubique comme terme indépendant de la racine du cube à égaler. On divisera ensuite, par le triple carré de cette racine cubique, le coeffîcient'de x dans l'expression proposée, et on aura ainsi le coefficient de x dans la racine du cube à former; la racine cubique et le' quotient doivent d'ailleurs être affectés des signes convenables. Ainsi soit proposé d'égaler à un^îube l'expression aa;'-)- x^-+- 3x-+- 1; on prendra, pour racine de ce cube, 1+^7(1 étant la racine cubique de l'unité, et x le quotient de 3a! pour 3, qui est le triple carré de i). En égalant à l'expression proposée le cube de cette racine, à savoir x^ + 3x^ 4- 3a; -f- 1 , on aura x == 2, et en substituant x + 2 a x, on pourra obtenir la solution dérivée.
28. Si c'est le coefficient de x^ qui est un cube, on prendra sa racine cubique comme coefficient de x, et en divisant par le triple carré de cette racine le coefficient de x- dans la proposée, on aura le terme indépendant. Ainsi soit proposé d'égaler à un cube
on prendra, pour racine du cube, 2a; + 2 (2a: étant la racine cubique de 8x^ et 2 le quotient de 24 par 12, triple du carré de 2); le cube de cette racine sera 8a;' 4- 24^*+ 24a: -1- 8; en l'égalant à la proposée, on obtiendra x= —■> et l'on passera ensuite au calcul des solutions dérivées.
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Si le coefficienl de x^ et le terme indépendant sont tous les deux des cubes, il y a trois manières d'égaler à un cube l'expression proposée.
29. Soitproposé, par exemple, A' è^d\t^fh.vr\ c.nhn x' -\- -lœ' -^ l^x -h i . Si nous prenons, pour racine du cube, x -\- i (c'est-à-dire la somme des racines cubiques des deux termes cubes), on aura à égaler l'expression proposée à ;»' -t- 3^--t- 3x-j- i, d'oii x = i. Nous pouvons encore prendre, pour racine du cube, x -\- ^ de façon h éliminer les termes des deux degrés les plus élevés; l'équation ne subsistera dès lors qu'entre les termes des deux degrés inférieurs, et l'on en déduira a; = — i^- Enfin on peut prendre f 1 + =a;j de façon qu'au contraire il ne subsiste dans l'équation que les termes des deux degrés supérieurs; on obtiendra ainsi la solution a; = ~ |^; chacune de ces trois racines primitives fournira des dérivées, comme ci-dessus.
Iléserve sur ce qui vient d'être dit.
30. Toutefois il peut arriver qu'une expression composée de quatre termes, dont l'un des extrêmes est cube ou dont les deux extrêmes sont cubes, ne puisse pas être égalée à un cube ; c'est dans le cas où, après la réduction des termes semblables, l'équation subsiste entre trois termes (') ou bien où l'on n'a plus qu'un seul terme égalé à zéro. Ainsi soit proposé : i-\-^x + Zx^ ■+- 4^' ; on ne peut procéder autrement qu'en formant le cube (i -i-xy-, mais l'équation se réduit à 3a;^= o; il est donc impossible d'égaler à un cube l'expression proposée. De même, soit proposé : x^ -^ ix- -^ "ix -[- t; on ne peut trouver qu'une seule solution immédiate et primitive, en prenant, comme racine du cube, X -\- 4:-, car si l'on prenait a:^ -+- 1, on aurait x- = o. Pour
(') Il esl clair qvie ce n'est pas à supposer.
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388 CEUVBES DE FERMAT.
un motif semblable on ne peut égaler k un cube l'une ou l'autre des
expressions
x' — Sie^ — ix — t, a;'— 3^=+ 3a; -H 1. L'équation se réduit toujours à celle d'un seul terme au zéro.
Douse questions sur ce qui a été enseigné dans cette troisième Partie.
31. Ce que j'ai dit jusqu'à présent fournit une riche matière, d'où l'on peut, comme d'une mine d'or, tirer un trésor de problèmes sans fin. Ainsi on peut demander un nombre tel qu'en le prenant 20 fois, ajoutant 10 fois son carré, 4 f'^is son cube et enfin l'unité, on ait un carré. Si l'on demande en outre que ce nombre soit plus grand que 8 et plus petit que 10, il faudra nécessairement, d'après ce qu'on a vu plus haut (n" 23), partir de la solution primitive — 3, en dériver une autre du premier degré ■.-; puis une du second degré : ; enfin celle du
troisième : ^> qui satisfait à toutes les conditions proposées. Mais ce sont d'autres questions que je veux résoudre ici.
Trouver en nombres rationels entiers an triangle rectangle, tel que son hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit.
32. J^'ai déjà (première Partie, n" 45) résolu ce problème par la double équation ; mais comme il peut être abordé également au moyen d'une expression composée de cinq termes, je vais le traiter de cette seconde manière. D'après ce que j'ai dit h l'endroit précité, je forme le triangle des nombres a; -1- 5 et 12; les côtés sont par suite :
L'hypoténuse : a;^-!~ loir -4- i6g et la somme des côtés de l'angle droit : x' 4- Zf^x + i doivent être des carrés ; < le produit de ces deux expressions, soit a:* +■ f\lix^ -h Siox' + 5756a: 4- 169, doit donc être
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un carré > que je forme en prenant pour racine i3 + — ^a; — ûs^;\\
vient a; =^ — — ëô^-- D'où, pour les côtés, d'après les positions ci-dessus,
les nombres i 06 1 652293 52o, 4 565486027 761, 4 687 298610 289, qui sont les mêmes que ceux trouvés précédemment.
Ti-ouver un triangle rectangle tel (jue l'on ait un nombre donné en retrancfmnt l'aire de la somme de V hypoténuse et de l'un des côtés de l'angle droit.
33. Soit 4 if nombre donné. Chorcbons d'abord un triangln rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant le quadruple de l'aire du carré de la demi-somme de l'hypoténuse et d'un côté.
Soient ic-f- i et a; les nombres générateurs du triangle; les côtés seront : 20;* -H ix-^i; ix-i-i; 2,x^-\^ ix. La somme de l'hypoténuse et du côté suivant est ^x"^ H- (\x -H 2; sa moitié est .r*-!- 2^4- i, dont le carré a;' -h 4^^ + 6ic^ + 4^ -h i , diminué de quatre fois l'aire, c'està-dire de 8a;' -f- 1 ix'^ + [\x, laisse comme reste x^ — 4a;' — 6a;* -H i Égalons ce reste au carré ix^ — ix+ i)* =^x'' — l\x^ -h 6^:^ — [\x ~v- 1
L'équation donne x^-^- D'après les positions, les deux nombre! générateurs du triangle seront % et j> ou, en prenant seulement le; numérateurs, i\ et i; ils donnent le triangle 17, i5, 8. Prenez ces nombres comme coefficients de x. Les côtés du triangle cherché étant ainsi supposés être 17a;, \Sx, 8a;, nous aurons l'équation
Le triangle cherché a donc pour côtés ^> y. ^i et il satisfait à la condition proposée. Celte question a été omise par Diophante après ses problèmes VI, iO et M.
Trouver un triangle rectangle telqa'im côté de l'angle droit soit un carré et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré ( ' ) .
34- Soit 3 \<: inu!ti|ilicateiir donné. Formons lo Iriaiiglo dos nombres x-\-i et I ; les côtés seront x'^ + ^x + 2, x^ ■+- 2x, ix ■+■ 2. Multiplions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, ôa; -1- 6, au côté intermédiaire, il vient ^^H- 8^ -+- 6 qui doit être un carré, en même temps que !e côté intermédiaire. Faites le produit de cette somme, x^-^Sx-\- 6, par le côté intermédiaire, x- -t- ix; vous avez
à égaler à un carre, soit à
Il vient ;r = — ■
D'après les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers : 3i3, 25, 3i2. La même solution peut être obtenue parla double équation
Trouver un triangle rectangle tel qu un côté de P angle droit soit un carré, et qu'eti en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré.
35. J'ai déjà donné une solution de ce problème (Part. 1, n" 47), mais par une autre méthode. Soit donc proposé de retrancher du côté qui est carré le triple de l'autre côté de façon à obtenir un carré. Prenons comme triangle primitif celui qui vient d'être trouvé pour la question précédente, savoir 3i3, 2,7, 3 12, formé des nombres i3 et 12.
Formons le triangle chcrclié des nombres x — !?> et 12; les côtés
(') Cf. l'ai-t. I, iV'46.
seront a;-— 26ic + 3i3; ^r-— 260;+ i5; i(\x — ^ii. Retranchons du coté intermédiaire le triple du dernier, il reste a;- — 983; + 961 qui doit être égalé à un carré, aussi bien que le côté intermédiaire x^ — 26a: + 25. Égalons en conséquence à un carré le produit de ces deux expressions, savoir x^ — la/ja;' 4- 553^x- — 27 436^7 -f- 24020, et formons la racine de ce carré : x^ — '—p-x-\- v55. De l'équation
on tirera x= -^ „ ' '^ ' ; les nombres ic— i3 et 12, si l'on chasse les 318370 '
dénominateurs, deviendront 23542921 et 3 820440; et on formant de ces nombres le triangle demandé, on aura les côtés
36886-1 871 oo584i, 53^6733674186/11, 179 888 634 310840, satisfaisant à la question.
Trouver un triangle rectangle tel que l' hypoténuse soit un carré et qu'en retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné de l'autre côté, on ait un carré. Soit 1 le multiplicateur donné ( ' ).
36. Prenez ir -1- i et i comme nombres générateurs du triangle; les côtés seront : x^ -i- 2.x -\- 2; x^ -h loj ; ax-h 1. On devra donc avoir x-~i- 2x-h 2 =a et, en retranchant du côté intermédiaire le double du dernier côté, x-—2x — li=n- Cette double équation donne x^—- par suite a: 4- I et i deviennent — — et—, ou, en ne pre-
nant que les numérateurs, — 5 et 12, dont on forme le li'iangle primitif 169, 119, 120.
Il faut dès lors recommencer l'opération, en prenant pour nombres générateurs du triangle a; — 5 et 12; les côtés seront: ic- — loa^H- 169; x'-' — lox — iig; 24a; — 120. Si l'on retranche du côté in terme diairi^ le double du dernier côté, soit 4<^^ — "^^o, le reste x'^ — S^x + 121 devra être un carré, de même que l'hypoténuse x^ — \ox H- 169. Egalons à un carré le produit de ces doux expressions, c'est-ii-dire
(1) cf. Pai-t. I, n" 48.
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a;' — 68.»'-f-87oa;^ — 11012X + 20449 et formons la racine de ee SÔofi
aussi suivre une autre voie, en ramenant les deux expressions h avoir un même carré pour terme connu, on aura
— ^x^— ?. a: |i6g — n et .7:^ — io.x -i-iog — D.
comme on l'a vu Part. I, n''21 et suiv., la décomposer en deux facteurs
— xet—cc— —^ OUI conduisent a la valeur a: = — t^-t^-- U après T I M 1 1 • 46 o46 ^
les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers :
19 343 046 ii3 329, 18 732 4i8 687 921, 4821 817 4oo 400.
Trouver deux nombres tels que le produit de leur somme par la somme de leurs carrés soit un cube.
37. Soient a; et 2 — a: les deux nombres cherchés; leur somme, 2. multipliée par celle de leurs. carrés, qui est aa;^— 4^ + 4. donne 4a;* —8^ + 8, qui doit être un cube. Formez la racine de ce cube :
a—'^x, et égalez-le à l\x^ ~ 8a; + 8; il viendra a; = — -• Je substitue en conséquence a; — - à a; dans l'expression 4^^ — 8a? -1- 8 ; la transformée est 4a;- — 44^ 4- 1 25. Je l'égalerai au cube (5 =a;l , et j'aurai ainsi
d'où X -— ^, Q . ; je retranche de cette valeur - ) puisque j'ai substitué X — -; j'ai pour valeur de x dans les premières positions — —■ Si, d'après la position pour le second nombre cherché, je retranche cette
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Uemarqupz : i" que les numérateurs 26793 et 15799 s;itisfoiil à la question.
2" Que l'on a résolu de fait le problème suivant : Partager le nombre -i en deux parties, de l'açon que le double de la somme des carrés des parties soit un cube.
3° Que l'on peut résoudre de la même façon cette autre question : Trouver deux nombres tels qu'un multiple quelconque de la somme de leurs carrés fasse un cube. Ainsi, si l'on demande que le quintuple de la somme des deux carrés fasse un cube, vous poserez a; et 5 — a; pour les racines cherchées et vous continuerez comme ci-dessus.
Enfin de cette solution on peut déduire également celle d'un très beau problème : Trouver deux nombres tels que leur différence soit égale à la différence de leurs bicarrés. Si l'on prend en effet les deux nombres trouvés ci-dessus, 26 798 et i5 799, et, comme dénominateur commun, la racine du cube produit par la multiplication de leursommc* et de la somme de leurs carrés, racine qui est 34 54o, on aura les deux nombres cherchés %jZ~ et -'', Z?^'
Trouver deux triangles rectangles ayant une même différence entre leurs moindres côtés, et tels que le plus grand côté de l'angle droit de l'un de ces triangles soit égal à l hypoténuse de l'autre.
38. Formez le premier triangle des nombres ^ et i; les côtés seront .T* + I , x^ — I , %x. Donc le second triangle aura x- -+- 1 comme plus grand côté de l'angle droit, et le plus petit s'obtiendra en retranchanl la différence des deux moindres côtés du premier triangle, c'est-à-dire X- — Q-x ~ I, ce qui donne nx-h 2. Reste à satisfaire à la condition (x- + ly -\- (2x -^ 3y = a. En développant, j'ai comme somme des carrés a;' + 6^^ + 8.2; -H 5 que j'égalerai à (x^-h'iy, ce qui donne
x'' -i- 6x^ + a = x" -h 6x- -h 8x ■+- 5. D'où x= -■ ^ 3
D'après les positions, en chassant le dénominateur, les nombres
entiers générateurs du premier triangle sont 1 et 2, mais le premier
ni.— femut. 5u
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.toi ŒUVRES DE FERMAT.
fst. inlorioiirau second, en sorte que l'on aurait un nomhre faux comme côté du triangle, ce qui est absurde. Il faut donc, pour remédier à cet inconvénient, recommencer l'opération, en formant le triangle des nombres x -hj et 2.
Les côtés du premier triangle seront donc a;^+ 2x-i- 5;a;'--\- 2x — 3; f\x + .'\, et les moindres côtés du second x- -\- ix -i- 5 ; ^\x -{- 1-2. La somme des carrés ile ces deux derniers côtés fait
et doit être un carré. On peut en former la racine de plusieurs façons. Prenons I 1 3 + ^a:^ — iC-| ; l'équation donnea: = — -^^' Les nombres entiers générateurs du triangle seront, d'après les positions et ('ii chassant les dénominateurs, — 979 et 1092, On peut s'en servir comme si tous deux étaient vrais et former le triangle des nombres 109^/ et 979. On aura ainsi les deux triangles
■>,i5o90j, 2i38 i36, iï34o33, Lî j65 oi'j, 3 t5o goâ, 346792,
qui satisfont h la question.
Trouver deux triangles rectangles ayant une même somme pour les cotes de l'angle droit et tels que l'hypoténuse de l'un soit égale au plus grand côte de l'angle droit de l'autre.
39. Formez le premier triangle des nombres x -h i et i; les côtés seront : œ- + 2X -hn; x- ■+• 2x; 20; + 2. Le plus grand côté de l'angle droit du second triangle sera égal à l'hypoténuse x-~i-'2x~h-2, et, si on le retranche de la somme des côtés de l'angle droit du premier triangle, il restera 2X pour l'autre côté du second triangle. La somme des carrés des côtés de l'angle droit de ce triangle fera des lors
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TUAItUCTlON DE LINVENTUM NOVUM. 3!I3
Je l'égale au i;arré (x'^ -h i>a; + 4)- ~ ^' + /ja?' + i:J,a;" -i- iOj; -t- iG; il vient x= ~ -• h' substituerai, par suite, x à x dans l'expression
la transformée est x^ — 2X^ -h — .r-— -^^'-f- '-7P et je l'égalerai au carré (-, ^x + x- \ ; l'équatioa me (loniipx- = ~; si j'en retrancha
-1 j'ai -t; pour valeur de œ dans les premières positions. Par conséquent, en nombres entiers a; + i et r deviennent, si je chasse les dénominateurs 29 et iG qui engendrent le premier triangle cherché i5r7, i65, i5o8. On en déduira le second ; laaS, ijry, i56.
On peut arriver autrement à la solution en partant de la valeur .r = — - trouvée en premier lieu. Si on la substitue dans les expressions 3: + 1 et I , on aura en entiers : ~ i et 2. On prendra dès lors comme nombres générateurs a-- — 1 et 2 et l'on recommencera l'opération. Les côtés du premier triangle seront x^ — aa; -\- 5; x'^ — 2x — 3; 43; — 4; Ips côtés de l'angle droit du second : cr^— 3a; -h 5; {{X — li, h somme des carrés de ces derniers fera x* — Iix'-\~3qx--— i iGj^-i-iG;) et on l'égalera au carré ( 1 3 — -^a)-\-iv^\ ; d'où x = - ■ Dès lors, en
entiers, a; — i et 1 deviennent 29 et 2G, c'est-à-dire les nombres trouvés ci-dessus et conduisant aux mêmes triangles.
Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, et tel que ta somme de l'un des côtés de l'angle droit et d'un multiple donné de l'autre côté soit également un carré.
40. Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle cherché des nombres x et 1; les côtés seront ic' + i, x'^ — i, ix; ajoutons l\x, double du dernier côté, au premier coté de l'angle droit; il vient
X- -^ .\x — i qui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse :c--m .
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La (lifTérenco cIp ces diuix px(irossions esl 2 — l\x, et l'on trouvera, par suite, la valeur :c = — ■ Mais x doit être plus grand que l'unité; il faut donc recommencer l'opératifui, en ])reiiant pour nombres générateurs .T -\- 5 et ï2.
Les côtés seront : x-^ loa,' -1-169; x^ -i- ioj:!— 119; 2^x -1- 120. Ajoutons au côté intermédiaire le double du dernier, c'cst-ii-dîre 48^ -I- 240; il vient i»*-l- 58i» -H 121 qui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse x' -+- roo; -1- 169. Égalons ii un carré le produit de ces deux expressions, soit x^ + 68^ -1- 870^;- -f- i loisar-i- 20449. ^'^ ^''"'" mous ce carré : f i43 -
Les nombres entiers formant le triangle seront 1 i45o82 3/'[i 079296 et 368 045 547 448 320 ; il est facile de le calculer.
Trouver un bicarré tel que. son triple, ajouté à un autre bicarré que l'unité, fasse un carré.
41. On demande que le second bicarré soit différent de Funilc, parce qu'autrement la question serait trop facile, puisque l'on a 3x1-1-1— 4 et 3x 16-1-1^ 49- I^ prends pour racine du bicarré cherché le nombre x — 1. Son bicarré est x^ ~ ^x^ ■+- 6x^ — l\x + 1 . Triplant et ajoutante;', j'ai 4^'— 12^;*+ 183;^ — la^ -f- 3, que j'égaie au carré / aa;^ — 3a; + 7 ] , d'où.c=-^- D'après les positions, en nombres entiers, la racine duhicarré sera 3; en triplant ce Ijican'é, 81, et en ajoutant le bicarré 14*^41 t'u numérateur 11, on aura 14884, c'jest-à-dire 122-,
On peut aussi prendre le double de 3, c'est-à-dire 6, tripler son bicarré et ajouter 22* (bicarré du double de ii); on aura 338 r44 'H' 488^
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De même, v.n triplant 3 ot 1 1, ce qui donne 9 et 33, 3 X 9'+33'=i5o5 6o4 = io()8-^; et ainsi de suite indéfinimeiil.
Trouver an triangle rectangle lel que l'on ait un carré en ajoiitani le carré de V hypoténuse à un multiple donné de l'aire.
42- Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres .^ et r; les côtés seront : ^--m; ce* — i; 2^; le carré de l'hypoténuse est ^*+ 2i»^ + i; en ajoutant le double de l'aire, c'est-à-diro 2^' — ix, j'ai x" + 2x^ -\- ix^ ~ 2a: -h I que j'égali? au carré (x^-hœ-\- - ) ■ " vient x= j] mais, cette valeur n'étant pas supérieure ;i i, on ne jieul former le triangle sans tomber sur des nombres faux; il faut domrecommencer l'opération en substituant x + y h x dans l'expression égalée à un carré.
La transformée est x'^ H- 3a:' -i- -1 x- — -^x -h ^ que j'égalerai au . /iS g 5o77
'-x^ ] . Il vient (') x= — -, — ^; ajoutant 7. a --,7 / ^ ' 20949120' J 4
cause de la substitution, on aura, comme valeur de a; dans les premières
positions . „^^ • Les deux nombres générateurs du triangle rectang!<'
seront donc en entiers 6437 456 et 5237 2S0. 11 y a un cas uni(|ue
pour lequel le problème est impossible ( - ).
Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant l'aire du carré de l'un des côtés de l'angle droit.
43. Formez ce triangle des nombres x — i et 4; li's cotés seront : ■x- — 2a; -I- 17; a;^— 2a; — i5; ^x — 8. Kn retrancliaîit son aire,
(') Les nombres qui suivent sont cntacliés d'une erreur do calcul ; il faut corriger
ce qui pour les nombres générateurs du triangle donne 6 85g 966 ë
5 337280, ou en nombres minimi, 571663 et 436 440' (') Cette remarque paraît se rapporter au cas où le muUiplicateur donné 0
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\.v-' — i'2,î---— j2a: + Gu, du carré du second côté, cVst-à-diro de j:-' — ^œ^ ~ 2i})j!- -hGox -h'^2Ô , il reste ^* — 8.r' — i '[.r^ + i ia,r4-i65. ;t cgalcrà un ciirré, soh -à (.x' — ^tic — 1 5')- . Il vicnf .r == — ^- Jo suhsliUie par smU-- -r '- dans l'expression à égaler à un carré ; la transformée est .r' — 3î:i^'+ i^a;-— ^^^j:^h — —^- ■''' l'égale au rari'é
(.■r- — - 19a; j- 1 ■ Il vient j;= --0^; si je rctranciie — a cause de la
substitution, puis l'unité, d'après les positions, les nombres géaérateurs du triangle rectangle seront en entiers Gooi et 2280. Le triangle
cherché sera 'ii ^to '^oi. 3o 8i3 Goi, 27 .'36.'| -^Gn.
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TRADUCTION
COMMERCIUM EPISTOLICUM
Dk WALLIS.
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