Soit encore, comme troisième cas

i6-!-.:cr-n, [6 — ^;-^n-

Substituez x" -^ ^œ; les transformées sont : la première i6 ~ '6x-\-x'-, qui est un carré; la seconde iG — 8^:^ — x'' a égaler à un carré, soit celui de 4 — 2a;; d'oùa;= y Puisqu'on a substitué a;" -v- ^x, on ])r('iidra, pour la solution cherchée :8x -+(-]= -r'-

Douze questions concernant ce qui a été exposé jusqu'ici dans cette seconde Partie.

21. Tous les exemples que nous avons donnés sont autant de |iroblêmes résolus. J'en indiquerai un seul : Trouver un nombre', difTérciil

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de if\, et tel qu'en ajoutant l'unité à son simple, à son double et à son quintuple, on ait trois carrés. On trouvera ci-dessus, sous le titre des solutions en nombre indefmt (n" 8) le nombre ^i^s.;, 30561569936396. satisfaisant â ces conditions. Bien plus, si l'on veut proposer la question en nombres entiers, on pourra l'énoncer comme suit : Trouver un carré entier autre que l'unité, tel qu'en y ajoutant le simple, le doubli; ou le quintuple d'un certain nombre entier, on ait trois carrés. Mais j'ajouterai encore ici d'autres problèmes nouveaux.

Troupier trois cubes ids qu'en ajoutani leur somme à des nombres proporlioneh à ces cubes on ait trois carrées.

22. Proue/, les trois premiers cubes i, 8, 27, dont la somme est 3G; ;ijouîez-!a aux produits par a: de chacun des trois cubes; vous aurez.

remplacez x par x^-^~\nœ, ce qui donnera, pour transformée do la

première expression, le carré (a^-i-6)-. En achevant l'opération, on

aura —i^ comme valeur de l'inconnue.

Trouver un nombre différent de 4 e( tel qu'en ajoutant à cinq carrés en progression géométrique ses produits par 2, 8, 3'i, 20, 3G, on ait des carrée.

23. Vrcnez les carrés 1, 1. iG, G'j, 25G; vous aurez une quintuple équaîion

^^-ax-u, 4-v-8,r=a, i6 + 32x=D, 64 + 2ox=D, 256-i-36j?=^a .

Ramenez a l'égalité les termes carrés, les transformées des expressions

a56 -i-5i2,f, ■ï.'ifiH- Siax, aj6 + 5i2j,', 256 h- 80^, sj6 + 3G,i;;

c'est donc comme si l'on avait seulement une triple équation; la mé-

TRADUCTION 1)K L'IiWENTUM iNOVLM. 371

tliode ci-tlessu8 (n''17) donnea;= '"'^s T^' scliiUou di' la quiiiluplf équation posée tout d'aliord.

Tramer trois nombres carrés tels qu'en ajoiUant leur somme à chacune . de leurs racines on ait des carres.

24. Choisissez trois carrés dont la somme soit un carré et tels que la plus grande racine soit supérieure à la somme des deux autres; tels sont [\, 36, 8i, dont la somme est 121. Prenez pour les trois carrés cherchés \x^, 3Ga:^, Sitc^; leur somme, ajoutée séparément à chacune des racines, donne

les expressions ci-dessus, ou trouvci'a des uoinhres carrés, (^t le |}rnblème sera résolu.

Trouver irais carrés différents tels quen leur ajoutant irais nombres en proportion harmonique, on ait trois autres carrés.

25. Il faut avoir soin que le plus grand des trois proportinnels harmoniques soit supérieur à la somme des deux autres; on pourra de la sorte poser

ou, eu réduisant les termes carrés à l'égalité suivant la méthode cidessus,

Remplacez x par p^x- -\- ^x g\. achevé/; l'opération C(unm{ï ntms l'avons indiqué {Cf. n" 14), vous trouverez pour solution de la première équii-

lion triple ^^^-- 1^ 4761

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379 ŒUVIiES DE FERAIAT.

Trouver trois nombres tels que la différence des deux plus grands soil dans un rapport donné à la différence des deux moindres, et que, d'autre part, leurs sommes deux à deux fassent des carrés. On donne le rapport de i à i .

26. C'est la question IV, 45 de Dlophaiite, et il n'y en a pas que cet auteur ait traitée d'une façon plus prolixe et plus embrouillée. Prenez un carréarbitraire,-'iparexemple, pour somme du nombre moyen et du moindre; soit 2 + ^ le moyen, 2 — a; le moindre; leur différence sera IX ; si on la triple (puisque le rapport donné est de 3 à 1 ), on aura Gx el, en ajoutant le nombre moyen, on aura le plus grand 2-h-jx. Il faut de plus que la somme du plus grand et du moyen, c'est-à-dire .1 + Sx. et la somme du plus grand et du plus petit, c'est-à-dire 4 -i- *3i». fassent des carrés. Remplacez a; par -^ + -^^^ *i^ façon qu'en multipliant par () (coefficient de x dans la seconde expression^ on ait £c= -1- ^x, dont la somme avec 4 ft^™ 1g carré (2 -+- x)- ; en multipliant la nouvelle forme de l'inconnue par 8 (coefficient de x dans la première expression), et

ajoutant 4i on aura l\ -\- ~ x -j- ^ x^ k égaler à un carré dont on peut former la racine d'une inftnité de façons. Soit par exemple f 2 -1- -;^ ) . On obtiendra une valeur qui, substituée dans l'expression de la première inconnue, donnera — ; les trois nombres cherchés seront - — ~,

Trouver deux nombres tels que leur somme, soit augmentée, soU diminuée de la différence de ces nombres ou encore de la différence de leurs carrés, fasse toujours un carré.

27. Soient - + x' et - —x ces deux nombres; leur différence, aussi bieii que la différence de leurs carrés, sera 2X. Il faut donc que la

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TnADIlCTION DR L'INV'ENTUM \OVLM. ;i7:

Honuiio dos deux nombi'cs, plus ou mo'ius ix, fasse un rarrc. On ; donc la double équation

Homplaccz -r par -..*;■■'-+- j:^, de façon qu'en multipliaut coUf expression d(.' l'inconnue par 2 et en ajoutant l'unité, on ait, d'une part, i -\- ix-^ x'^ qui est un carré; de l'autre, 1 — i.x — x- à égaler ;i nn cart'é, soit ii (i — 3:c)-; d'où x= ^- ■Comme on a remplacé x par

-a^'-t- X, on prendra - ( - ) 4- = = — ' valeur J'oii l'on déduira, pour les nombres cherchés, d'après les positions, p^ et — -

Trouver quatre nombres dont trocs soient carrés et tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré.

28. On cherchera d'abord, d'après Diophante, V, 27, trois carrés tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré; tels sont -^' -j-j -0— ■ Ces trois carrés étant pris

pour le premier, le second et le troisième des nombres cherchés, soit X le quatrième; dès lors, les produits du premier nombre par le second, du second par le troisième, du troisième par le premier donnant des carrés, si on les augmente de l'unité, il suffit qu'il en soit de même pour les produits du quatrième par chacun des trois premiers; on a donc les conditions

Remplacez, suivant la règle, a; par ---x'+ ■-; dans la première expression ^x devient a;^ + 2a;, qui, augmenté de l'unité, donne le carré (x + ly ; efTectuant la substitution dans les deux autres i^xpres-

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ŒL'VHKS DE FEISMAT.

1 doulile ijquatfon

40Ç)G ^ 8iC(;

«il les termes indépendants de x sont carri'is (aussi bien que les cocliicients de x"): on pourra dès lors la résoudre par la méthocit; ordinaire, et en déduire la valeur de l'iLiconnue ou du quatrième nombre cherché.

Trouver un iriangle rectangle tel que le produit de l' hypolénusc par la somme des côtés de l'angle droit soit un carré, aussi bien que les sommes obtenues en ajoutant au carré de l'hypoténuse, soit le double de celle-ci, soit l'un ou l'autre des côtés de l'angle droit.

29. Prenez nn triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit (première Partie, n" 45) ; multipliez par x chacun des côtés de ce triangle, vous arriverez à ce que vous cherchez.

fin efTet, le produit de l'hypoténuse par la somme des côtés de l'angli; droit sera un carré; si, d'autre part, au carré de l'hypoténuse, on ajoute séparément le double de celle-ci, puis l'un et l'autre des côtés de l'angle droit, on aura une triple équation, qui se résoudra comme il a été dit au n" 16.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ail un carré, en ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle droit, soit un multiple donné de l'hypoténuse.

30. Soit proposé, comme multiple donné de l'hypoténuse, le double; prenons, pour le triangle cherché, 3a;, l^x, Sx. On aura

\'a\ procédant comme il a été dit au n" 13, on trouvera x = tt-, — 77

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Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carre en inullipiiani V hypoténuse par la différence des côtés de l'angle droit, aussi bien qu'en ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de. l'angle droit, soit un multiple donné de l'hypoténuse. Soit proposé, comme midtiple donné, le double.

31. Prenez, pour triangle primitif, 1 19, 120, 1G9, dont l'hypoténuse pst un carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit. Multipliez par a; chacun de ces côtés; leur somme sera l\o^x; en ajoutant séparément â son carré chacun des côtés de l'angle droit et h' double de l'hypoténuse, on aura

le reste est facile d'après le n" 13.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ail un carré en multipliant un des côtés de l'angle droit par la différence entre l'aire et ce côté, aussi bien qu'en ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle droit, soit un multiple donné de l'hypoténuse.

32. Prenez (première Partie, 11° 53) un ti'iaiigliî rectangle ilimt un côté de l'angle droit soit l'unité, et dont la différence entre l'aire et cette unité soit un carré ('); multipliez par x chacun des côtés, prenez le carré de périmètre et ajoutez-y séparément chacun des côtés de l'angle droit et le multiple proposé de l'hypoténuse; la solution s'achèvera d'après ce qui a été dit au n" 13-

(') Celto solution ost évidemment orroniie; soit 0-= i!'--^! In triangle primilii' supposé où r est un carré; le trianglû, cherclié d'après les indications de Billy, satisfait à la

condition .vlx ^ ) = n t c'est-à-dire que le prodoit do l'un des côtés de l'angle droiX

par la dilTércncc entre ce cûté et la moitié do l'autre (0011 pas l'aire) est un carré .

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376 ŒUVIÏES l»K lliltMAT.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en multipUanl un des côtés de l'angle droit par la somme de ces deux côtés, aussi bien qu'en ajoutant an carré du périmètre un quelconque des trois côtés du triangle.

33. Prenez un triangle rectangle dont la somme des côtés de l'aiigh' droit et l'un de ces côtés soient des carrés; par exemple, le triangle \o, 9, l\i. Multipliez chacun des côtés par a; et ajouten-les séparément au carré du périmètre; vous aurez

8iood;'-(-4o.T = n, 8.ooa;'+9,r = n, 8roo^-+ 'ii^' — DijP problème pourra ainsi être résolu. Il ne faut pas dire au reste qu'il y ait là une contradiction avec la remarque des n*" 9 et suivants, d'après laquelle la méthode de Fermât ne s'applique pas au cas où le |)lus grand des coefficients de x est égal à la somme des deux autres ; quelqu'un pourrait croire qu'il y a encore plus impossibilité lorsque le plus grand coefficient est inférieur à la somme des deux autres ; mais du moment ou il y a inégalité, quelle qu'elle soit, le problème est [)ossibIc, comme tout patient analyste pourra le reconnaître.

TUOISlÉilli; l'AlîTIE

<;OMI'liENAST LE PROCÉOÉ POCR OBTENIR DES SOLUTIONS EN NOMBRK INDÉFIM DONNANT DES VALEURS CAHRIJES OU CUBIQUES A DES EXPRESSIONS OÎ) ENTRENT PUIS DE TROIS TERMES DE DEGRÉS DirFÉliENTS.

1. Je traiterai ici particulièrement des expressions comprenant les cinq termes en x\ x^, x'', x et le constant; mais, à cette occasion, je [jarlerai aussi des expressions de quatre termes. Ces termes pourront d'ailleurs être, soit tous positifs, soit entremêlés de termes négatifs; l'objet proposé est de donner à ces expressions des valeurs carrées (pour celles de cinq termes) ou cubiques (pour celles de quatre), et cela d'une infinité de façons ; or, en général, on peut dire qu'il est néeessairc, pour les valeurs carrées, que au moins le coefficient du terme

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on x'' ou le terme constant soit un carré; pour les valeurs cubiques, <[ne le coefficient du terme en x^ ou le Icrme constant soit un cube.

Egaler à un carré une expression composée de cinq termes et où le coefficient de x" seul soit un carré.

2. Il faut tout d'abord avoir soin que les coefïicients de x\ x' et x'^ soient los mêmes dans l'expression proposée et dans !e développement du carré qu'on lui égale. Pour cela, on prendra tout d'abord la racine carrée du terme en x^ pour former le premier terme de la racine du carré cherché.; puis on divisera le coefficient du terme en x^ par le double du premier coefficient ainsi trouvé, et en multipliant le quotient par X, on aura le second terme de la racine' du carré cherché ; après quoi on prendra la différence entre le carré du coefficient de ce second terme et le coefficient de x^ dans l'expression proposée; on divisera par le double du coefficient du premier terme, et l'on aura ainsi le troisième terme de la racine du carré cherché, celui qui esl indépendant de a;. En égalant le carré de cette racine trinôme à l'expression proposée, on obtiendra la valeur de l'inconnue. Ainsi soit proposé

en observant les règles qui viennent d'être exposées, on prendra, j)our le carré à égaler à cette expression,

l'équation donnera x=3, et en substituant dans l'expressiiin proposée, on aura le carré 2.56 ( ' ).

(') Les règles de Billy i-evitinneiil, élanL proposée l'expressiun

h lui égaler

( ac^^ —x^ ''~I^' \ ^ .,,^, ^ i^^,,^ ^^, bJAa'-c-b^-) ^ ^ {/}^'î^''l)l .

a pour

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378 ŒLVIIES DE rEllMAT.

Egaler à un carre une expression composée de cinq termes, et oà le terme constant seul soit un carré.

3. il faut rt'marqut'i' qu(^ dans ci; cas, ("otilnuromciil, an |irécri(i>iil, les termes qu'on doit rendre égaux de part et d'autre sciiit le uoiisLaiil et ceux en x et xK On prendra donc, pour premier terme de la racine du carré à égaler, la racine du terme constant de l'expression proposée; on divisera par le double de cette racine : imi prcnuci' lien, le coi'llicient de œ dans l'expression proposée, l't l'on aur;i le coclliciiMil dn second terme de la racine cherchée; en second lieu, la ditîérenee entre le coefficient de x- dans la proposée et le carré du dernier coefficient trouvé : on aura ainsi celui Aex- dans la racine du carré à égaler. En formant ce carré et achevant l'opération, on aura la valeur de Tinconnuc. Soit, par exemple, proposée l'expression

en observant les règles qui vienncnl d'èlrc exposées, on prendra, pour le carré à égaler :

l'équation donnera a; = 2, et en substituant dans l'expression proposée, on aura le carré l'èij.

Kgaler de différentes façons à un carré une expression composée de cinq termes, et où le terme constant est carré en même temps que le coefficient de x'' .

4. Tout d'abord on |)euf formel' \:\ racine du carré à égaler, de façon il éliminer les termes conslants, ceux en .r el en .!■'. Ainsi soil nni-

b'ormez (i -h toj; -;- x'-y = i + 20X ■+- 102^- + 'lox'^ -+- x^ ; les leriiies de trois degrés disparaissant, il resfera l'équation —92.7-'-— j('>.i'', d'oii

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TRADL'CTIOiN DE L'IIN VIÏM T UM \OVUM. :ï-9

•1^ = — -','. -• iîii subslilu.nn! lUuis FL'xpi-fssion iiroptisôc, on aura

5. En svcotid lieu, on pinil foriucr hi caciiK^ do lin^on à éîiiiiiiior les Irrmcs (Constants et coux en j' cl .r-. Ainsi soit pToposéo la inèiiii' expression

On prendra (i H- lax — \dx-')-; en développant le carcé et en établissant l'équation, il ne restera que les termes en x^ et .t*, de degrés immédiatement consécutifs; on tirera dojie x=.-—; la subslilution

lionne le cari'e jj-^ —

6. Troisièmement, on peu! Cormei' la racine de l'aeon à éliminer Ic^ termes constants et ceux en x' et .r'. Soit toujours la même expres-

On prendra (x--!- 'iiP + 1)-; il ne restera dans l'équalion que le;, termes on x" nix-, et l'on tirera x= — i, d'oi^i la valeur cai'rée 81 pour l'expression proposée.

T. Quatrièmement, on peut former la racine de façon à éliminer les termes en x'', .-r% x"- . Soit encore

On prendra {x- -\- 'îx + 'iy \ après élimination, il restera seulement des termes en x ou constants; on en tirera a; = r, d'oii, piuir l'expression proposée, la valeur carrée 3G.

8. ("inquièmemenl, oti peut former la racine aulremenl que nous ne l'avons l'ait plus haut, de façon à éliminer les termes constants <'t ceux en X etir\ Avec la même expression, on pourra égaler

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;î80 œuvres de fermât.

et l'on aura^= -'-, lPoù, pour l'expression proposée, la valeur (■ — ^ j ■

9. Sixièmement, on peut aussi former la raeiiie autrement que nous ne l'avons fait plus haut, de façon à éliminer les termes constants et ceux en x^ et x\ Ainsi on pourra, avec la même expression, former l'équation

d'où œ = — 3, et, pour l'expression proposée, la valeur earréo -'\.

10. Je laisse de coté les autres racines que l'on iiourrait former, comme — x- — ix — 3, i — ix — x'-, x'- — lo^ — i, 45^^— loa; — i, — 1 — ix — œ'- \ car, si elles donnent des solutions, ces dernières ne (lilTérent pas de celles que nous avons déjà obtenues.

Ce que sont les soluUoiis dérivées et comment on les obtient.

11. Il V a deux sortes de solutions : les unes, eu effet, sont primitives; les autres, dérivées. Les primitives sont celles que l'on déduit immédiatement de l'expression proposée, comme celles que nous venons de calculer; les dérivées sont celles qui proviennent des primitives; elles peuvent d'ailleurs être du premier degré, si elles sont immédiatement déduites des primitives; du second degré, si elles sont déduites de dérivées du premier degré; du troisième degré, si elles sont déduites de dérivées du second degré, et ainsi de suite indéfiniment. Remarquez d'ailleurs que de solutions fausses on peut en tirer de vraies et inversement, comme on le verra clairement ci-après.

Déduire les solutions dérivées du premier degré d'une solution pnmiltvc quelconque.

12. Ajoutez 11 X la solution primitive, avec son signe + ou — ; substituez à l'inconnue le binôme ainsi formé dans les divers termes qui composent l'expression proposée; égalez le résultat de cette substitution à un carré dont on formera la racine comme il a été dit ei-dessus;

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ajoutez la valeur qui en viendra pour ^ à la solution primitive, viuis aurez ainsi la solution dérivée que vous cherchez.

Soif, |)ar exemple, ii trouver une solution dérivée du pi-emier degir |inur !'rx.[)ressiou proposée ci-dessus

[)i'ene/ — 'S, l'une des solutioiis primitives; ajoutcK-la à x, vous avez ^ — 3, que vous substituez à 37 dans les termes x'\ /|x'% lo^^, -lox. et vous ajoutez le terme constant, comme ci-après :

ro,c=

,c'^— (2x'-i-54.r!— io8,';-i- 8i ■+■ i-i;^ — 3G.ei-i-io8,)T— 108

Total

xi— 8,cS + a8,r=— ;o.r -1- 4

13. Celîc somme, doit être égalée à un carré; formez-en la raciiic comme suit : x' — /j,); — 2; il viendra x— f; comme on a sultstihié

X — 3, retranchez 3 de -. il reste - comme valeur de .t dans l'i'xpri'ssion proposée; la substitution de cette valeur donnera connue résulla)

14. On peut encore égaler la même somme au carré de (x" — lo.r-H^), d'où X = -^; retranchant 3, reste -^ comme valeur de ~r dans l'expi'ess[on proposée, et celle-ct acvienara — tt — = ( ) "

15. Prenez le carré de (2 —lOiP —.2:-); il viendra x — — —; l'elranch;nit 3, vous aurez la solution — '— qui doiinei'a à l'expression prnposée la valeur ^^i, c'est-à-dire ('^)^

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■i>i-i ŒUVRES ])E FERMAT.

16. Qiiatripiuoiiioul., prenez le carré Je ('^ — lo^ — i 8^:^-); il viendra iv = — ^^> d'où, retranchant 3, vous aui'cz [a solution — -^^^ ■

On |)iiiirrait encore former les carrés

ruais ils conduiraicnl à la valeur .x='i, d'où, en retrancliant 3, la soin lion ■ !, (|ni est illusoire, et hors de notre propos,

17, J'ai ilit, d'autre |)ai't, que l'on avait également comme solution [iriinilivc — 'j; on |ient île même en tirer des solutions dérivées, en snb^tituanl x — !\ à x <lans l'expression proposée

huit commi' on a substituée — 3 dans cotte expression. I.i' résultat de la substitution sera

.r' — i2a;'+58a;^— ja't.r + 8r = C-

lin prenant pour carré (œ- — G^r — C))-, vous obtiendrez la solution l^-

\a- carré iœ' — —x + rA donnera la solution ^- Le troisième carré

\^ ' y ^ -^ ^^") *^'"'""^* m^Q <)■ ^^ qiiatrieme [g^-œ^x-)

lionne ■— ^-—- On |)ourrait encore former les carrés Çx- — 6x -h <))" ou

(— ^-+6x — <))-, mais on en tirerait x= 'i, d'où la solution o. qui nous est inutile.

18. Comme solution primitive, nous avons encore — ^- Substiluons donc a; — -^- à x; l'exjjression proposée deviendra i j iii5 733<) i^ofiiïS

(' ) Rillv donne la valeur erronée : ,„ ,7-- 43639

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TUADUCTIOX DE L'INVENTHM \OVUM.

Vous ubtiendrfiz les solutions ;

])ar le carre 1 ^^ x— —j-

.'la 375 '^'" ' "^ \ 750 iC ,,

iMiiiii le cai'J't; { -^ ^-^x-i-^ — :. ^ - a

\ib 7^0

j9. \"oilà pour Il's solulions jiriniilivos alï<^cléos du sii;Mc - ; (iti proci^dera do même pour celles qui ont le signe +. Ainsi, comme + 1 est une solution primitive, on substituera x -ht et on aura la îraiisi'oemée

D'où les nouvelles solutions :

par le cai ])ar le carré

ie carré ( 6 -h -^ x -\ .t^ ] .

20. Comme autre solution primitive, nous avons -t\ subslilnou' donc x-\- ^-^\ la transformée, obtenue comme il a été dil au n" 12, ser:

Les solutions LÎérivéos seront : j par le carré \x--+ 4-^+ ■'-- ) ; — 4-

, . { ., 1% gi8\= . , / „ ■-..% ■i.\!j,\'

|)ar le carre \ — x- irX -\ 1 ; i par le carre \x- -1- tt-.c + -^ i :

,-. [30978 , , /•■>.iS 3or>o A^

eniin %.,., par le carre h —, — x -- x'-] .

I toSi-i ^ V Q 3a7 y

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38't ŒUVIiES I)K IMUiMAT.

21. Knfin, la dernière solution primitive conduira à la substitution (le a; H — r5> et en égalant la transformée de l'équation proposée à un carré, dont on formera diversement les racines, comme on l'a fait poni' les précédentes, on obtiendra de même de nouvelles solutions.

Obleiur les solutions dérivées du second degré, celtes du troisième, du quatrième, etc. à l'infini.

22- De même que les solutions priniilives jious ont lourni des solutions dérivées du premier degré, de même les dérivées du premier degré peuvent nous fournir des dérivées du second degré. Ainsi, puisque nous avons - comme solution dérivée du premier degré, nous substituerons x-\ — âx dans l'expression proposée

!o résultat de cette substitution sera a;' + i'yx^ -\- — x'- + ~--x-\ — ^■ Nous l'égalerons au carré (a;'+3iC+-~] ! et nous obtiendrons

ainsi la solution ? qui est dérivée du second degré, puisi|u'elle

provient d'une solution dérivée du premier degré.

23. De cctic solution du second degré nous pouvons en dériver encore une autre, toujours par le même procédé. A cet elFel, on subsliliiera œ — — \i x dans l'expression proposée; le résultat de cette sub-

s itution est x' — iax" -\ ^~x- — -^-^ x + '—~; on I eea era au

e,arré (x- — igx ^^ j > ce qui donnera -7^ comme valeur de xi en

roli'anchant ^-i on aura, comme valeur correspondanle dans l'expression proposée, -f^, solution dérivée qui est du troisième degré, puisqu'elle provient d'une solution dérivée du second degré. On pourra de même obtenir des solutions dérivées du quatrième degré, du ctnijuième, du sixième, et ainsi de suite indéfiniment.

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Égaler à un carré une expression composée de quatre termes, pourvu qu'elle comprenne un terme, soit indépendant de x, soit en x\ lequel soit carré.