LETTRE XXIII
John Wallis a Riînelm Dic.bï.
Très illustre Seigneur, votre lettre datée de Paris, 6 février style nouveau, m'est arrivée le 19 février vieux style, au moment où j'allais me coucher, envoyée par le très honoré vicomte Brouncker, qui l'avait reçue la veille, en même temps que la lettre y incluse de M. Frenicle h vous : dès le lendemain, je préparais ma réponse, mais j'ai différé de l'envoyer jusqu'à présent, parce que vous me faisiez espérer, pour la semaine suivante, l'envoi d'une autre lettre que nous n'avons pas encore reçue; je croyais donc pouvoir répondre à tout ensemble, et cela d'autant plus que, quand vous avez écrit votre dernière, vous n'aviez pas encore reçu, comme il semble bien, la mienne datée du 26 décembre, ni même celle que vous a envoyée un peu auparavant le vicomte Brouncker. Je ne puis faire autrement que de vous remercier
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très humblement de la très grande faveur dont vous continuez h m'honorer, et me féliciter, en même temps que notre Oxford, de l'espoir que vous nous donnez de dissiper bientôt par votre présence la tristesse que nous cause la mort de votre si savant ami Longbain ; perte presque irréparable, survenue le 9 février à la suite d'une pleurésie. Voilà, en bien peu de temps, trois hommes incomparables, Armagh. Selden, Longbain, disparus au grand dommage de la Science et aux amers regrets de l'Angleterre.
Quant à la lettre du très noble Frenicle, que renfermait la vôtre, je suis embarrassé pour répondre. Car s'il s'agit d'injures, j'aime mieux me taire que de donner la réplique.
Que le nombre i n'ait pas de parties aliquotes, cela n'est pas nouveau et je ne l'ignorais pas. Mais que i ne soit pas cube, qu'il ne soit pas nombre, j'aurais bien pu croire que quelque autre l'eût dit, mais non pas Frenicle, qui l'a déjà donné et comme nombre et comme cube, (^ar, si la renommée no m'a pas trompé, il a fourni, pour un autre problème de Fermât, I et 1728 comme deux nombres cubes dont la somme est égale à celle des deux cubes looo et 729. Il l'appelle encore nombre dans le livre qu'il a publié et que j'ai la reconnaissance de devoir à votre obligeance. Page 6 : « Soient posés, dit-il, les deux nombres i fii 7 11 à un endroit où il parle de cette même question. Il l'appelle carré, page 17, en reproduisant les paroles de Fermât, dans l'exposition de la seconde question : « Le carré i , multiplié par 3, après addition de l'unité, /ail 4- » Et Frenicle, page 21 à la fin, confirme cette expression par ses propres termes, qui énoncent la même chose. De même, page 23, « produit de 5 par le carré 1 » ; page 25, ligne 19 ; « ie nombre 7 multiplié par le carré 1 », et, ligne 23 : « Le plus petit nombre sera donc carré, à savoir q, et le plus grand, 11, multiplié par le carré i . » De même, en d'autres nombreux endroits. Gomment donc, s'il avoue qu'il est carré, niera-t-il qu'il soit cube? ou bien si, pour les clarissimes MM. Fermât et Frenicle, il est aussi bien nombre que carré et cube, je ne vois pas pourquoi il ne le serait pas pour nous.
Quand nous ne serions, moi et le très honoré Vicomte, qne des arith-
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méticiens du vulgaire ou même des apprentis les plus novices, nous ne pouvons bien comprendre ce qui peut étonner, faire rougir ou rendre stupéfait et honteux votre clarissiroe Correspondant. Le problème proposé était bien de trouver un cube te! qu'ajouté à la somme de toutes ses parties aliquotes il fit un carré. Or je dis que i est cube, qu'au moins Frenicledoit le tenir pour tel, et qu'ajouté à la somme de toutes ses parties aliquotes, qui sont nulles, il vient toujours i , qui est aussi carré. On demande aussi un carré tel qu'ajouté à la somme de toutes ses parties aliquotes, il fasse un cube. Or je dis que i est encore carré (du moins il doit être carré pour Fermât et pour Frenicle, puisqu'ils l'ont assez souvent affirmé comme tel), et qu'ajouté à la somme de ses parties aliquotes, qui sont nulles, il vient toujours i, qui est cube. Pourquoi donc craindrîons-nous d'aOirmer non pas deux, trois fois, mais quatre, cinq, s'il le faut, qu'un seul et même nombre i satisfait aux deux questions?
J'ignore absolument ce qui peut émouvoir la bile de votre clarissime Correspondant, qui n'a pas été mis en cause, je ne dis pas provoqué, et avec qui, quand j'ai écrit la lettre qu'il attaque, je n'avais jamais eu aucune affaire; dont je n'avais jamais vu le Livre, dont je n'avais rien entendu dire; que je suis donc bien loin d'avoir blessé en quoi que ce soit. Ce n'est pas parce que, soit lui, soit Fermât, ce dont je ne puis douter, attendaient quelque autre nombre, ou parce que lui-même (ce que j'ignorais alors) en avait donné d'autres, qu'ils doivent être fâchés de voir qu'on leur fournit ce nombre inattendu, que Fermât, proposant le problème, n'avait pas prévu, et contre lequel il ne s'était donc pas précautionné, ou que Frenicle, dans sa solution, n'a pas aperçu et n'a donc pas produit. C'est de même que Fermât n'a sans doute pas prévu et que Frenicle n'a pas découvert que la troisième question pouvait être résolue par des fractions; que, par suite, il demandait simplement des carrés, alors qu'il ne voulait que des carrés entiers.
Pour ce que dit votre clarissime Correspondant des parties: aliquotes d'un nombre fractionnaire, sur ce que nous avions seulement avancé hypothétiquement (à savoir si Fermât y admettaitaussi des parties ali-
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ai'i ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.
quotes), je ne veux pas déterminer s'il faut l'attribuer à la chaleur de sa passion ou plutôt à sa hâte; mais j'ai bien peine à croire qu'il ait réfléchi posément, lorsque, comme parties aliquotes du nombre -q,- ' il demande qu'on, compte ^, ~, |' etc., ou encore ^-^^ ^> |, etc., nonmoinsque^. ^, ||-
Que ces parties ne doivent pas être regardées comme aliquotes (pas même pour la quantité continue, et non seulement pour la discontinue), cela est certain tant par Euclide, VU, déf. 3 et 4, que par V, déf. 1, oii, pour la nature de la partie (altquote), il est spécifié qu'elle doit mesurer le tout, c'est-à-dire que, prise un certain nombre de fois, elle doit lui devenir égale ; or cela n*a pas lieu pour celles qu'il propose. Par exemple, ie nombre ^> pris G fois, est inférieur au nombre -^; mais, pris 7 fois, il lui est supérieur. 11 n'en est donc pas une partie aliquote, mais bien aliquante, ou, autrement, il en est plusieurs parties, suivant le langage d'EucIide ; de même pour les autres. Quant A -^! qu'il prétend de même être une partie aliquote du même nombre
-^i on peut, à vrai dire, soutenir cela sous un meilleur prétexte, puisqu'il faut au moins l'admettre pour la quantité continue, au même titre que - sera tenu pour partie aliquote du nombre i, ou - pour
partie aliquote du nombre 3. Mais pour la quantité discontinue, on ne doit pas l'admettre. De même, en effet, que celui qui compte comme
unités 343 (ou -~] suppose séparées en acte ces unités, mais non pas les moitiés ou autres parties des unités, de même pour -g^-i celui qui compte les 64"™ suppose ces 64'"** (en tant que comptés) séparés en acte et dénombrables ; mais il ne fait pas cette supposition pour les 128'"*' qu'on peut bien dire exister en puissance et comme mesurables (de même que les moitiés dans les unités), mais non pas distingués en acte.
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Si j'ai négligé de pousser plus loin la solution du problèm« proposé, j'en ai donné plusieurs fois les motifs. Si votre clarissime Correspondant n'y ajoute point de foi, on ne peut guère croire qu'il le fasse alors que je les répéterais encore h nouveau.
Mais, puisqu'il insiste d'une façon si importune, en allant prcï^que jusqu'aux injures, pour le cas où je ne le ferais point, je veux bien (pour la première fois) lui donner satisfaction en abordant sérieusement cette question du cube dans le sens où il la prend. Il verra ainsi que ses mystères des parties aliquotes ne nous sont pas inaccessibles et il n'aura pas à répéter son : « Il est facile de déprécier ce que l'on ne peut atteindre. » Nous disons donc :
i. Il est clair qu'une puissance quelconque d'un nombre premier, ajoutée à la somme de ses parties aliquotes, est la somme d'une progression géométrique (soit i . R.R". R^ etc.), dont le premier tenne (A) est I, tandis que la racine ou raison commune de la progression (R) est ce nombre premier, et que le nombre des termes (T) est supérieur d'une unité à l'exposant de la puissance en question.
2. On sait également qu'en généra! {voir notre Mathesis universalis, prop. 08, Chap. 33) la somme d'une progression géométrique est
3, De même, puisqu'il s'agit d'une puissance cubique, et dès lors 3™^, 6""*, 9"*^ ou autre, dont l'exposant est divisible par 3, il est clair que le nombre T des termes, en tant que supérieur d'une unité à l'exposant de la puissance proposée, sera l\, 7, 10 ou quelque autre nombre supérieur d'une unité à un multiple de 3.
4. Si donc nous divisons la puissance 4'"*, 7™^, 10"'^, etc. d'un nombre premier quelconque, diminuée d'une unité (à savoir R*^ — 1), par l'excès sur l'unité du même nombre premier (soit R— i), nous
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aurons la somme d'une certaine puissance cubique (3™", 6™'', g"", etc.) de ce nombre, et des parties aliquotes de cette puissance.
5. Traitant d'après cette règle tous les nombres premiers plus petits que loo, je trouve que, pour le nombre 2, le cube ajouté à ses parties aliquotes est i5 = 3 x 5; que son cuboeube (ou puissance 6™*), augmenté de même, est 127 nombre premier; que la 9™^ puissance, augmentée de même, est io23 = 3 x 1 1 X 3i .
De même pour les autres, suivant le Tableau ci-dessous, où les sommes avec les parties aliquotes sont décomposées en facteui-s premiers.
Ciibo ajoute à la somme Je ses parties aliquolos
aoin
e. Giibp augmenté.
Racine. Culie augmente.
2X3>;5x7Xi7
2XaX2x3x5xi74i
2X2x3ixi86i
