FA' - FE' A^-E^ A-E~ " A-E

Mais, à cause de l'angle de 120", la somme des arcs A -h E fait le tiers du cercle ; donc 3 A -1- 3E fera le cercle entier, donc 3A et 3E aurout la même sous-tendante, et, par suite.

Donc 3R-A - A» = 3R^E - E^ ou 3R^\ - 3R^E = A' - E', et

Doue le triple du tronc de cône sera 3R^F, et le tronc de cône R'F.

Il me reste à vous demander pardon de ma prolixe importunité et à

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COMMERCIUM DE WAl.HS. 527

vous supplier, si vous le voulez bien, de ne pas dédaigner de conlinuer votre amitié à celui que vous vous êtes gagné, et qui est,

Très illustre Seigneur,

Votre très humble et très dévoué serviteur,

JoHM Wallis.

Oxford, 4/14 mars 1657/8.

Pour l'allusion de votre très noble Correspondant à ma recherche malheureuse de la quadrature du cercle, je ne saisis pas bien ce qu'il prétend. Voici la quadrature que j'ai donnée :

Le produit des carrés des nombres impairs, 3, 5, 7, 9, etc. à l'infiniest au produit des mêmes carrés diminués chacun d'une unité, comme le carré du diamètre est à l'aire du cercle.

En quelque point d'ailleurs que l'on veuille arrêter cette multiplication de carrés, on tombera entre les limites suivantes : Si le produit des carrés est multiplié par la racine carrée de la somme de l'unité et de la partie aliquote de celle-ci, qui a pour dénominateur la racine du dernier carré, on a une quantité trop forte; si, au contraire, le dénominateur est la même racine augmentée d'une unité, on a une quantité trop faible. Ainsi

est plus grand que le rapport du carré au cercle,

est, au contraire, plus petit.

J'ajoute que ce rapport est également celui du rectangle des axes conjugués ou d'un parallélogramme quelconque circonscrit à l'aire de l'ellipse.

Si votre très noble Correspondant regarde cette quadrature comme fausse, qu'il la réfute, s'il en est capable. Qu'il montre, veux-je dire, que le rapport du cercle au carré du diamètre est plus grand ou plus petit que ce que j'ai assigné. Mais s'il n'a voulu faire qu'une insinuation moins grave, parce que cette quadrature ne lui plaît pas ou qu'il

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la juge indigne de son estime ; je veux lui rappeler ses paroles : « Il est facile de déprécier ce qu'il n'est pas possible d'atteindre », ou plutôt celles-ci : « Si vous savez quelque chose de mieux, donnoz-nous-le de bon cœur. »