ii.3.ii.i3.T9.37.i<ji.3J

95o73ao6 3io (= 2.5.7.29.47.67.107.139)

98813140244 (= à*. 7. 13.37. 107. 191. 359) 103397595015 (=3.5.11.13.19.37.191.359) i23 5i6 4'j5 3oJ {=^ 5.7.13.37.107.191.35^) Somme 19. '27. 37.(11. G;. (37.499.961 .2197.2401

Voici d'autres assemblages de carrés par deux, trois, etc.

\suwaient ici de nombreux assemblages de carrés envoyés plus tard, à savoir : par deux, 6; par trois, S2; par quatre, 20; par cinq, 3; par six, 5 ; puis, par deux, 5 ; par trois, 5 ; par quatre, 7 ; par cinq, 3 ; par six, 6 ; par sept, 4 ; paf huit, 1 ; par neuf, i ; puis, par cinq, i ; par six, 3 ; par sept, 2 ; par huit, 2 ; par neuf, 3 ; par dix, 2 ; par onze, i ; par douze, 2 ; par treize, 2 ; par quatorze, i ; par quinze, j ; par dixneuf, 1 . 3' ai cru sans intérêt de les reproduire tous, pour ne pas remplir plusieurs feuilles de nombres ; cependant, j'en ai relevé le compte, pour ne pas paraître vouloir faire tort à l'auteur.^

\Il s'est d'ailleurs, dans la Lettre XIJII, excusé sur la hâte de son travail de nombreuses fautes de calcul ou de plume, qui se sont glissées dans ses chiffres; cette excuse est d'autant plus valable qu'une partie de ces fautes peut être du fait du copiste. Remarquons toutefois que Frenicle s'est écarté de la règle qu'il nous avait proposée, à savoir que les carrés fussent premiers entre eux. Cela n'a pas lieu pour les siens; quand, par exemple, il propose un groupe de six carrés, il regarde comme suffisajit qu'aucun même nombre ne divise tous les six, tandis qu il n y aura pas un seul couple de deux carrés premiers entre eux (ainsi qu'on le reconnaîtra immédiatement et comme lui-même l'avoue) ; c'est de la sorte qu'il a pu donner autant de groupes. En ce qui me concerne, dans mes solutions de la Lettre XXIX, pour composer les racines des carrés, je n'ai employé que les nombres premiers inférieurs à roo, jugeant inutile d'aller plus loin; et, dans ces limites, il n'y a pas d'autres combinaisons que celles que j'ai données. Toutes celles que Frenicle a données, ainsi que je l'ai vérifié.

Hosted by

nOMMERCIUM DE WALLIS. 551

comprennent au moins un facteur premier supérieur à loo et pouvant aller jusqu'à prés de 5oo {comme si pour des nombres inférieurs la combinaison était impossible). C'est ainsi qu'il a pu fournir autant de solutions. ]

LETTlîn: XXXII.

.louN Wali.is a Vicomte Bhoum:ri;li.

Vous avez eu la bonté de m'envoyer et j'ai reçu la semaine dernière, très illustre Seigneur, les solutions données par Frenicle au problème que j'avais jadis proposé sur les deux carrés qui font la même somme par l'addition avec leurs parties aliquotes. Je vois par là que le très noble savant a non seulement résolu cette question, mais qu'il y a pris beaucoup plus d'intérêt que je n'avais fait moi-même.

Sa première solution est la même que ma première; car un carré impair non divisible par 5 est exactement la même chose qu'un carré qui soit à la fois premier avec i6 et avec 25.

Quant aux autres solutions, je crois qu'elles ont absolument la même origine que les miennes, qu'elles ont été trouvées par une méthode tout k fait semblable ou du moins à peine meilleure.

Si ces solutions sont si nombreuses, il ne faut guère s'en étonner, du moment où il a jugé l'affaire digne de ses peines. Car si je ne me trompe, et comme vous le pensez aussi, il doit avoir à sa disposition une Table suffisamment étendue donnant jusqu'à peut-être 5oo ou même au delà les carrés, cubes (peut-être même d'autres puissances) des nombres premiers, avec la décomposition en facteurs de la somme de chacun et de ses parties aliquotes; de la sorte il est facile, de la manière que j'ai indiquée, d'obtenir un certain nombre de solutions. Qu'après en avoir trouvé suffisamment, une personne aussi sagace puisse, en les combinant, transformant et mêlant ensemble de diverses façons, en déduire beaucoup d'autres, on ne peut en douter, dès que l'on sait de combien de manières on peut transposer sept ou huit lettres ou changer les rangs d'autant de cloches. Quoi qu'il en soit, je

Hosted by

suis convaincu que la découverte do ce mystère, qui nous apparLient, et d'où, avec ces problèmes, en découlent une infinité d'autres, ne sera pas moins agréable aux mathématiciens que ne le serait, sans l'indication de la métbode, l'énoncé de mille nombres de la sorte.

Au reste, je n'ai jamais pensé que Frenicle ne résoudrait pas cette question que j'avais proposée d'ailleurs à un autre que lui. Puisqu'il avait dès longtemps résolu celles de Fermât, il n'était pas douteux qu'il ne réussit aussi faciteinenf sur la mienne, qui dépendait du même principe.

En tout cas, j'aurais préféré qu'il se fût au moins épargné la peine de former en nombres les racines des carrés par la multiplication successive des facteurs qu'il a évidemment trouvés tout d'abord; car il aurait été d'autant plus facile d'examiner, si on l'eût voulu, les nombres qu'il a donnés, ce qui ne peut maintenant se faire qu'en détruisant son travail; mais je ne m'embarrasserai pas de cet examen, qui n'est pas si important. Peut-être a-t-il craint que, s'il avait exposé la cbose aussi simplement, j'en eusse conclu sa méthode qu'il croyait que j'ignorais.

D'autre part il lui a plu de changer la question que j'avais proposée, en introduisant la condition que les carrés à donner soient premiers entre eux. Il a voulu ainsi éviter qu'on eût la grande facilité de donner les multiples de i6 et 23, qui satisfont à la question, par un carré quelconque premier avec l'un et l'autre. Je ne regrette pas absolument cette condition, mais j'ai deux motifs pour ne pas la regarder comme tout à fait nécessaire. En premier lieu, la limitation dont il s'agit exclut plus de carrés qu'il ne faut, car il est clair que, même étant connus 16 et aS comme satisfaisant à la question, il y a beaucoup d'autres carrés, même non premiers entre eux, dont la recherche n'est en rien facilitée par cette connaissance ou même par celle d'autres carrés premiers entre eux. Ainsi je le fais juge s'il est en rien plus facile de trouver 8 x 3 x 37 et 2 x 19 x 2g ou bien 3 X 4 X 1 1 X 19 X 37 et 7 X 8 X 29 X 67 que j'ai donnés, quoiqu'ils ne soient pas premiers entre eux, que s'ils l'étaient. En second lieu.

Hosted by

COMMEnCIUM DE W\I.LIS. 55^

quoique la chose soit facile pour Frenicle (en tant qu'il sait qu'un nombre formé de deux ou plusieurs nombres premiers entre eux, si on l'ajoute à ses parties aliquotes, donne une somme égale au produit de ces nombres premiers entre eux. augmentés chacun de ses parties aliquotes; ce qui est le principal mystère dans les questions de ce genre), celui qui ignore ce principe n'aura pas plus de facilité pour reconnaître, comme propres a la question, les équimultiples des nombres donnés plutôt que d'autres carrés premiers entre eux; au contraire, celui qui connaît le principe n'aura pas beaucoup plus de facilité pour trouver la méthode de recherche applicable aux autres carrés premiers entre eux.

Enfin il donne non seulement des assemblages par deux, mais par trois, quatre, cinq, etc. Mais le très noble savant sait très bien que, à part la peine du calcul, il n'y a là rien de nouveau par rapport à la question que j'ai proposée; les assemblages de trois, quatre, etc., voire même de cent, se trouvent en effet par la même méthode absolument que ceux de deux; et même, dans le petit nombre de ceux que j'ai indiqués, il trouvera trois carrés remplissant la condition dont il s'agit; savoir ceux de 3 x 4 X 1 1 X 19 x 37, de 3 x 5 x ii x 19 x Sy et de 7 X 8 X 29 X 67, puisque chacun d'eux, ajouté à ses parties aliquotes. donne comme somme

3xax7X7Xi3xi9x3]xG7X 127.

Il n'y aurait non plus rien de nouveau si ce que j'ai proposé pour les carrés l'eût été pour les cubes, bicarrés, etc.; si ce que j'ai proposé pour l'égalité des sommes l'eût été pour leur relation dans un rapport donné (possible). Dans des cas de ce genre, le calcul peut être plus long avant que le but soit atteint, mais les solutions dépendent toujours du même principe, et sont à chercher toujours par le même procédé; ce que sait parfaitement notre si sagace Correspondant. Cela peut au reste s'appliquer aux autres questions de ce genre en nombre infini.

Il me reste encore à vous dire que je viens précisément de recevoir

Hosted by

de Hollande une lettre que m'a écrite M. Schooten et que je crois devoir communiquer ii V. S. Après l'avoir lue, je suis absolument dans la croyance que la méthode dont s'est servie M. Frenicle pour la solution de la troisième question de Fermât (celle du carré dont le produit par un nombre donné non carré soit inférieur d'une unité à un carré) ne vaut pas celles qui ont été données d'ici, au moins la seconde. Je vois en effet qu'il a hésité sur le donné non carré 109, ce qui est clair même d'après son traité imprimé, où il dit que le carré qui se rapporte à ce nombre lui a été communiqué par M. Fermât; je vois aussi que cette méthode montrée, semble-t-il, h M. Huygens, lui a paru tellement pénible qu'il a reculé devant l'application; la nôtre au contraire est si commode qu'en très peu de temps elle peut fournir des nombres très considérables. Mais de fait je n'ai pas encore vu celte méthode de Frenicle, qu'il a jugé à propos de taire dans son Traité imprimé, et je n'en puis parler que par conjectures; je ne veux donc faire aucune affirmation téméraire. Quant à la lettre de Schooten, s'il plaît à V. S. qu'elle soit jointe aux nôtres lors de l'impression de celles-ci (ce qui me paraît intéressant et ce qu'il désire lui-même), je vous prie de me le faire savoir et m'empresserai d'accomplir, autant que possible, votre vœu, comme,

Très illustre Seigneur,

Votre très obéissant et très respectueux John Wallis.

LETTRE XXXIIT.

FRANgois Schooten s J. Walt.is.

Clarissime savant, l'exemplaire de la première partie de vos Œuvres mathématiques que vous m'avez destiné, en même temps qu'un autre pour Huygens, m'a été parfaitement remis par M. Thrommje; je vous en fais mes meilleurs remercîments, tandis que j'ai le chagrin de voir que mes Exercitationes ne vous ont pas été remises, quoique, au

Hosted by

GOMMERCIUM DE WALLIS. 553

moment oii elles ont paru, j'en aie donné un exemplaire à l'imprimeur, qui devait l'envoyer à Londres avec d'autres et le faire de là parvenir à Oxford à votre adresse et en mon nom. Je suis très heureux d'apprendre qu'elles ne vous ont pas déplu, et que vous avez également apprécié ce que le très noble Huygens a ajouté à la fin sur les raisonnements dans le jeu de dés. Votre jugement à cet égard nous est, plus que mille autres, un clair garant que nous n'avons ni l'un ni l'autre mal employé nos efTorts en essayant soit de rétablir soit de pousser plus avant les Matbématiques, Mais surtout je suis charmé du mutuel accord qu'on peut immédiatement remarquer entre vos écrits et les miens, comme en autres choses sur ce que nous avons dit l'un et l'autre des progressions et où l'on dirait que nous nous étions communiqué nos pensées à l'avance.

Vous me parlez des questions de Fermât proposées l'année dernière à tous les mathématiciens de l'Europe, Voici ce qui m'est arrivé à ce sujet. Ce fut le 26 janvier de l'année passée que le très illustre M. Guillaume Boreel, député auprès du Roi de France Très Chrétien par les Provinces-Unies, envoya de Paris aux professeurs de Mathématiques de l'Académie de Leyde une lettre qui renfermait deux questions numériques avec ce titre (') :

« Deux problèmes mathématiques proposés, comme s'ils étaient insolubles, aux mathématiciens de France, d'Angleterre, de Hollande et du reste de l'Europe, envoyés le 3 janvier lâSy par M. de Fermât, Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse, à M. Claude Martin de Laurendière, Docteur Médecin, et reçus par celui-ci le 21 janvier. »

« Premier problème. — Trouver un cube (voir page 3i i , lignes 21 à 35 ) ; . . . propriété. »

« Seco.nd problème. — - On demande (^voir page 3i 1, lignes 26 à 2y) .... un cube, »

Cette lettre fut reçue par M. Golius le 7 février, la veille du jour oii

(1) Foir la Pièce 79 de la Correspondance de Fermât, T. II, p, 33a.

Hosted by

il devait déposer les fonctions de Recteur Magnifique; il l'ouvrit en ma présence seulement le 1 1 du même mois. J'y fis alors la réponse suivante et aussitôt après l'avoir communiquée à M. Golius, je l'adressai le 17 février audit M. Boreel à Paris, avec une lettre de transmission et deux problèmes sur le même sujet que je proposais en retour à M. Fermât (').

« Réponse aux questions proposées aux mathématiciens de toute l'Europe par M. de Fermât, Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse, n

« Pour résoudre la première question, où il s'agit de trouver un nombre cube dont la somme avec les parties aliquotes fasse un carré, je cherche à parlir de l'unité 4, 7, 10, i3 ou davantage de nombres en proportion continue (en augmentant successivement de 3 leur nombre), tels que leur somme fasse un carré; le dernier des termes proportionels sera le cube demandé. Quant au second terme proportionel, je prends successivement les différents nombres premiers, en commençant par les plus faibles. »

« Puisque les proportionels

donnent comme somnie les nombres i5, 4o, i56, qui ne sont pas carrés, ayant pris pour seconds termes de ces séries les nombres premiers 2, 3, 5, je prends maintenant pour second terme le nombre premier 7 et j'ai les proportionels : 1.7. 49-343, dont la somme est 4oo, carré de côté 20. Je trouve ainsi que 343 est de tous le plus petit cube qui satisfasse à la question ; c'est d'ailleurs celui qui a été donné par M. de Fermât. Prenant ensuite toujours quatre proportionels différents, et employant successivement tous les nombres premiers de 2 à 97, je n'ai rencontré aucun autre carré que celui déjà indiqué; et j'ai reculé dès lors devant la poursuite de ces calculs, ne pouvant.

(1) La Lettre qui suit se trouve également publiée {en latin) dans le Tomo II des Œuvres i.-omplèics de Christ'uiwi Hujge/is fn" 377 de la Corresiio(idance).

Hosted by

COiMMERCIUM DE WALLIS. 337

d'ailleurs reconnaître une voie plus abrégée pour paivenir sûrement au but (' ). >.

» Si l'on prend de même sept proportionels