LETTRE XXXI

rilEMCl.E A ReNEIJI Dl(i!iY,

Voici, comme vous me l'avez demandé, très honoré Chevalier, quelques solutions du problème du clarissime savant Wallis; il n'y a pas là toutes celles qui se sont présentées à moi, car elles sont si nombreuses que je ne serais pas paiTenu h les écrire. Pour plus de brièveté, j'avais jugé à propos de réduire le calcul à peu de nombres qui devaient me les fournir; mais de ce peu de nombres j'ai vu sortir tant de solutions si variées que j'ai été obligé d'y mettre une borne, car les premières en faisaient naître toujours de nouvelles, indéfiniment diversifiées; de la sorte, je n'ai pu, en aussi peu de temps, les ranger dans l'ordre que je m'étais proposé, ce que je ferai, avec l'aide de Dieu, au premier jour.

Voici quel était le problème : Trouver deux carrés, tels que chacun

Hosted by

d'eux, ajouté avec toutes ses parties alitjuotes, fasse une même somme. Comme exemple étaient donnés les carrés i6 et 23, dont chacun, ajouté à ses parties alîquotes, fait 3i, On en demande d'autres semblables.

Ainsi on ne demande qu'un eouple d'autres carres, ee qui ne présente évidemment aucune difficulté, si, pour ce problème, on admet les carrés multiples. OrWallis n'aurait pas, pour lui. le droit de les refuser, puisque pour un certain problème de M. Fermât, relatif h un nombre, somme de deux cubes, à décomposer en deux autres cubes (comme 1729, somme des deux cubes i et 1728, peut être décomposé en deux autres cubes 729 et 1000); puisque, dis-je, pour la solution de ce problème très facile, il s'est contente de fournir des multiples de nombres communiqués.

Voici donc une l'ègle qui permettra de résoudre facilement le problème de M. Wallis. Qu'on multiplie les carrés iG et iS par un autre carré quelconque impair et non divisible par 5; on aura deux nouveaux carrés satisfaisant à la question. Ainsi les carrés des nombres 12 et 1 5, 2^ et 35, 36 et 45, /j'i et 55, 52 et 65, etc.. forment des solutions. Qu'on ajoute, en effet, à ses parties aliquotcs chacun des carrés i44 6t 225, on a pour somme 4o3, Les carrés 7S4 ei 1225 font, de même, X767. Les carrés 1296 et 2025 feront, toujours chacun avec les parties aliquotes, la somme 3751; et ainsi des autres. Mais cette solution est indigne d'un mathématicien, et la question, entendue dans ce sens, est telle qu'elle n'aurait pas dû être proposée. Il faut donc croire que, dans son problème, M. Wallis a eu une autre intention, et qu'il s'attend à une autre solution, sans pouvoir consentira celle-ci.

Supposons donc le problème proposé comme suit : Trouver deux carrés premiers entre eux, tels que chacun d'eux, ajouté avec ses parties aliquotes, fasse une même somme.

Voici maintenant les côtés de carrés satisfaisant à la question. Si, en effet, on ajoute à ses parties le carré du nombre 326, on a pour somme 187 i3t; de même, le carré du nombre 407, ajouté ii ses

Hosted by

parties, donne la même somme 187 [3i. Après les six premiersi coupies, cette somme est donnée par ses facteurs.

[N. B. — Il a paru désirable, pour la commodité du lecteur, de résoudre en leurs facteurs les nombres composés donnés par Frenicle, et, en même temps, de faire disparaître quelques fautes; on pourra ainsi, plus aisément, se rendre compte de tout le procédé et en examiner l'application .]

(■= ^. 7. ig. 37. 61. 73. 3(17)

i5io iii4o8

= 2-5-i5i) ,1980801 (=■>.'. 3. 11. su) 7' i3«

[809 (=3.7i.3i.ioij3) i83 169 3, [9, 3i, 37, ^O: 73, '*>9

14001 (^- 3. 7. 13.37. fil. 499) 507419 9, 49, ()7, 73, 36i, 3fi7

= 3.13.359) l--= ii.ifi3.:i83)

10686 7'i4 tJ2

= s-3.i3.i37) 3i48ri8a7i (= 2^3- ii -i3.2ii) 3' 13'

(7351 (-3. 75. [3. 37. 61. 73) n939.l1 7,9,19, 31,37, 6[.i'J7,iti9

ôtéf. des caiTds.

Som

= ii.37)

\^sui\'aient ici ij autres paires de carrés.^

On peut trouver davantage de couples de carrés, mais il vaut mieux passer à autre chose; car on peut obtenir la même somme en ajoutant à leurs parties, non seulement des carrés pris deux à deux, mais aussi des carrés pris'trois à trois, quatre à quatre, cinq à cinq, sixàsix, etc. et d'ailleurs premiers entre- eux. J'appelle premiers entre eux des carrés pris trois à trois, quatre h quatre, etc., quand aucun nombre

Hosted by

lie peut les diviser tous. Ainsi les carrés 9, 16, 23j, 324 seront dits premiers entre eux, parce qu'il n'y a aucune mesure commune" aux quatre, quoiqu'il y en ait trois qui aient 9 comme commune mesure.

Jssemhlages de tmù ciirrés.

Côtés dos oan'és. Sommo,

245828 (=2'. II. 37.15]) I33i5i733i33 (=3^7^19.31.67.1093) 294867 (=33.67.163) 307 î85 (= 5.11.37.151)

Côtés des carrés. Sommi!.

589734 (— -2. 3>. 67.163) 34 486 3o4 061 447 [nombre iiiexafit, auquel

G14 J70 (=2.5.11.37.151) il faut substituer

\suivaient 26 autres groupes de 3 carrés.]

Il me reste encore bien d'autres assemblages de trois carrés satisfaisant à la question et que j'ai bien trouvés, mais que le dél'aut de temps ne m'a pas permis de ranger de façon, très noble Seigneur, à vous les présenter; de même, pour les assemblages de quatre, cinq, six, etc., que vous recevrez, quand ils seront prêts, avec ceux de trois précités; cependant, pour vous donner au moins un ou deux exemples de co que je vous promets, je mettrai ceux-ci en attendant les autres.

Assemblages de quatre carrés.

Côtés des cari'és.

(2^.7,107 =) 29960 Somme : 20421 219 = 3.7.13. 19.31 . 1-27 (22.3.11,19=) 23o8 {suivaient trois autres assemblages peu-

(3 .5.11.19=) 3'35 quatre.'\

Assemblages par cinq.

i39 9i4 38i7,o (=2. 3. 5. 11. 13. 19. 83. [37.150 165476277890 (=2. S. 7.11.47. 107.151. 283) 167186334770 (=2. 5. 7. 13.83. 107. 137. i5i) 198242772631 (= 3'. 7. II, 47. 67. 107. 283) 200291443443 (=3^7-l3■67■83.I07.I37) Somme 13.27.31.37.61.73. 127.361 .367. [093.2.^01

( 1 1 Frciiiclc avait donne, par faute do co|"iie, ■'■!i)6.

Hosted by

Asscmlilniie

;g '188991 i3o (=a.3.i.ii.i<).29.47-'i7-i39)