LETTRE XXIX

Wallis a Vicomte Brouscker.

II y a quatre jours, très illustre Seigneur, que je vous ai envoyé une réponse à la seconde lettre de M. Frenicle ; j'ai écrit cette réponse à la hâte après dîner le jour même où j'ai reçu la lettre, le courrier devant partir dès le lendemain matin; je n'ai donc eu le temps de vous rien dire à ce sujet. A quel point M. Frenicle épluche, rabaisse, raille et méprise tout ce qui vient de nous, vous n'avez pas besoin qu'on vous le fasse remarquer, et qu'il le fasse d'ailleurs sans motif, vous le savez très bien. Faut-il l'attribuer au caractère de l'homme ou à celui de sa nation, je ne le rechercherai pas; je pense même qu'il est préférable de ne pas faire attention à ce qui regarde ses procédés; car aux yeux des hommes sérieux, au moins en Mathématiques, tout cela n'a aucune signification, et tout cela s'évanouira, de son propre aveu, dès qu'il aura vu nos lettres précédentes, si du moins vous avez transmis celle que je vous ai adressée le 20 janvier, et qui développe amplement l'appendice de celle du 17 décembre.

Vous vous souvenez, je pense, de la chaleur qu'il a mise, dans sa première lettre, à repousser notre réponse aux deux premières questions de Fermât; il soutenait qu'en indiquant Vunàé, je ne donnais ni un carré ni un cube. Vous pouvez donc voir combien il est peu d'accord avec lui-même, quand dans sa seconde lettre, comme s'il avait oublié sa cavillation, il donne à son tour l'unité comme un cube, puis comme un carré, une et deux fois.

Vous n'ignorez pas non plus avec quelle confiance il se persuade

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que nous n'avons pu, que nous ne pouvons encore résoudre à sonsens ni ces deux questions de Fermât, ni même la troisième; comment il nous insulte en vérité, triomphant de nous et s'en jouant comme d'en- Cants.

Mais vous savez aussi combien vaine est cette confiance, puisque nous avons satisfait, même à son sens, à toutes ces questions. Pour ma part, j'attendrai en silence qu'il sonne sa retraite, quand il aura reconnu qu'il a sonné la marche triomphale avant la victoire. Cependant vous pourrez ajouter à ma dernière lettre, si vous ne l'avez pas encore expédiée, ces deux nombres qu'il demande, dans le cas où votre lettre antérieure se serait perdue par quelque hasard :

3i3 X 1 819 38o i58 564 160' + 1 — Sa 188 1 30 i^^'iV^^' ,

Mais vous pouvez voir que les soupçons du clarissime savant ne se rapportent pas seulement aux questions de Fermât, mais aussi aux nôtres. Il désire absolument savoir ce que j'ose affirmer sur le problème que j'ai proposé en passant, des deux carrés qui, étant ajoutés chacun avec ses parties aliquotes, font la même somme; il nous croit peut-être assez peu dégrossis pour ne pas comprendre nos propres questions. 11 ne fait pas seulement cette réclamation dans sa première lettre, mais il y revient par l'intermédiaire du très noble Digby. Vous voyez ce que j'ai dit là-dessuS, quoique je pense qu'il est à la charge de celui qui résout le problème, de déterminer si la question est susceptible ou non de l'être; mais comme il m'interrogeait là-dessus, j'ai répondu qu'elle est soluble; j'ajouterai même, s'il le veut, qu'elle est soluhle à son sens. De plus j'ai montré que non seulement 16 et 25, nombres que j'avais donnés, satisfont à la question, mais qu'il en est de même des équimultipies de ces nombres par un carré quelconque premier avec chacun d'eux, comme, par exemple, 16 x 9 et 25 x 9, ou encore 16 x 49 et 25 x 49. '^'-c.

Il répondra peut-être que cette solution n'est pas légitime et ne

convient pas à un homme de scienc(;. Mais pourquoi cela? Parce qu'elle est facile et qu'elle revient simplement à multiplier par 2, 3 ou quelqu'autre nombre, etc. Mais un problème n'en est pas moins résolu, pour être facilement résolu. Il dit qu'étant donné le triangle rectangle 3, 4. 5 (c'est-à-dire un triangle dont les côtés soient respectivement proportionels aux nombres 3, 4. 5), si l'on en demandait un autre pareil (entendant dont les côtés fussent exprimables en nombres rationels), il ne suffirait pas de fournir le multiple 6, 8, ro : peut-être bien, car alors ce ne serait pas un triangle d'espèce différente, mais bien identique, puisque si les côtés sont respectivement proportionels aux nombres 3, 4. S. ils le sont également à 6, 8, to, etc. : cependant si, étant donnés les trois nombres 3, 4, 5, dans lesquels le carré de l'un est égal à la somme des deux autres, on en demandait d'autres pareils, on répondrait très bien et tout a fait en mathématicien, que les doubles, les triples, les quadruples et les autres équimultiplcs quelconques de ces nombres ont la même propriété; car on ne peut nier que ce ne soient là à'autres nombres. Et celui qui ne voudrait pas de cette réponse devrait l'exclure par une condition expresse, ou autrement on le regarderait comme ayant proposé sa question d'une façon imparfaite et peu exactement; car les problèmes mathématiques sont de droit strict, comme le sait bien le clarissime savant. Il est certain qu'au contraire celui qui saisit la possibilité d'une réponse aisée ne doit pas être accusé de l'avoir fait; il faudrait plutôt le traiter do peu clairvoyant, s'il ne le faisait pas. Et en vérité, si le elarissimo savant ne reconnaît pas la vérité de ce que je dis, je ne puis que m'étonner de sa subtilité. Quant à moi, s'il avait ainsi répondu à mon problème, comme je n'avais pas exclu cette réponse, je serais si loin de ne pas la considérer comme satisfaisante, qu'au contraire j'attribuerais à une simple inadvertance qu'il ne la fit pas. C'est absolument comme si, à qui demanderait un nombre divisible par 2 et par 3, il donnait 126, rSa, en négligeants et 12.

Mais si vous me demandiez vous-même s'il n'y a pas encore d'autres carrés, on dehors de 16, aS et leurs équimultlples, qui jouissent de la

même propriété, je vous répondrais ouvertement, très illustre Seigneur, et même si vous jugez bon de ne pas le tenir plus longtemps dans l'incertitude, je ne refuse nullement que vous informiez Frenicle qu'il y en a encore d'autres et en très grand nombre, en sorte que je ne suis nullement tenu de les donner. Mais, pour ne pas paraître dire cela sans preuve, j'ajoute que les carrés des nombres 8 x 3 x 37 et 2 X 19 X 29, ajoutés chacun à ses parties aliquotes, font la même somme; ce qui sera de même également vrai pour leurs multiples par un carré quelconque premier avec chacun d'eus.

Racines des eari'és. Som.no ilos oarrûs et île leurs parliûs.

8x 3x37, i27Xi3x 3 x 7 x 67,

3 X 4x II x 19X 37, i3 x 3i X 7 X 19 X 3 x 127 x 3 x 7 x 67, 7 X 8 x 29 X 67, 3 X 19 X 137 X i3 X 67 X 3x7x7x31.

Si Frenicle se plaint encore que ces carrés ne soient pas deux à deux premiers entre eux, je ne vois pas ce que cela peut faire pour la question dont il s'agit, en tant qu'ils ne sont pas équimultiples de 16 et 25, et ce sont, je crois, les seuls qu'il prétendait exclure; mais en voici deux autres, premiers entre eux :

Deux autres encore, premiers de même entre eux :

(3x5x11X19x37)% i3 x 3i x 7 x 19 x 3x127x3x7x67, (7x8x29x67)% 3xi9Xia7Xi3x67X 3x7X7x3i.

Si, en dehors de ceux-là et de leurs multiples (comme je l'ai dit), on en désire encore d'autres, on peut les chercher à peu près par la même méthode (^mutatis mutandù) que celle que j'ai employée pour rechercher un cube qui, ajouté à ses parties aliquotes, fit un carré. Si

jamais ceci tombe sous les yeux de Frenicle, il donnera, je crois, son

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assentiment et à l'avenir, ses jugements seront plus réservés; il ni^ pensera plus que ce qui lui appartient soit tellement à lui que d'autres ne puissent y parvenir; c'est ainsi que, si je no me trompe, Fermât a déjà reconnu ce qui en est.

Quant à ce qui regarde ces deux très nobles savants, Format et Frenicle, et les relations que nous avons jusqu'ici eues avec eux, relations dans lesquelles leur première attente a sans doute été trompée, ils me paraissent, autant que j'en puis juger par leurs lettres, d'un caractère opposé. Pardonnez-moi, si je vous exprime librement ma pensée, confiant dans votre indulgence accoutumée. Je ci'ois Frenicle plus adonné à l'Arithmétique, recherchant les questions particulières (qui ne se ramènent que très difficilement ou même ne peuvent se ramener à une équation universelle, embrassant fous les différents cas), et spécialement celles qui concernent les parties aliquotes ; aussi a-t-il laissé sans y toucher tout ce que nous avons fait en Géométrie. Fermât au contraire n'est pas moins habitué aux questions géométriques; il recherche des règles générales ou des théorèmes universels; et peut-être reconnaîtrait-il plus volontiers le mérite d'un adversaire. Peut-être l'un a davantage la gravité des Espagnols, dont il est voisin, l'autre la vivacité française. Je reconnais volontiers la pénétration de leur esprit et leur haute valeur; cependant (quoi qu'on puisse penser de moi), je ne crois pas qu'ils aient à dédaigner notre nation, si ce n'est en ce que nous serions moins fanfarons.

Vous voyez, très insigne Seigneur, avec quelle liberté j'en use avec vous, grâce à votre bonté qui me le permet. Mais il ne faut pas que cette liberté semble dégénérer en une trop grande licence, et je cesserai de vous importuner plus longtemps, quand j'aurai fait profession d'être.

Très illustre Seigneur,

Votre très humble, très obéissant et très respectueux

Joiix Wallis.

Oxford, J9/29 mars ifi.'ijS.

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