LETTRE XXVIII

John Wallib \ Keselm Bigbï.

Très illustre Seigneur, j'avais déjà répondu à la Lettre en date du 6 février, dont vous m'avez honoré, et en même temps à celle de Frenicle qui s'y trouvait renfermée, avant de recevoir les suivantes du 20/10 février, qui m'arrivent à cette heure- Je reconnais en même temps et à mon grand regret que, lorsque vous avez envoyé ces dernières, vous n'aviez pas encore reçu celle que je vous avais adressée en date du 26 décembre. Si M. Frenicle l'avait vue, il n'aurait certainement pas écrit, sinon sa première lettre, au moins sa dernière, ou en tout cas la plus grande partie de celle-ci.

En ce qui regarde le problème de M. Fermât, sur les carrés en nombre infini, dont le produit par un non-carré est inférieur d'une unité à un carré, et quant au théorème préliminaire, nous avons et démontré le théorème et résolu le problème; tous les deux étaient proposés, du moins à nous; je ne sais pas s'ils l'ont été de même à Frenicle, mais il n'a pas à me reprocher d'avoir traité ce théorème hors de propos. En tout cas, nous avons résolu le tout, non seulement en fractions, mais aussi en entîers. Une fois, en effet, que Fermât a eu précisé sa question, en la bornant aux entiers, nous avons enseigné à séparer ceux-ci des nombres fractionnaires, et nous avons fait tout ce que réclame aujourd'hui Frenicle; ce qu'il ne niera plus, une fois qu'il aura vu cette lettre du 26 décembre. Nous n'avons pas donné

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seulement les règles, ce qui pourtant eût sufïî, mais nous en avons aussi montré l'application, non pas à la vérité sur les nombres 6i, 109, 127, qui avaient été, ce semble, proposés à Frenicle, mais bien sur d'autres qui ne sont en rien plus faciles, 109, 149. 433, que Fermât nous avait proposés. Lord vicomte Brouncker vient également d'appliquer ces règles au nombre 3i3, que Frenicle nous a propose comme insurmontable. On le fera avec autant de facilité pour i5r et pour tout autre. Frenicle ne doutera plus, quand il aura reçu la lettre ci-dessus mentionnée, que nous ne soyons parfaitement maîtres de toute difRculfé là-dessus.

Quand il avance que, pour fournir diverses combinaisons de cubes, par couples dont les sommes fussent égales, je me suis borné à multiplier ou à diviser par un même nombre quelques autres combinaisons de ce genre, il dit une chose qui est parfaitement vraie, mais il n'a pas à me la reprocher, puisque lui-même m'a précédé dans cette voie. Voici, en effet, les nombres qui m'étaient communiqués comme venant de lui.

Il est clair que les nombres des combinaisons 3 et 4 ne sont autre chose que des équimultiples de ceux des combinaisons i et 2. Si Frenicle n'ignore pas que la chose est facile, il ne voudra pas, je l'espère, prétendre que je ne pouvais le savoir. Si l'on connaît de fait une seule combinaison de ce genre, déduite de l'inspection de la Table des cubes, ou choisie parmi celles que Frenicle a indiquées, ou enfin obtenue de quelque autre manière, il est certain que l'on pourra immédiatement en fournir une. infinité. Que l'on ait, en effet, par exemple.

4io4^

gî-i- iS^—l'-h l6\

i8'-)-ao3— 2'-i-a43,

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COMMERCIUM DE WALLIS. S3i)

on aura aussi

quel que soit le cube e*, entier ou fractionnaire. De même, si un cube quelconque peut être partagé en deux autres, un cube donné arbitraire pourra l'être également; car si, par exemple,

on aura

J'ajoute qu'il en est de même pour la question que j'ai proposée. Ainsi, par exemple, i6 et 25, ajoutés chacun à ses parties aliquotes, donnent des sommes égales; il en sera dès lors de même de i&e^ et de 25e^ quel que soit e^, pourvu que, d'une part, e^ et i6, de l'autre, eet 20, soient des nombres premiers entre eux; chose que, j'en suis persuadé, M. Frenicle sait parfaitement.

Quant à la faute de calcul qu'il signale, je la reconnais; je l'avais déjà remarquée depuis longtemps et corrigée sur ma minute; si elle ne l'a pas été sur la lettre même, il n'y a là qu'un lapsus dû à la trop grande précipitation de ma plume, et n'imporjte qui peut te corriger d'après le contexte. S'il en trouve d'autres pareils, j'espère qu'il les excusera de même, à charge de revanche. Car il a commis une semblable erreur, si je ne me trompe, page 4 de son Inquisitio. Pour le second cube, il met 633 359 ^" ^'^^ ^^ 655359 pour le compte des parties aliquotes. Or là le lecteur n'est pas averti par le sens de la phrase, et l'erreur ne peut être remarquée que par quelqu'un qui sache calculer les parties aliquotes d'un grand nombre et reprenne l'opération dès le début.

Enfin, pour le problème de Fermât, du nombre cube qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes, fait un carré, je l'ai débrouillé dans ma dernière lettre en date du 4 mars ; votre très noble Correspondant n'a donc plus à insister sur ce sujet. Pour que d'ailleurs il ne me reproche pas encore de donner seulement les méthodes, et non des nombres qui, au moins, soient différents des siens, j'ai mis ci-dessous

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six cubes tels que, ajoutés chacun avec leurs parties aliquotes, ils

donnent des carrés :

Racines des cubas. Racines des cari-éE.

3x3x5xi3x 17x31x41x191 a"x3'x5'X7xi3xi7X39'x37

ax3x5x7Xi3xi7x3ix4'xi9i 2"x3'x5=x7Xi3x 17x29^x37

3'x5xiixi3xr7x3ixïlixi9i a'>x3"x5 X7Xiixi3xi7X29=x37x6i

3'x5x7xiixi3xr7x3ix',ixi9i 3"x3'x5'x7Xiixr3x i7X39'x37x6i

17x31x47x191 a"'x3'xiïxi3xr7X39x37

J'ajoute que le second et le quatrième de ces cubes satisfont à la question des deux cubes posée par Frenicle, au bas de la page 3 de son Inquisitio.

Ce que je pense des recherches de ce genre sur les nombres, je l'ai déjà dit, et je ne répète pas à quel point c'est malgré moi que je m'y laisse entraîner. C'est là, il est vrai, une excuse que je ne devais pas invoquer quand il s'agissait de satisfaire aux sollicitations pressantes de deux clarissimes savants, et, avant tout, d'exécuter vos oi'dres. Mais cependant, si je puis le dire sans les blesser, je ne vois pas ce qui pourrait mieux profiter réellement à la Science que l'exposé méthodique qu'ils pourraient faire au monde savant de ce qu'ils regardent comme leur appartenant en propre, plutôt que de proposer à d'autres, ainsi qu'ils l'ont fait, de trouver à nouveau ce qu'ils pensent avoir inventé; ils ne retireraient pas moins de gloire d'une façon que de l'autre. Je vous salue, très noble Seigneur, et je vous prie de continuer à accorder vos faveurs à

Votre très humble et très obéissant serviteur,

John Walijs.

Oxford, !5/25 mars 1607/8.

Sir, je vous demande la permission d'ajouter un mot. Nous avons pensé k publier toute cette Correspondance que nous venons d'avoir en France, si toutefois vous donnez votre approbation à cette idée et

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si vous la croyez bonne (l'avance prise sui" nous par M. Frenicle nous fait juger la chose nécessaire); toutefois, il peut convenir d'omettre dans vos lettres un ou deux passages, où vous établissez une comparaison entre ... et ..., et dont je ne sais pas si vous ne regretteriez pas la publication. Si vous voulez bien m'honorer de vos ordres, j'aurai soin de m'y conformer exactement.