LETTRE XIV

Vico.HTL Brouncker a John Wat.lls.

CLiRlSSIillIi l'ROFESSEUR,

Apres avoir reçu la lettre de M. Fermât, que je vous ai récemment adressée, et qui limite aux seuls entiers le problème auparavant proposé, j'y ai quelque peu réfléchi et je trouve que les carrés en nombre infini qu'il demande (ceux dont le produit par un nombre donné non carré, étant augmenté de l'unité, fait un carré) tombent dans une série comme suit :

Savoir

axQ:2X 5

do mémo

8xQ:ix 3

X5i59 ao4

x-H^-nS

3xQ:ix 3

12 xQ:2x i3

27xQ:5x5i

.x3,|lx....

48xQ:.xi3

75xQ:3x5i

5xQ:4x.7

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7, X '7,jj X 173-^

fixQrax 9 34 X Q : I X 9 96 X Q : 6 X 97

Dans ces séries, le numérateur de chaque fraction est égal à son dénominateur diminué du dénominateur immédiatement précédent, et le dénominateur est égal au numérateur du terme précédent réduit en fraction impropre.

Si l'on connaît la série correspondant à un nombre quelconque non carré, on peut en déduire la série correspondant au multiple de ce non-carré par un carré quelconque; il suffit de diviser la série trouvée par la racine du carré multiplicateur.

Quant aux deux premiers termes do chaque série, il faut les trouver grâce à notre règle générale -J-; j'entends que, toutes les fois que dest une partie aliquote de l^q, ou d partie aliquote de 2r, on a. un carré entier satisfaisant à la question. Autrement, si l'on substitue -^ à ç ou bien - à r et que l'on aie par suite rf=i(/ — n|"— — «, c'est toutes les fois que ^ -- /* ou d est une partie aliquote du nombre -;- ou 2/-, ou encore, en multipliant de part et d'autre par e-, toutes les fois que [ à- — ne- \ est une partie aliquote de 2«e,

La question est donc ramenée à trouver un carré dont le produit par le nombre donné non-carré diflère d'un certain autre carré d'une partie aliquote du double produit des racines; ce qu'on pourra chercher par une induction convenablement établie.

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Voilà ce qui, sur cette question, se présente pour le moment h l'esprit de,

Clarisaime professeur.

Votre très fidèle et très respectueux ami,

Bboukcker.

1°'' novembre