II. On demande aussi (p. 3i r, lignes 26 à 27 ) — cube

Ainsi on demande un nombre qui ait des parties aliquotes; mais un nombre est une pluralité d'unités, et l'unité elle-même n'est pas un nombre; elle ne résout donc pas la question, où l'on demande un nombre, non pas quelconque, maïs qui ait des parties aliquotes qui puissent lui être ajoutées et qui soit de même nature que le nombre 3/j3, dont les parties sont énumérées. Mais quelles sont les parties de l'unité? Il est clair que si elle n'on a pas, ainsi que l'avoue Wallis luimême, elle n'est aucunement de la même nature que le nombre 3^3, cube ayant des parties aliquotes, qui, ajoutées à ce nombre, en donnent un autre carré.

Si d'ailleurs on veut, pour les parties des nombres, aller jusqu'aux . fractions, l'unité, comme aussi bien tout nombre quelconque, a une infinité de parties (si l'on prend les fractions comme des parties) que dès lors on ne peut additionner. On est donc si loin de la question que je suis stupéfait et honteux de voir un pareil savant, non seulement accepter cette réponse comme une solution, mais encore la louer et l'approuver; bien plus, oser affirmer que cette prétendue solution répond très exactement aux questions.

Venons maintenant à l'autre solution du très noble mylord Brouncker, par des nombres fractionnaires, et examinons si elle peut être admise.

J'ai dit plus haut que si l'on reçoit les fractions comme parties, on peut à tout nombre, entier ou fractionnaire, assigner une infinité de parties.

On ne peut donc faire aucune addition de ces parties. Si, par «xemple, on prend pour le cube -^> pourquoi, à côté des parties énumérées, ^> ^f g?j ne pas compter tout aussi bien ^. -^î gi etc., ^> -—, Zi etc., ou même — jt? Car il n'est nullement besoin, pour

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COMMERCIUM DE WALLIS. 50!f

avoir des parties, de conserver toujours le même dénominateur. En

ment, pour le même nombre -^7-' d'autres = -' 7^' 373 ^^^' ajoutées aussi avec ce nombre, ne donneront pas un carré.

Mais quand il n'y aurait pas pour -^ d'autres parties à considérer légitimement que celles qui ont été données et qui gardent le même dénominateur, qui ne voit qu'il n'y a là que ce même nombre 343 donné par M. Fermât, sauf un tout petit changement, et que la solution est absolument dérivée de la sienne? Si, étant donné le triangle rectangle 3. 4-5, on en cbercbait un autre pareil, sutïïrait-il, comme solution légitime et digne d'un homme de science, de fournir son multiple 6.8. loî Pourquoi aussi ne pas, de même, donner avec des fractions un nombre carré qui, ajouté à ses parties, fit un cube? II n'y a pas évidemment d'autre motif, si ce n'est que M. Fermât n'a pas, pour le carré, donné d'exemple comme pour le cube. Mais maintenant que, dans l'opuscule écrit en latin et qui, très noble Seigneur, vous est dédié, se trouve un carré satisfaisant à la question, il sera facile, par le même moyen, en divisant ce carré par des carré-cubes, d'en fournir autant qu'on voudra.

Je ne suis pas plus satisfait du motif allégué pour ne pas fournir plusieurs cubes : parce que Fermât, dit-on, n'en demande pas plusieurs. Quant à regarder ce problème comme ne valant pas la peine de recherches ultérieures, cette dernière excuse pourrait être admise, si l'on n'avait pas consacré ses veilles à la question avant de feindre qu'on la néglige. Il y a dans cette ville de très éminents mathématiciens, qui, quoique nommément provoqués par M. Fermât à la solution de ces problèmes, ont préféré se taire plutôt que de faire quelque réponse déplacée (seul Frenicle les a abordés et en a obtenu la solution ; chacun peut se glorifier de ce qui lui est particulièrement donné ; il a cela, d'autres ont autre chose; il faut reconnaître qu'on peut dire franchement : Nous ne pouvons pas, tous, faire toutes choses); mais ce silence n'a cause aucun préjudice à leur réputation. Mais quand Wallis

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présente à plusieurs reprises l'unité comme étant le cube cherché, el qu'il néglige d'en rechercher d'autres, parce que Fermai n'en demande pas plusieurs, il est inexcusable, puisqu'on donnant l'unité, il ne donne en fait aucun cube. Il est d'ailleurs aisé de déprécier ce à quoi on ne peut atteindre; mais il ne convient guère à un professeur de Mathématiques de demandera quoi peuvent être utiles ces problèmes; on pourrait tout au plus nous pardonner ce langage à nous, qui ne faisons pas profession de ces sciences, mais nous y exerçons pour notre seul plaisir.

On aurait aussi bon droit de demander à Wallis à quoi bon, et pour quel profit, la peine qu'il a prise si longtemps à la recherche malheureuse de la quadrature du cercle, ou même à la composition de son Arithmétique des infinis; rien de tout cela ne peut servir à aucun usage mécanique ; mais à quoi bon presque toute la Géométrie et l'Arithmétique, si l'on excepte quelques faibles parties, d'ailleurs les plus vulgaires, et que méprisent les savants, tandis qu'elles servent aux calculs des géodèles, des arpenteurs, des marchands, ou des praticiens des deux architectures, et autres pareils? Car tout le reste, plus secret el plus précieux, ne regarde que la subtilité et la perfection de la Science ; mais c'est le propre de l'intellect humain que de rechercher la vérité, il n'y a pas d'autre motif qui ait engagé tant d'hommes cmineuts ii s'adonner à l'étude, et l'on ne peut traiter d'inutile, en Science, l'acquisition d'aucune vérité.

Allant plus loin, je vois qu'il propose un problème assez élégant; il demande, en effet, les nombres carrés qui ajoutés, chacun à la somme de ses parties aliquotes, font le même nombre ; comme sont i6 et i5, dont chacun, ajouté à la somme de ses parties, fait 3t. Mais il semble avoir proposé là, à peu prfes au hasard, la première question qui lui venait h l'esprit, comme s'il avait cru que Fermât eût procédé de la sorte en posant ses problèmes ; je demande donc à Wallis s'il a de tels carrés, ou du moins s'il sait d'une façon certaine et démonstrative qu'il y a ou qu'il n'y a pas, dans toute la multitude des nombres, d'autres tels carrés premiers entre eux que i6 et ^5. Après cela, il aura

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une, réponse ; car il ne doit pas ignorer si ce qu'il propose est impossible ou non, et un mathématicien ne propose pas h la légère et sans mûr examen ce qui lui passe tout d'abord à l'esprit, à moins qu'il ne le fasse, pour son instruction, sur des questions qu'il aurait vainement essayé do résoudre.

Au reste, si, dans cette première partie, Wallis n'a guère réussi, il n'a guère été plus heureux dans le reste; il l'a même été encore moins, alors qu'il donne comme solutions différentes des nombres multiples, et que n'ayant rien fait que multiplier par 2, 3 ou un autre nombre, il se vante d'avoir montré Ih-dessus une suffisante preuve de ses forces. II me serait très facile de le faire ressortir avec nombre d'autres absurdités; mais je n'ai pas maintenant le loisir do tout discuter en particulier; cependant votre bonté et vos faveurs me font tellement votre esclave que je ne puis refuser aucun travail pour accomplir vos ordres ou me prêter à vos désirs; vous me trouverez donc toujours tout prêta vous obéir. Je vous salue.